Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 11 Неоднородные состояния тонкопленочного несоразмерного сегнетоэлектрика й С.А. Ктиторов, О.С. Погорелова, Е.В. Чарная Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Санкт-Петербургский государственный медицинский университет им. И.И. Мечникова, 195067 Санкт-Петербург, Россия Научно-исследовательский институт физики Санкт-Петербургского государственного университета, 198504 Санкт-Петербург, Петродворец, Россия E-mail: ktitorov@mail.ioffe.ru (Поступила в Редакцию 28 февраля 2003 г.) Рассмотрены неоднородные конфигурации параметра порядка в пленке несоразмерного сегнетоэлектрика, в разложении свободной энергии которого отсутствуют инварианты Лифшица. Уравнение, описывающее распределение параметра порядка по толщине пленки, получено в приближении медленно меняющихся амплитуд. Изучено влияние толщины пленки и свойств поверхности на температуру перехода в несоразмерную фазу.

В настоящее время имеется значительное количество нымУ причинам из-за смягчения фононной моды в некопубликаций, посвященных экспериментальному [1Ц4] и торой произвольной точке зоны Бриллюэна. Параметр теоретическому [5Ц8] исследованию сегнетоэлектриче- порядка в этом случае может быть выбран однокомпоского перехода в образцах с существенно ограниченны- нентным (соответствующим максимальной затравочной ми размерами: в пленках, малых частицах и кластерах.

неустойчивости однородного состояния), но в отличие Ограничение размеров ведет, как правило, к снижению от случаев сегнетоэлектриков и антисегнетоэлектритемпературы перехода и его размытию; начиная с некоков [10] уравнение приближения самосогласованного торого размера, переход в упорядоченное состояние стаполя для параметра порядка является нелинейным дифновится невозможным. При этом меняются спонтанная ференциальным уравнением четвертого порядка, что поляризация, восприимчивость, коэрцитивные поля и вызывает ряд проблем, решению которых и посвящена поля переключения.

настоящая работа. В частности, оказывается недостаточБольшая часть этих особенностей может быть описана но граничных условий де Женна [11], которые были им в рамках теоретической модели, развитой недавно для введены для феноменологического описания сверхпросегнетоэлектриков (см. работы [5Ц8] и ссылки в них).

водящих пленок и затем широко использовались при В частности, феноменологический подход к сегнетофеноменологическом описании размерного эффекта в электрическим фазовым переходам в тонких пленках и веществах различной природы.

малых частицах был описан в [5]. Фазовый переход в Рассмотрим одномерное распределение параметра потонких пленках и малых частицах антисегнетоэлектрирядка в пленке толщиной L, поместив начало координат ков был позднее рассмотрен в [8] на основе теории x = 0 в середину пленки. Зависимость параметра порядЛандау. Во всех указанных выше работах изучался перека от x будем определять, минимизируя термодинамичеход в немодулированную фазу, так что неоднородность ский потенциал, заданный функционалом Ландау параметра порядка была следствием лишь граничных условий: домены и флуктуации не рассматривались.

L/Задача настоящей работы Ч исследовать влияние 1 1 1 d = dx A0(T - T0)2 + B4 + C ограниченного размера образца и граничных условий 2 4 2 dx на модулированную структуру при фазовом переходе в -L/несоразмерную фазу. Заметим, что недавно опубликова ны результаты экспериментов, проведенных на тонких 1 d+ D + (L/2) - (-L/2). (1) пленках несоразмерного сегнетоэлектрика [9].

2 dxДалее мы представляем феноменологическое описание фазового перехода в тонких пленках несоразмерного Варьируя функционал (1), получаем уравнение Эйлера сегнетоэлектрика.

вместе с естественными граничными условиями [12].

При этом учитывая, что более симметричные, в частности четные, распределения имеют обычно меньшую 1. Уравнение для параметра порядка свободную энергию, в дальнешем ограничимся лишь Мы выбрали для исследований случай, когда несоиз- распределениями параметра порядка, являющимися четмеримость возникает не вследствие симметрии, как в ными функциями координаты x, (-x) =(x), и буслучае присутствия инварианта Лифшица, а по Дслучай- дем обсуждать только поведение параметра порядка Неоднородные состояния тонкопленочного несоразмерного сегнетоэлектрика при x 0 существенным образом. Подставив (8) в (2) и пренебрегая всеми старшими производными от амплитуды u(x), d4 C d2 B A получаем уравнение второго порядка - + 3 + = 0, (2) dx4 D dx2 D D d2u 3B C2 - 4AD = - u3 + u, (10) d() dF d F dx2 8C 8CD + + = 0, (3) d d dx x=L/которое может быть решено аналитически. Это уравF нение вместе с однородными граничными условиями = 0, (4) L/общего вида (такие условия использовал де Женн для введения длины экстраполяции в феноменологической где F (x),, Ч подынтегральное выражение теории сверхпроводимости ГинзбургаЦЛандау [11]) функционала (1), причем = d/dx, = d2/dx2, а (-L/2), (L/2) Ч заданные функции значений d ln u = (11) параметра порядка на границах x = L/2. Их естественdx но рассматривать как вклад поверхностной энергии, составляет краевую задачу, которую мы рассмотрим который можно аппроксимировать квадратичным вырадалее. Как и в теории ГинзбургаЦЛандау, параметр жением вида назовем длиной экстраполяции. Она описывает влияние (-L/2) =. (5) поверхности на распределение параметра порядка по толщине пленки. Однако прежде чем решать уравнение, Если учесть (3)Ц(5), а также принять во внимание форму рассмотрим соотношение между граничными условиями функционала (1), то естественное граничное условие к уравнениям четвертого и второго порядка.

при x 0 приобретает вид d(x) d3(x) 3. Граничные условия к уравнению (x) +C + D = 0, (6) dx dx3 L/2 второго порядка Уравнение (10) для амплитуды u(x) должно быть d2(x) = 0. (7) дополнено граничными условиями, которые могут быть dx2 L/введены из (6), (7) с помощью метода медленно меПолученное нелинейное дифференциальное уравнение няющихся амплитуд. Для этого подставим (8) в эти четвертого порядка может быть решено только чисусловия и, пренебрегая всеми производными от u(x) ленно. Однако представляется важным получить более выше первой, получим следующую систему уравнений:

простое уравнение, которое можно решить аналитически, а результаты сравнительно просто проанализиро- u qL qL (C + 3Dq2) + cos = q(C + Dq2) sin, вать.

u 2 (12) qL u qL 2. Метод медленно меняющихся q2 cos = -2q sin. (13) 2 u амплитуд Исключая синус и косинус из уравнения (12), (13) Такое упрощение можно сделать в предположении, и учитывая (11), получаем квадратное уравнение для что толщина пленки велика по сравнению с перио- логарифмической производной (11) дом пространственных осцилляций параметра порядка qв несоразмерном сегнетоэлектрике qL 1, где q Ч (C + Dq2) 2 - +(C + 3Dq2) =0. (14) волновое число осцилляций. В этом случае можно применить метод медленно меняющихся амплитуд, исЕго решение имеет вид пользовав следующую подстановку:

2 - 2(C + Dq2)(C + 3Dq2)q(x) =u(x) cos(qx), (8) =. (15) q2(C + Dq2) где u(x) Ч медленно меняющаяся амплитуда; волновое Соотношение (11) играет роль граничного услочисло q определяется из условия минимума суммы вия к уравнению для амплитуды. Вещественность членов с производными в функционале (1) при u = const.

требует выполнения неравенства 2 - 2(C + Dq2) При этом мы предполагаем, что граничные условия в до (C + 3Dq2)q2 0. Принимая для q значение (9), постаточно толстой пленке не меняют период осцилляций лучаем 4D CC = - 2 -. (16) q = - (9) C2 4D 2D Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 2064 С.А. Ктиторов, О.С. Погорелова, Е.В. Чарная Дискриминант 2 - C3/4D всегда положителен, так как C < 0, D > 0; следовательно, всегда действительна.

Два корня уравнения (14) противоположны по знаку, и только один из них имеет физический смысл при данной величине qL. Действительно, совместность уравнений (12) и (13) требует, чтобы выполнялось равенство qL sign = sign tg. (17) Выше предполагалось, что величина q жестко определяется условием (9). В этом случае мы получаем осцилляционную зависимость логарифмической производной амплитуды на границе от Дфазовой толщиныУ образца на границе qL и, следовательно, от температуры. Однако это не единственный возможный сценарий. Поведение реальной системы управляется боРис. 1. Фазовый портрет уравнения (10). A = 10 000, B = 100, лее сложными уравнениями, чем полученные нами в C = -200, D = 1, T0 = 1. Сепаратрисы показаны штриховыми приближении медленно меняющейся амплитуды. Это линиями. Наклонные прямые соответствуют линейным однозначит, что реальная система в поиске конфигурации, родным граничным условиям (11) при = 1 (1) и -1 (2).

минимизирующей свободную энергию, может нарушить некоторые из наших предположений. Одна из возможностей Ч это подстройка величины q таким образом, решениям уравнения (10), лежат внутри области, чтобы энергия была минимальной. Для относительно ограниченной сепаратрисами. Граничные условия (11) толстых пленок qL велико и достаточно очень малых представлены на фазовой диаграмме прямыми линиями поправок к этой величине для минимизации энергии.

с отрицательным наклоном для положительных длин Другая возможность состоит в изменении волнового экстраполяции и vice versa. Из рис. 1 видно, что в случисла q только в пределах некоторого пограничного чае положительных длин экстраполяции все возможные слоя. Лишь численный анализ уравнения четвертого решения лежат внутри.

порядка может дать ответ на вопрос о том, по какому Аналитическое решение уравнения (10) имеет вид пути пойдет реальная система.

Очевидно, что при сделанных нами предположениях 3Bucn (Qx, k) 4DA - C2 проблема фазового перехода в несоразмерную фазу u(x) =u0, Q = +, (18) dn (Qx, k) 8DC 16C сводится к граничной задаче, которая с математической точки зрения аналогична проблеме сегнетоэлектричеu0 = u(x = 0) Ч величина u в середине пленки, k Ч ского фазового перехода в тонкой пленке. Длина эксэллиптический модуль, траполяции в (11) описывает отличие объемных и поверхностных свойств и может быть как положитель4(C2 - 4DA) k = u0 - u2, (19) ной, так и отрицательной. Естественно предположить, 3DB что должна быть положительной в случае пленки со причем u0 связано с следующим соотношением:

свободной поверхностью. Размерные эффекты в тонких пленках заметны, когда длина экстраполяции сравнима dn(QL/2, k) =(1 - k2). (20) с толщиной пленки. Таким образом, если толщина Q tn(QL/2, k) пленки L предполагается большой по сравнению с Здесь cn, tn, dn Ч эллиптические функции Якоби [13].

периодом пространственной модуляции 2/q, то это Полученные нами решения описывают распределение справедливо и для 2/q. В следующем разделе амплитуды параметра порядка по толщине образца при мы проанализируем аналитическое решение уравнения любых значениях феноменологических параметров вевторого порядка.

щества, толщины пленки и температуры. Они позволяют также находить зависимость температуры перехода Ti от 4. Анализ решений уравнения второго толщины пленки при различных значениях феноменологических параметров (Ti Ч температура, при которой порядка u0, а следовательно, и u(x) обращаются в нуль).

Обсуждение целесообразно начать с анализа фазового Зависимости амплитуды параметра порядка u от x портрета уравнения (10), который представлен на рис. 1. для положительных и отрицательных при различных Видны две области решений, разделенные сепаратри- значениях температуры показаны на рис. 2 и 3. Иссами, которые показаны на рис. 1 штриховыми линия- пользованные величины феноменологических параметми. Замкнутые кривые, соответствующие периодическим ров приведены в подписи к рис. 1. Поведение u(x) при Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Неоднородные состояния тонкопленочного несоразмерного сегнетоэлектрика положительных аналогично поведению спонтанной поляризации сегнетоэлектрических тонких пленок: амплитуда u уменьшается при приближении к поверхности пленки, а ее величина в середине пленки меньше, чем в соответствующем объемном образце (рис. 2).

При отрицательной длине экстраполяции в соответствии с фазовой диаграммой (рис. 1) существует два типа решений для u(x). Поведение решений, показанных на Рис. 4. Зависимость температуры Ti фазового перехода в несоразмерную фазу от толщины пленки L при = 1 и -1.

Феноменологические параметры те же, что и для рис. 1.

рис. 3, аналогично поведению поляризации в сегнетоэлектрических пленках: амплитуда u увеличивается при приближении к поверхности, а ее величина в середине пленки больше, чем в соответствующем объемном обРис. 2. Зависимость амплитуды параметра порядка u от коорразце.

динаты x 0 для положительных при различных значениях В случае второго решения амплитуда u в пленке температуры. Значения феноменологических параметров те меньше, чем в объемном образце, в то время как ее же, что и для рис. 1; L = 2. Штриховые прямые показывают абсолютная величина возрастает при приближении к величины амплитуд в объемных образцах при тех же темпераповерхности, причем амплитуда меняет знак при некотурах.

тором x, что соответствует скачку фазы волны. Однако вычисление вкладов друх решений в термодинамический потенциал пленки при отрицательном показывает, что решение первого типа (со значением u на границе, большим, чем в объеме) энергетически более выгодно.

Зависимость температуры несоразмерного фазового перехода от толщины пленки при положительной и отрицательной длине экстраполяции приведена на рис. 4.

Видно, что Ti убывает с уменьшением толщины пленки при положительной длине экстраполяции и обращается в нуль при некоторой критической толщине. Аналогичная зависимость была получена для сегнетоэлектрической и антисегнетоэлектрической пленок, когда предполагалась положительной [5,8]. Зависимость Ti от толщины для отрицательных имеет противоположный характер.

Список литературы Рис. 3. Зависимость амплитуды параметра порядка u от коор- [1] K. Ishikawa, K. Yoshikawa, N. Okada. Phys. Rev. B 37, 10, динаты x 0 для отрицательных при различных значениях 5852 (1988).

температуры. Значения феноменологических параметров те [2] E.V. Colla, A.V. Fokin, Yu.A. Kumzerov. Solid State Commun.

же, что и для рис. 1; L = 2. Штриховые прямые показывают 103, 2, 127 (1997).

величины амплитуд в объемных образцах при тех же темпера- [3] J.F. Scott, H.M. Duiker, P.D. Beale, B. Pouligny, M. Parris, турах. D. Butler, S. Eaton. Physica B 150, 1, 160 (1988).

10 Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 2066 С.А. Ктиторов, О.С. Погорелова, Е.В. Чарная [4] S. Chattopadhyay, P. Ayyub, V.R. Palkar, M. Multani. Phys.

Rev. B 52, 18, 13 177 (1995).

[5] D.R. Tilley. In: Ferroelectric Ceramics / Ed. N. Setter and E.L. Colla. Birkhause, Basel (1993). P. 163.

[6] W.L. Zhong, Y.G. Wang, P.L. Zhang, B.D. Qu. Phys. Rev. B 50, 2, 698 (1994).

[7] Y.G. Wang, W.L. Zhong, P.L. Zhang. Phys. Rev. B 53, 17, 11 439 (1996).

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам