Книги, научные публикации
Pages: | 1 | ... | 2 | 3 | 4 | Э.И.Зверович ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие в шести частях Часть 1 Введение в анализ и дифференциальное исчисление Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ [Электронный ...
-- [ Страница 4 ] --з 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты a б Рис. 55. К теореме A(x1, f(x1)) и B(x2, f(x2)), где x1 < x2. По условию точка B лежит выше касательной, проведенной в точке A, а точка A лежит выше каса тельной, проведеной в точке B. В результате оказывается, что касательные расположены так, как показано на рис. 56. Поэтому их угловые коэффи циенты связаны неравенством: f (x1) < f (x2). Таким образом, f строго возрастает, и в силу теоремы 149 функция f строго выпукла вниз.
Аналогично можно рассмотеть случай, когда функция f строго вы пукла вверх (рис. 55 б).
2. Неравенство Иенсена и его применения Теорема 152 (неравенство Иенсена2). Если на интервале (a, b) функция f выпукла вниз, то для любых точек x1,..., xn (a, b) и любых чисел 1 n,..., [0, 1] таких, что +... + n = = 1, выполняется неравенство f( x1 +... + n xn) f(x1) +... + n f(xn). (8.13) Покажем сначала, что в условиях теоремы будет x1 +... + n xn (a, b). (8.14) С этой целью запишем неравенства a < x1 < b,..., a < xn < b.
Умножая первое из них на [0, 1],..., последнее на n [0, 1] и складывая полученные неравенства с учетом того, что 1 n +... + = 1, Иенсен Иоган Людвиг (1859 1925) датский математик.
272 Глава 8. Некоторые приложения имеем a < x1 +... + n xn < b, что равносильно включению (8.14).
Теперь применим индукцию по числу n N. При n = 1 нера B y венство (8.13) тривиально: f(x1) = = f(x1). В случае n = 2 оно вытека ет из неравенства (8.6). В самом деле, полагая в (8.6) x2 - x x - x y1 A = ;
:=, x2 - x1 x2 - x где x1 x x2, имеем x1 x 0 1 ;
0 2 1 1 ;
+ = 1 ;
Рис. 56. К теореме x2 - x x - x1 x2x1 - xx1 + x2x - x2x 1 x1 + x2 = x1 + x2 = = x.
x2 - x1 x2 - x1 x2 - x Таким образом, неравенство (8.6) равносильно такому f(1 2 1 x1 + x2) f(x1) + f(x2).
Предположим теперь, что n > 2, и пусть выполняется такое неравенство:
f( x1 +... + n- xn-1) f(x1) +... + n- f(xn-1), (8.15) которое получается из (8.13) при n = 0. Введем следующее обозначение:
:= 1 n- +... +. Если = 0, то 1 n-1 n =... = = 0, = 1, и в этом случае неравенство (8.13) очевидно. Если же = 0, то, используя уже доказанную часть теоремы, имеем f( x1 +... + n-1 n xn-1 + xn) = x1 +... + n- xn- = f + n xn x1 +... + n- xn- f + n xn n- f(x1) +... + f(xn-1) + n f(xn) = = f(x1) +... + n- f(xn-1) + n f(xn).
з 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты Замечания. 1. Отметим, что строгой выпуклости соответствует стро гое неравенство Иенсена, т. е. если среди чисел 1 n,..., по меньшей мере два отличны от нуля, то знак равенства в неравенстве (8.13) имеет место только при x1 =... = xn.
2. Для функции, выпуклой вверх, неравенство Иенсена имеет следую щий вид:
f( x1 +... + n xn) f(x1) +... + n f(xn). (8.16) Рассмотрим примеры на применение неравенства Иенсена.
1) Функция ln : R+ - R строго выпукла вверх, поэтому в силу (8.16) должно выполняться следующее неравенство:
ln x1 +... + n ln xn ln( x1 +... + n xn), равносильное следующему:
x1 ... xn x1 +... + n xn, (8.17) n где x1,..., xn R+, 1 n,..., [0, 1], 1 n +... + = 1.
Отсюда при 1 n =... = = получаем классическое неравенство n x1 +... + xn n x1 ... xn, n связывающее среднее геометрическое со средним арифметическим. Знак равенства в этом неравенстве возможен только при x1 =... = xn. Полагая в (8.17) 1 1 1 n = 2, :=, :=, p > 1, + = 1, x1 = a, x2 = b, p q p q получаем неравенство Юнга a b a1 p b1 q +.
p q 2) Пусть f(x) = xp, x R+, p (1 : +). Поскольку f (x) = p (p - 1) xp-2 > 0, 274 Глава 8. Некоторые приложения то функция f строго выпукла вниз. Поэтому имеем неравенство p n n k xk k xp, k k=1 k= равносильное следующему:
1 p n n k xk k xp.
k k=1 k= Полагая здесь p 1 1 bq ak k bq k k q :=, + = 1, k :=, xk :=, p - 1 p q bq k k b1 (p-1) k получим классическое неравенство Гёльдера 1 p 1 q n n n ak bk ap bq.
k k k=1 k=1 k= 3. Точки перегиба Будем рассматривать непрерывные функции f : (a, b) - R, накладывая на них те или иные дополнительные ограничения.
Определение 141. Точка (x0, f(x0)) называется точкой пе региба (графика) функции f, если существует окрестность (x0 -, x0 + ) такая, что сужения функции f на интервалы (x0 -, x0) и (x0, x0 + ) выпуклые функции с противоположны ми направлениями выпуклости.
Замечание. На рис. 58 показаны графики функций, имеющие точки перегиба. Излагаемые ниже теоремы содержат условия, при выполнении которых та или иная точка графика является точкой перегиба.
Теорема 153 (необходимое условие перегиба). Если (x0, f(x0)) точка перегиба графика функции f, то либо f (x0) не существует, либо f (x0) = R, либо конечного значения f (x0) не существует, либо f (x0) = 0.
Гёльдер Людвиг Отто (1859 1937) немецкий математик.
з 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты Рис 57. Графики, на которых имеются точки перегиба Согласно определению 141 существует окрестность (x0 -, x0 + ) такая, что направления выпуклости функции f на интервалах (x0 -, x0) и (x0, x0 + ) противоположные. По теореме 149 производная функция f монотонна на каждом из этих интервалов, причем характер монотонности противоположный.
Значит, если в точке x0 производная функция f определена, то она там имеет экстремум. Экстремальное значение производной может быть бесконечным, т. е. возможно, что f (x0) = +, либо f (x0) = -. Если экстремальное значение функции f является числом, то в силу необходимого условия внутреннего локального экстремума должно быть: либо конечного значения f (x0) не существует, либо f (x0) = 0.
Замечание. Необходимое условие перегиба не является достаточным.
Например, функция y = x4, график которой показан на рис. 58, строго выпукла всюду на R, однако d x4 = 4 3 x2 = 0.
x= dx Теорема 154 (первое достаточное условие перегиба). Ес ли в окрестности точки x0 функция f дважды дифференцируема, f (x0) = 0, а справа и слева от точки x0 функция f имеет посто янные, притом противоположные знаки, то (x0, f(x0)) точка перегиба.
Выберем > 0 настолько малым, чтобы сужения функции f на интервалы (x0 -, x0) и (x0, x0 + ) сохраняли знак. По теореме 150 сужения функции f на эти интервалы выпуклые функции. Так как знаки функции f на этих интервалах противоположные, то и направления выпуклости противоположные. Значит, (x0, f(x0)) 276 Глава 8. Некоторые приложения точка перегиба.
Теорема 155 (второе достаточное условие перегиба).
Пусть f (x0) =... = f(k)(x0) = 0, а f(k+1)(x0) = 0.
Точка (x0, f(x0) является точкой перегиба при k четном, и не яв ляется точкой перегиба при k нечетном.
Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x f (x) = f(k)(x0) f(k+1)(x0) = f (x0)+...+ (x-x0)k-2+ (x-x0)k-1+rk-1(x).
(k - 2)! (k - 1)!
Отбрасывая здесь равные нулю слагаемые, получим f(k+1)(x0) f (x) = (x - x0)k-1 + rk-1(x). (8.18) (k - 1)!
Так как rk-1(x) = o (x - x0)k-1 при x x0, то > 0 x (x0 -, x0 + ), x = x0 :
f(k + 1)(x0) |rk-1(x)| < (x - x0)k-1.
(k - 1)!
Таким образом, f в окрестно сти точки x0 имеет тот же знак, что и первое слагаемое правой ча сти равенства (8.18). Но очевидно, что это первое слагаемое меняет знак при k четном и не меняет зна ка при k нечетном. Поэтому при k четном перегиб есть, а при k нечет 1 -1 0 ном его нет.
2 Рис. 58. График функции y = x з 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты 4. Асимптоты Об асимптотах графика функции f : X - R, X R, имеет смысл говорить только тогда, когда этот график не является огра ниченным подмножеством плоскости. Последнее в свою очередь име ет место только тогда, когда по меньшей мере одно из множеств X, f(X) не является ограниченным подмножеством числовой оси.
Самая грубая классификация асимптот это подразделение их на наклонные (рис. 59 a) и вертикальные (рис. 59 б), и мы их рассмот рим отдельно.
Определение 142. (a) Прямая с уравнением y = kx + b называ ется правой наклонной асимптотой графика функции f : X - R, если множество X не ограничено сверху, и выполняется следующее равенство:
lim[f(x) - (kx + b)] = 0 при x +, x X. (8.19) (b) Прямая с уравнением y = kx+b называется левой наклонной асимптотой графика функции f : X - R, если множество X не ограничено снизу, и выполняется следующее равенство:
lim[f(x) - (kx + b)] = 0 при x -, x X. (8.20) Задача нахождения правой наклонной асимптоты решается сле дующей теоремой (аналогичное утверждение справедливо и для ле вой наклонной асимптоты).
Теорема 156. Существование у графика функции f : X - R правой наклонной асимптоты равносильно неограниченности сверху множества X и существованию следующих двух конечных преде лов:
f(x) k := lim, b := lim[f(x) - k x] при x +, x X. (8.21) x Теорема вытекает из того, что равенство (8.19) равносильно равенствам (8.21).
Возможны случаи, когда график функции f : X - R имеет асимптоты с уравнением x = x0 (вертикальные). Поиск вертикаль ных асимптот сводится к поиску предельных точек x0 множества X 278 Глава 8. Некоторые приложения a б Рис. 59. Графики, имеющие наклонные и вертикальные асимптоты таких, что при x x0, x X, x = x0 выполняется одно из следую щих трех равенств:
lim f(x) = ;
lim f(x) = + ;
lim f(x) = -.
x2 + x4 + Пример. Найти асимптоты графика функции y = + 1.
x Имеем x2 + x4 + 1 k = lim + = 2 ;
x x2 x x2 + x4 + b = lim (y - 2x) = lim + 1 - 2x = x x x x4 + 1 - x = lim + 1 = 1.
x x Отсюда находим уравнение наклонной асимптоты y = 2x + 1.
x2 + x4 + Так как lim + 1 =, то существует и вертикальная x x асимптота с уравнением x = 0.
з 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты Задачи к главе 8.1. Используя методы дифференциального исчисления, построить графики следующих алгебраических функций:
x2 - 2x + 1 1 1 a) y = ;
b) y = + + ;
x2 + 1 x x - 1 x - 2x 2x c) y = ;
d) y = x + ;
(3 - x2)(5 - x2) x2 - 1 1 10 (x - 1) e) y = - ;
f) y = ;
x2 (x - 1)2 x2 + x3 - 9x x(x - 1)(x - 2)(x - 3) g) y = ;
h) y = ;
10 4x - 5x3 + x5 x i) y = ;
j) y = ;
10 3 - x 1 1 1 k) y = - + ;
l) y = ;
x x - 1 x - 2 (3 - x2)(5 - x2) x 3 - 2x2 x 1 - x m) y = ;
n) y = ;
x - 1 1 + x 3x - 2 10 (x - 1) o) y = ;
p) y = ;
5x2 x2 + q) y = x2 x + 1;
r) y = x4 - x6;
x5 + 5x s) y = x3 - 2x2 + x;
t) y = ;
x 3 - 2x u) y = 3x2 - x3;
v) y = ;
x + x3 x4 + w) y = 1 - x + ;
x) y = ;
x + 1 x2 + y) y = x3 - x2 - x + 1;
z) y = x - 4 + ;
x + 2 - x2 1 + x a ) y = x + ;
b ) y = x2 + ;
1 + x4 1 - x x c )y = x(x + 3)2;
d ) y =.
x - 280 Глава 8. Некоторые приложения 8.2. Используя методы дифференциального исчисления, построить графики следующих трансцендентных функций:
cos 2x 1 a) y = ;
b) y = cos x + cos 2x + cos 3x;
cos x 2 c) y = e-1 x ;
d) y = arcsin x - 1 - x2;
2 1 e) y = e-x ;
f) y = sin x + sin 2x + sin 3x;
2 tg 3x x - ln(1 + x) при x 0, g) y = ;
h) y = tg x - x - ln(1 + x) при x 0 ;
i) y = e1 x ;
j) y = sin x + cos2 x;
x ln x k) y = ;
l) y = sin x + sin 3x;
x2 - 1 m) y = 2x - tg x;
n) y = sin x sin 3x;
sin x o) y = ;
p) y = x2 + 1 ln(x + x2 + 1);
sin(x + ) 2x q) y = x arctg x;
r) y = arcsin ;
1 + x 1 - x s) y = sin x2;
t) y = arccos ;
1 - 2x sin x u) y = ;
v) y = sin4 x + cos4 x;
2 + cos x 2 w) y = e2x-x ;
x) y = (1 + x2) e-x ;
y) y = x2 3e-x;
z) y = arccos - sin x ;
x a ) y = ;
b ) y = (7 + 2 cos x) sin x;
1 + e1 x c ) y = e-2x sin2 x;
d ) y = arctg (log2 (cos(x - 4))).
8.3. Доказать следующие неравенства:
a) 1 + ln(1 + x) ex ;
b) ln(1 + x) x;
x c) ln(1 + x) > при x > 0;
x + x d) 1 - cos x;
з 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты e) sin x x при 0 x ;
f) arctg |x| |x|;
n n n g) x - y x - y при x y 0;
x - y x x - y h) < ln < при x > y > 0.
x y y 8.4 Исследовать на экстремум следующие функции:
a) y = xm(1 - x)n, где m, n N;
b) y = cos x + ch x;
c) y = (x + 1)10 e-x ;
x2 xn d) y = (1 + x + +... + ) e-x ;
2! n!
e) y = x1 3 (1 - x)2 3 ;
2 - x2 2 + sin при x = 0, f) y = x ;
0 при x = 0 ;
e-1 x при x = 0, g) y = 0 при x = 0 ;
x e-1 x при x = 0, h)y = 0 при x = 0.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ (x1, x2,..., xn,... ), 81 x X : P (x), (xn), 81 Id, (xn), 81,, n= -, +, 63 inf, :=, 5..., C, 66 lim, n,,, -, =, -, N, max, min, Q, =, Q+,,, def Q+, Q-,, R, 20,, Re, Im,,, cn, Z, n= sup,,,,,,,,, C, n R,, k R,, f |A, f| A,,,, x X : P (x),, ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Абель Н. Х., 38, 135 Лейбниц Г. В., Адамар Ж. С., 252 Лопиталь Г. Ф. А., Архимед, М де, орган Маклорен К., Бернулли, Мертенс, Бертран Ж. Л. Ф., Больцано Б., Ньютон И., Борель Э., Буняковский В. Я., Пеано Д., Пифагор, Ван-Дер-Варден Б. Л., Вейерштрасс К., Раабе Й. Л., Венн Д., Риман Б., Ролль М., Гёльдер Л. О., Гаусс К. Ф., Тейлор Б., Гейне Г. Э., Ферма П., Даламбер Ж. Л., Дарбу Ж. Г., Харди Г. Х., Дедекинд Р., Дирихле П. Г. Л., Шварц К. Г. А., Иенсен И. Л., Эйлер Л., Коши О. Л., 97 Юнг, Куммер Э. Э., Лагранж Ж. Л., Ландау Э. Г. Г., Лебег А., ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аргумент комплексного числа, Дистрибутивность, 68 Дифференциал, Асимптоты, 277 порядка n, вертикальные, 277 Дифференцирование, наклонные, 277 логарифмическое, Ассоциативность, неявно заданных функций, База топологии, параметрически заданных Бинарная операция, функций, Булеан, Доказательство от противного, Варианта, методом индукции, Верхняя граница, по круговой схеме, Вещественная часть, Достаточные условия экстре Внутренность, мума, Высказывание, Дробь истинное, десятичная бесконечная, ложное, десятичная конечная, Высказывания непериодическая, 45, значение истинности, обыкновенная, отрицание, периодическая, цепная, Граница, Группа, Естественная область опредe абелева, ления, конечная, Делители нуля, 39 Замкнутый шар, Диаграмма Эйлера Венна, 7 Замыкание, Диаграммы, Дизъюнкция, 9 Изоморфизм полей, Предметный указатель Импликация, 10 Лемма Инвариантность формы диф- Гейне Бореля о покрыти ференциала, 219 ях, Интервал, 62 о вложенных отрезках, Логарифмы десятичные, Касательная, натуральные, 93, вертикальная, Луч, левая, наклонная, правая, 213 Мантисса, Квантор, 15 Метрика, общности, 15 Мнимая единица, Мнимая часть, существования, Множеств Колебание функции, включение, Кольцо, объединение, без делителей нуля, пересечение, коммутативное, равенство, с единицей, разность, Коммутативность, Множества Компактность, дизъюнктные, Комплексная плоскость, мощность, Комплексных чисел алгебраическая форма запи- равномощные, си, 67 элемент, геометрическое представле- Множество, ние, 68 бесконечное, показательная форма запи- замкнутое, си, 258 компактное, тригонометрическая форма, конечное, 69 несчетное, Конгруэнтность, 29 ограниченное, Конъюнкция, 9 ограниченное сверху, Координата точки, 61 ограниченное снизу, Критерий, 13 открытое, Коши, 97, 116, 165 относительно открытое, компактности в R, 102 пустое, непрерывности функции, связное, 183 счетное, 286 Предметный указатель числовое, 61 мнимая, Модуль, 37 числовая, вещественного числа (сече- Открытый шар, ния), Отношение комплексного числа, порядка, рационального числа, Отображение, биективное, Необходимое условие экстре инъективное, мума, обратное, Неопределенные выражения, постоянное, сюръективное, Непрерывность, тождественное, Неравенство Отображений Абеля, композиция, Бернулли, Отображения Гёльдера, график, Иенсена, область значений, Коши Буняковского область определения, Шварца, продолжение, Юнга, сужение, треугольника, 38, 43, Отрезок, Нижняя граница, Параметр, Область истинности предика Перегиба та, достаточные условия, Область определения предика необходимое условие, та, Перестановка членов ряда, Образ, Период, Окрестность, основной, проколотая, Подмножество, Операция собственное, умножения, Подпокрытие, Остаточный член, Подполе, в форме Коши, Подпоследовательность, в форме Лагранжа, Подпространство, в форме Пеано, глобальная форма, 249 Покрытие, Ось открытое, вещественная, 68 Поле, Предметный указатель вещественных чисел, Абеля, комплексных чисел, 66 Бертрана, рациональных чисел, 42 Гаусса, Полнота, 97 Даламбера, метрического пространства, Дирихле, Коши, Полуинтервал, Куммера, Последовательности Лейбница, верхний предел, 95 Раабе, нижний предел, 95 сравнения, предел, 82 сравнения отношений, член, 81 сравнения степенной, Последовательность, 81 Принцип полной индукции, Коши, 97 Произведение, бесконечно большая, 87 декартово, бесконечно малая, 87 Произведение рядов, вещественная, 81 Производная, комплексная, 81 бесконечная, расходящаяся, 83 вектор-функции, сходящаяся, 82 конечная, фундаментальная, 97 односторонняя, функциональная, 81 порядка n, числовая, 81 функции комплексного пе Правило ременного, Лопиталя, 242 функция, знаков, 53 Промежуток, мнемоническое, 68 Прообраз, цепное, 218 полный, Предел Пространство второй замечательный, 92 метрическое, отделимое, первый замечательный, связное, последовательности, топологическое, функции, Пучок прямых, Предикат, двухместный, одноместный, 14 Равенство Преобразование Абеля, 135 сечений, Признак Радиус-вектор, 288 Предметный указатель Разpывность, 170 член, Разрыв Свойство 1-го рода, Архимеда, 2-го рода, выпуклости, устранимый, глобальное, Рекуррентность, линейной упорядоченности, Рекурсивность, 33, Рекурсия, локальное, Рефлексивность, непрерывности, Ряд, отделимости, Тейлора, плотности, 44, абсолютно сходящийся, полной упорядоченности, биномиальный, полноты, вещественный, сплошности, гармонический, топологическое, геометрический, транзитивности, 34, знакопеременный, Семейство, знакочередующийся, Сечение, комплексный, Символ логарифмический, Ландау, обобщенный гармонический, Харди, биективного отображения, положительный, расходящийся, Симметризация, степеннй, Симметричность, строго положительный, Скорость, сходящийся, Сумма, условно сходящийся, Сфера, функциональный, Сходимости числовой, интервал, Ряда круг, группировка членов, область, необходимый признак сходи радиус, мости, остаток, Таблица отрезок, 111 истинности, сумма, 112 производных, частичная сумма, 111 Тавтология, Предметный указатель Теорема Коши Адамара, Больцано Коши, 178 Лейбница, Вейерштрасса, 180 Маклорена, Дарб у, Тейлора, Дедекинда, Эйлера, Коши, алгебры высказываний, Лагранжа, бинома Ньютона, Мертенса, Функции Пифагора, гиперболические, Римана об условно сходя график, щихся рядах, обратные гиперболические, Ролля, Ферма, обратные тригонометриче Топология, ские, дискретная, основные элементарные, естественная, тригонометрические, тривиальная, Функция, 20, Точка C-дифференцируемая, внешняя, Ван-дер-Вардена, внутренняя, Дирихле, граничная, Римана, изолированная, алгебраическая, критическая, аналитическая, перегиба, бесконечно большая, предельная, бесконечно малая, прикосновения, 77, вещественного переменного, стационарная, экстремума, вогнутая, Точная верхняя граница, выпуклая, Точная нижняя граница, дифференцируемая, Транзитивность, 6, дробная рациональная, дробно-линейная, Упорядоченная пара, квадратичная, Условия монотонности функ комплексного переменного, ций, Фактор-множество, 30 линейная, Факториал, 35 логарифмическая, Формула монотонная, 290 Предметный указатель непрерывная, нечетная, обратная, периодическая, показательная, постоянная, равномерно непрерывная, разрывная, строго монотонная, трансцендентная, целая рациональная, четная, элементарная, Число, p-адическое, алгебраическое, вещественное, гиперкомплексное, действительное, иррациональное, 56, компл ексное, комплексно сопряженное, натуральное, рациональное, трансцендентное, целое, чисто вещественное, чисто мнимое, Эквивалентности класс, отношение, Эквиваленция, Экспонента, Экстремумы, Элементарная функция, ЛИТЕРАТУРА 1. Зорич В. А. Математический анализ. М., 1997 1998. Ч. I II.
2. Толстов Г. П. Элементы математического анализа. М., 1974.
Т. I II.
3. Рудин У. Основы математического анализа. М., 1966.
4. Спивак М. Математический анализ на многообразиях.
Волгоград, 1996.
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. СПб., 1997. Т. I III.
6. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. М., 1968.
Т. I II.
7. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. М., 1985.
8. Никольский С. М. Курс математического анализа. М., 1990 1991. Т. I II.
9. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М., 1988 1989.
Т. 1 3.
10. Демидович Б. П. Сборник задач по курсу математического ана лиза. М., 1998.
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ........................ Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ з 1 Множества: отношения и операции............ з 2 Некоторые сведения из математической логики.... 1 Высказывания и операции над ними.......... 2 Формулы алгебры высказываний и их применения. 3 Предикаты и кванторные операции над ними.... з 3 Первоначальные сведения об отображениях....... 1 Отображение, его график, сужение и продолжение 2 Образы и прообразы множеств при отображениях. 3 Композиция отображений. Обратное отображение. 4 Числовые функции и способы их задания...... 5 Монотонные функции. Обратные функции...... 6 Четные, нечетные и периодические функции..... Задачи к главе 1.......................... Глава 2. ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА.
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ з 1 Натуральные, целые, рациональные числа........ 1 Отношение эквивалентности, классы эквивалентности 2 Мощность множества. Целые положительные числа 3 Отношение порядка на множестве N......... 4 Построение кольца всех целых чисел......... 5 Построение множества всех рациональных чисел. 6 Арифметические операции над рациональными чис лами........................... 7 Отношение порядка на множестве Q......... Оглавление 8 Представление рациональных чисел в виде бесконеч ных десятичных дробей................ 9 Изображение рациональных чисел точками число вой оси........................... з 2 Вещественные числа.................... 1 Сечения Дедекинда................... 2 Множество R всех вещественных чисел и его полнота 3 Числовые множества и их границы.......... з 3 Комплексные числа..................... з 4 Элементы общей топологии................ 1 Метрические пространства............... 2 Топологические пространства............. Задачи к главе 2.......................... Глава 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ з 1 Последовательности и их пределы............ 1 Определения и примеры................. 2 Общие свойства пределов.
Предел и арифметические операции.......... 3 Бесконечно малые и бесконечно большие последова тельности......................... з 2 Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы.. 1 Предел и неравенства.................. 2 Нижний и верхний пределы последовательности.. 3 Критерий Коши. Полнота................ з 3 Компактность числовых множеств............ Задачи к главе 3.......................... Глава 4. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И ИХ СУММЫ з 1 Числовые ряды, их сходимость и расходимость..... 1 Определения и примеры................. 2 Некоторые операции над рядами............ 3 Критерий Коши и его следствия............ з 2 Признаки сходимости и расходимости.......... 1 Критерий сходимости и признаки сравнения..... 2 Обобщенный гармонический ряд............ 3 Признаки Коши и Даламбера............. 294 Оглавление 4 Другие признаки..................... з 3 Исследование на сходимость................ 1 Абсолютная и условная сходимость числовых рядов 2 Признак Лейбница.................... 3 Преобразование Абеля. Неравенства Абеля..... 4 Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов.... з 4 Перестановки членов ряда. Умножение рядов...... 1 Понятие о перестановке членов ряда......... 2 Перестановки членов абсолютно сходящихся рядов. 3 Перестановки членов условно сходящихся рядов.. 4 Умножение рядов..................... Задачи к главе 4.......................... Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ з 1 Пределы функций...................... 1 Определения и примеры................. 2 Общие свойства пределов функций.......... 3 Предел и неравенства.................. 4 Предел и арифметические операции.......... 5 Пределы монотонных функций............. 6 Предел композиции функций.............. 7 Критерий Коши существования предела функции.. 8 Сравнение асимптотического поведения функций и вычисление некоторых пределов........... з 2 Непрерывные и разрывные функции. Локальные свой ства.............................. 1 Понятие непрерывной и разрывной функций в точке 2 Точки разрыва и их классификация.......... 3 Функция Дирихле и функция Римана......... 4 Локальные свойства непрерывных функций..... з 3 Глобальные свойства непрерывных функций...... 1 Теоремы Больцано Коши и Вейерштрасса..... 2 Равномерная непрерывность. Теорема Кантора... 3 Критерий непрерывности функции на множест ве. Теорема о непрерывности обратной функции.. з 4 Элементарные функции и их непрерывность...... 1 Понятие элементарной функции............ Оглавление 2 Непрерывность элементарных функций........ з 5 Некоторые свойства непрерывных отображений.... 1 Связные множества................... 2 Непрерывные отображения топологических про странств.......................... Задачи к главе 5.......................... Глава 6. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ з 1 Дифференцируемые функции............... 1 Основные понятия и простейшие факты....... 2 Дифференцируемость вектор-функций........ 3 C-дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного............... з 2 Геометрический и физический смысл производной... 1 Касательная к графику функции........... 2 Физический смысл производной............ 3 Односторонние и бесконечные производные..... з 3 Основные правила вычисления производных...... 1 Основные правила вычисления производных..... 2 Вычисление табличных производных......... 3 Некоторые другие правила вычисления производных з 4 Производные и дифференциалы высших порядков... 1 Производные высших порядков............ 2 Дифференциалы высших порядков.......... Задачи к главе 6.......................... Глава 7. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИ АЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ з 1 Теоремы о средних значениях. Правило Лопиталя.. 1 Теоремы о средних значениях............ 2 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей............. з 2 Формула Тейлора...................... 1 Формула Тейлора для многочлена........... 2 Формула Тeйлора для произвольной функции.... 3 Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена................... з 3 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Формулы Эйлера... 296 Оглавление 1 Степенные ряды..................... 2 Ряды Тейлора....................... 3 Формулы Эйлера..................... Задачи к главе 7.......................... Глава 8. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕН ЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ з 1 Условия монотонности................... 1 Условия монотонности функции............ 2 Необходимое условие локального экстремума.... 3 Достаточные условия локального экстремума.... з 2 Выпуклость, точки перегиба, асимптоты......... 1 Свойство выпуклости.................. 2 Неравенство Иенсена и его применения........ 3 Точки перегиба...................... 4 Асимптоты........................ Задачи к главе 8.......................... УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ................... ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ................ ЛИТЕРАТУРА...........................
Pages: | 1 | ... | 2 | 3 | 4 |
Книги, научные публикации