Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 11 К расчету продольной восприимчивости суперпарамагнитных частиц й Ю.П. Калмыков, С.В. Титов Centre dТEtudes Fondamentales, Universit de Perpignan, 66860 Perpignan Cedex, France Институт радиотехники и электроники Российской академии наук, 141190 Фрязино, Московская обл., Россия E-mail: kalmykov@univ-perp.fr svt245@ire216.msk.su (Поступила в Редакцию 10 декабря 2002 г.

В окончательной редакции 7 апреля 2003 г.) Получены простые аналитические выражения для продольной комплексной восприимчивости () систем невзаимодействующих суперпарамагнитных частиц с одноосной и кубической анизотропией для модели непрерывной диффузии в случаях умеренного и сильного затухания.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 01-0216050) и INTAS (проект № 01-2341).

Однодоменные ферромагнитные частицы характеризу- = v/kT, v Ч объем частицы, k Ч постоянная Больцются внутренним анизотропным потенциалом с несколь- мана, T Ч температура, N = Ms (1 + 2)/(2) Ч кими минимумами, разделенными барьерами. Если раз- характеристическое (диффузионное) время, Ms Ч намеры частиц малы ( 10 nm), то барьеры относительно магниченность материала частицы, = Ms Ч безразнизкие. В этом случае вектор намагниченности M(t) мерный коэффициент затухания, характеризующий инможет переориентироваться через барьеры благодаря тенсивность тепловых флуктуаций. При выводе (1) предтепловым флуктуациям. Тепловая нестабильность намагполагалось, что намагниченность всегда однородна и изниченности обусловливает явление суперпарамагнитизменяется только ее направление (но не величина); кроме ма [1Ц3], поскольку каждая частица ведет себя как патого, не учитывались межчастичные взаимодействия и рамагнитный атом с магнитным моментом 104 - 105 эффекты памяти. Детальное обсуждение области примемагнетонов Бора. Динамика намагниченности однодонимости уравнений Гильберта (1) и ФоккераЦПланка (2) менных ферромагнитных частиц описывается уравнеможно найти, например, в [7,8]. Уравнение (2) может нием Ландау и Лифшица [4]. Гильберт в [5] предлобыть формально решено методом разложения функции жил аналогичное уравнение. Браун в [2,6] применил распределения W в ряд по сферическим гармоникам эти уравнения для описания динамики намагниченности Yl,m(, ) [7,9] ( и Ч полярный и азимутальный индивидуальной частицы, воспользовавшись методом углы соответственно). В этом случае задача сводится уравнения Ланжевена из теории броуновского движения.

к решению бесконечной системы рекуррентных уравВ качестве уравнения Ланжевена Браун использовал нений для усредненных сферических гармоник (моменуравнение Гильберта с флуктуирующим полем [5,6] тов) [9]. Эквивалентную моментную систему уравнений можно также получить путем усреднения уравнения (t) = M(t) H(t) +h(t) - (t), (1) Гильберта (1) без использования уравнения Фоккера - где Ч гиромагнитное отношение, Ч коэффициент Планка [10,11].

трения; суммарное магнитное поле может состоять Кинетика намагниченности однодоменных частиц из внешних приложенных полей, эффективного поля определяется в основном типом анизотропии свободной магнитной анизотропии (все обоначаются H) и слуэнергии V. В данной работе рассматриваются два тичайного поля h(t). Из (1) Браун получил уравнением па анизотропии. Первый Ч соответствует одноосным ФоккераЦПланка для плотности вероятности распредечаситцам, находящимся во внешнем постоянном магления W (M, t) намагниченности M [2,6] нитном поле H0 (предполагается, что H0 направлено вдоль оси симметрии внутреннего потенциала частицы).

W = LFPW = t 2N В этом случае плотность свободной энергии имеет вид [6] -1u (V W ) +(W V ) + W. (2) V () =- cos2 - cos, (3) Здесь LFP Ч оператор ФоккераЦПланка, и Чопегде = vK/(kT), = vMs H0/(kT), K Ч константа раторы Лапласа и градиента на поверхности единичной анизотропии. Второй случай соответствует кубической сферы, V Ч плотность свободной энергии частицы, u Ч единичный вектор вдоль вектора намагниченности M, анизотропии, для которой плотность свободной энергии 2038 Ю.П. Калмыков, С.В. Титов имеет вид [6] Угловые скобки обозначают равновесное усреднение по ансамблю.

V (, ) = (sin4 sin2 2 + sin2 2), (4) Согласно (5), для нахождения () необходимо определить спектр (одностороннее преобразование Фугде = vK/(4kT) Ч безразмерный параметр анизотрорье) равновесной автокорреляционной функции C (t).

пии, который может принимать как положительные, так Таким образом, спектр () полностью определяется и отрицательные значения.

временной эволюцией функции C (t). В свою очередь Кинетические характеристики намагниченности одноповедение функции C (t) во временной области опре осных частиц исследовались, например, в [2,6,12Ц22].

деляется кинетикой намагниченности частицы и харакВ частности, собственные значения оператора Фоккера - теризуется тремя временными постоянными. Изменение Планка (2) изучались в [2,6,12,19]. Точное выражение C (t) на больших временах определяется долгоживущидля времени релаксации продольной намагниченности ми релаксационными модами, которые обусловливают было выведено в [13,14]. Продольная комплексная воспереориентации намагниченности M между метастаприимчивость и время релаксации были рассчитаны бильными состояниями. Этот (низкочастотный) процесс в [15] на основе метода непрерывных матричных дробей.

характеризуется наименьшим собственным значением В случае кубической анизотропии ранее применялось оператора ФоккераЦПланка LFP из (2). Релаксация C (t) главным образом приближение дискретных ориентаций на малых временах обусловлена высокочастотными и исследовались асимптотические решения уравнения ДвнутриямнымиУ (intrawell) модами и характеризуется ФоккераЦПланка (2) (например, [6,9,23Ц27]). В недавних eff эффективным временем релаксации, задаваемым как работах [28Ц31] с помощью метода матричных непреeff рывных дробей рассчитаны время релаксации про = -1/ (0). (8) дольной компоненты намагниченности и динамическая Для характеристики эволюции C (t) в целом служит магнитная восприимчивость () частиц с кубической интегральное время релаксации (совпадающее с вреанизотропией.

менем корреляции C (t)), которое определяется как В данной работе предложены простые расчетные площадь под кривой C (t) формулы для продольной комплексной магнитной вос приимчивости () систем невзаимодействующих однодоменных частиц с одноосной и кубической анизо = C (t) dt. (9) тропией в случае умеренного и сильного затухания ( 1), когда можно пренебречь влиянием поперечных eff Времена и могут быть также выражены через мод на продольную релаксацию. Показано, что эти формулы хорошо согласуются с численными решени- собственные значения k оператора Фоккера-Планка LFP. Учитывая формальное представление функями, полученными на основе матричных непрерывных ции C (t) по релаксационным модам дробей [15,29,30].

k C (t) = cke- t, (10) 1. Продольная релаксация k намагниченности из (8)Ц(10) получаем -В соответствии с теорией линейной реакции [32] eff = kck, = ck/k. (11) продольная компонента тензора комплексной магнитной k k восприимчивости () определяется следующим выражением:

Здесь ck = 1. В общем случае зависимости времен, k eff и 1/1 от параметров задачи (таких как напря () = () - i () = 1 - i e-itC (t) dt, женность внешнего поля, константа анизотропии) могут 0 быть весьма различны [15].

(5) Как видно из (11), все собственные значения k eff где вносят вклад в и. Поэтому использовать выраже cos (0) cos (t) - cos (0) 2 eff ния (11) для расчетов и затруднительно. Расчеты C (t) = (6) cos2 (0) - cos (0) 0 удобнее проводить непосредственно по формулам (8) Ч равновесная нормированная автокорреляционная и (9). Расчетная формула для эффективного времени eff функция продольной компоненты намагниченности M, релаксации из (8) для анизотропии произвольного типа может быть получена из уравнения Гильберта v2M2Ns 2 для средней намагниченности, записанного в полярных = cos2 (0) - cos (0) (7) kT координатах, Ч продольная компонента тензора статической магd V V 2N cos = -2cos + sin -. (12) нитной восприимчивости, N0 Ч концентрация частиц.

dt Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. К расчету продольной восприимчивости суперпарамагнитных частиц Из (12) следует, что что асимптотические выражения (17) и (18) носят общий характер и справедливы для произвольной системы d 1 sin 2 V невзаимодействующих суперпарамагнитных частиц.

cos cos = - cos2 dt 0 N В общем случае корреляционная функция C (t), со гласно (10), представляется в виде бесконечного набора V + cos = - 1 - cos2. (13) 0 экспоненциально затухающих мод с характеристически2 0 2N ми частотами, равными собственным значениям k. Вбистабильных и мультистабильных потенциалах (какими Таким образом, из (6), (8) и (13) получаем являются, например, свободная энергия одноосных и cos2 - cos 2 кубических кристаллов) собственные значения k разeff = 2N. (14) деляются на два класса. К первому классу относятся 1 - cos2 собственные значения (иногда это только одно собственДля частного случая одноосных частиц формула (14) ное значение 1, как для одноосных частиц [12,19]), кобыла получена в [33]. Интегральное время релаксации торые характеризуют долгоживущие продольные моды, выражается в квадратурах только для произвольного связанные с переориентациями намагниченности через аксиально-симметричного потенциала V [14,34] потенциальные барьеры. С уменьшением температуры (увеличением барьеров) такие собственные значения экспоненциально стремятся к нулю, так что 1N 1.

2N = C (t)dt = Ко второму классу относятся все остальные собственZ cos2 - cos ные значения, которые характеризуют высокочастотные ДвнутриямныеУ моды. С уменьшением температуры 1 z eV (z ) характеристические частоты этих мод увеличиваются, z - cos e-V (z ) dz 2 dz. (15) при этом основной вклад в восприимчивость вносит 1 - z -1 -несколько мод с близкими частотами [15,19]. Учитывая, что в случае умеренного и сильного затухания для Здесь одноосной и кубической анизотропии имеется именно такое поведение собственных значений [15,19,24Ц26] и Z = e-V (x) dx, что диффузионные процессы внутри потенциальной ямы -происходят гораздо быстрее, чем переходы через барьер, для описания эволюции корреляционной функции C (t) из (10) используем следующее выражение:

cosn = xn e-V (x) dx, (n = 1, 2). (16) Z -1 W C (t) e- t +(1 - ) e-t/. (19) 1 Для произвольной анизотропии подобная аналитическая Соответственно спектр () может быть представлен формула для до сих пор не получена. Тем не менее в виде суммы двух лоренцианов с характеристическими может быть найдено из (9) численно [15,21,29Ц31].

-частотами 1 и W 2. Оценочное выражение () 1 - = +. (20) для магнитной восприимчивости 1 + i/1 1 + iW Используя свойства преобразования Фурье, можно Здесь параметры и W определяются из сопоставполучить из (5), (8) и (9) следующие выражения для ления (19) и (20) в пределах случая низких ( 0) продольной восприимчивости () в предельных слуи высоких ( ) частот с точными асимптотическичаях низких ( 0) и высоких ( ) частот:

ми соотношениями (17) и (18) eff / - () =, (21) = 1 - i C (t) dt + O(2) eff 1 - 2 + 1/(1 ) 1 - W =. (22) = 1 - i + O(2), (17) eff 1 - 1/ ( и W получаются из решения квадратного уравне () (0) i - + O(-2) =- + O(-2). (18) ния, у которого только один корень имеет физический eff i смысл). Таким образом, сделав незвисимые оценки, eff Согласно (17) и (18), низкочастотная и высокочастотная и 1, можно рассчитать и W и на основе (20)Ц(22) части спектра магнитных потерь () определяются предсказать спектр () во всем частотном диапазоне eff временами и соответственно. Следует заметить, 0 <.

Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 2040 Ю.П. Калмыков, С.В. Титов Следует отметить, что для суперпарамагнитной частицы с произвольной анизотропией вклад высокочастотных ДвнутриямныхУ мод в (20) может быть аппроксимирован одним лоренцианом только при средних и больших значениях параметра затухания, 1, так как только в этом случае можно пренебречь влиянием поперечных мод на продольный отклик. Одноосная частица в наложенном внешнем постоянном поле H0, совпадающем с осью анизотропии, является исключением. Здесь eff (),, и 1/1 не зависят явно от.

3. Одноосные частицы Рис. 1. () для = 2 и различных значений. Сплошные Комплексная продольная восприимчивость одноосных линии Ч точное решение методом непрерывных матричных частиц с плотностью свободной энергии V из (3) была дробей [15], точки Ч расчет по формуле (20) со значеeff рассчитана в [15] с использованием точного решения ниями, и 1/1 из таблицы, пунктирные и штриховые (в терминах матричных непрерывных дробей) бесконечлинии Ч низкочастотные и высокочастотные асимптоты (уравной системы рекуррентных уравнений для продольных нения (15), (17) и (14), (18) соответственно).

корреляционных функций f (t) n 2N d f (t) + 1 - f (t) n n n(n + 1) dt (2n - 1)(2n + 3) n - = f (t)- f (t) +2 f (t) n-1 n+1 n-2n+1 (2n-1)(2n+1) n + - f (t), n = 1, 2,..., (23) n+(2n + 1)(2n + 3) где f (t) = cos (0)Pn[cos (t)] n - cos (0) Pn[cos (0)], 0 Pn(z ) Чполиномы Лежандра. Определив f (t)/ f (0) 1 C (t), можно рассчитать из (5) комплексную воспри- Рис. 2. То же, что на рис. 1, для = 10 и различных имчивость [15]. Наименьшее собственное значение 1 значений.

оператора ФоккераЦПланка может быть найдено из системы рекуррентных уравнений (23), записанной в матричном виде [15] равновесные средние (16) для заданного потенциала (3).

= X, (24) Наконец, интегральное время релаксации можно рассчитать по аналитической формуле (15).

где Ч пятидиагональная матрица, X Ч вектор, Сравнение результатов расчетов спектров мнимой состоящий из функций f (t). Эффективное время реn eff части комплексной восприимчивости () одноосных лаксации может быть рассчитано из (14) через частиц, выполненных с помощью матричных непрерывных дробей [15] и по приближенным формуeff Численные значения (15), (14), 1/1 (23) и W (22) лам (20)Ц(22), при различных значениях параметров eff и и значений 1/1, и из таблицы представлено = 10 = 0 = 2 = 5 = на рис. 1 и 2 (при расчетах полагалось v2M2N0/kT = 1).

s N/1 693.9 232.5 26.82 2.В спектре () ярко выражены две полосы. Частота /N 691.0 224.1 3.398 0.и полуширина низкочастотной полосы определяются 1.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам