Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |   ...   | 32 |

аа Кто тольконе пытался доказать теорему Ферма. Любой свежеоперившийся студент считал своимдолгом приложиться к Великой теореме, но доказать ее все никак никому неудавалось. Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. Среди математиков сталразвиваться массовый синдром: "Как же так Ферма доказал, а я что, не смогу чтоли" и некоторые из них на этой почве свихнулись в полном смысле этого слова.

аа Сколько бытеорему не проверяли - она всегда оказывалась верна. Я знал одного энергичногопрограммиста, который был одержим идеей опровергнуть Великую теорему, пытаясьнайти хотя бы одно ее решение методом перебора целых чисел с использованиембыстродействующего компьютера (в то время чаще именовавшегося ЭВМ). Он верил вуспех своего предприятия и любил приговаривать: "Еще немного - и грянетсенсация!". Думаю, что в разных местах нашей планеты имелось немалое количествотакого сорта смелых искателей. Ни одного решения он, конечно же, не нашел. Иникакие компьютеры, хоть даже со сказочным быстродействием, никогда не смоглибы проверить теорему, ведь все переменные этого уравнения (в том числе ипоказатели степени) могут возрастать до бесконечности.

аа Самый виртуозный и плодотворныйматематик XVIII века Леонард Эйлер, архив записей которого человечестворазгребало почти целый век, доказал теорему Ферма для степеней 3 и 4 (вернее,он повторил утерянные доказательства самого Пьера Ферма); его последователь втеории чисел, Лежандр - для степени 5; Дирихле - для степени 7. Но в общем видетеорема оставалась недоказанной.

аа В начале XX века (1907) состоятельный немецкий любительматематики по фамилии Вольфскель завещал сто тысяч марок тому, кто предъявитполное доказательство теоремы Ферма. Начался ажиотаж. Математические кафедрыбыли завалены тысячами доказательств, но все они, как вы догадываетесь,содержали в себе ошибки. Говорят, что в некоторых германских университетах, вкоторые поступали "доказательства" теоремы Ферма в большом количестве, былизаготовлены бланки примерно такого содержания:

Уважаемый__________________________!

аа В Вашемдоказательстве теоремы Ферма на ____ странице в ____ строчке сверху
аа вформуле:____________________ обнаружена следующая ошибка:,

которыерассылались незадачливым соискателям премии.

аа В то время в кругу математиковпоявилось полупрезрительное прозвище - фермист. Так называли всякогосамоуверенного выскочку, которому не хватало знаний, но зато с лихвой хваталоамбиций для того, чтобы второпях попробовать силенки в доказательстве Великойтеоремы, а затем, не заметив собственных ошибок, гордо хлопнув себя в грудь,громко заявить: "Я первый доказал теорему Ферма!". Каждый фермист, будь он хотьдаже десятитысячным по счету, считал себя первым - это и было смешным. Простойвнешний вид Великой теоремы так сильно напоминал фермистам легкую добычу, чтоих абсолютно не смущало, что даже Эйлер с Гауссом не смогли справиться сней.

аа (Фермисты,как ни странно, существуют и сейчас. Один из них - хотя и не считал, чтодоказал теорему, как классический фермист, но до недавних пор предпринималпопытки - отказался верить мне, когда я сообщил ему, что теорема Ферма ужедоказана).

ааНаиболее сильные математики, может быть, в тиши своих кабинетов тоже пробовалиосторожно подходить к этой неподъемной штанге, но не говорили об этом вслух,дабы не прослыть фермистами и, таким образом, не навредить своему высокомуавторитету.

аа Ктому времени появилось доказательство теоремы для показателя степени n<100.Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятносложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Странная гипотеза

аа До серединыXX века никаких серьезных продвижений в истории Великой теоремы не наблюдалось.Но вскоре в математической жизни произошло одно интересное событие. В 1955 году28-летний японский математик Ютака Танияма выдвинул утверждение из совершеннодругой области математики, получившее название "гипотезы Таниямы" (она же"гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейла"), которое, в отличие от запоздалой теоремыФерма, опередило свое время.

аа Гипотеза Таниямы гласит: "каждой эллиптической кривойсоответствует определенная модулярная форма". Данное утверждение дляматематиков той поры звучало примерно так же абсурдно, как для нас звучитутверждение: "каждое дерево состоит из определенного металла". Нетрудноугадать, как может отнестись к подобному утверждению нормальный человек - онпопросту не воспримет его всерьез, что и произошло: математики дружнопроигнорировали гипотезу.

аа Небольшое пояснение. Эллиптические кривые, известные с давних пор, имеют двухмерный вид(располагаются на плоскости). Модулярные же функции, открытые в XIX веке, имеютчетырехмерный вид, поэтому мы их даже представить себе не можем своимитрехмерными мозгами, но можем описать математически; кроме того, модулярныеформы удивительны тем, что обладают предельно возможной симметрией - их можнотранслировать (сдвигать) в любом направлении, отражать зеркально, менятьместами фрагменты, поворачивать бесконечно многими способами - и при этом ихвид не изменяется.

Как видим, эллиптические кривые и модулярные формы имеютмало общего. Гипотеза же Таниямы утверждает, что описательные уравнения двухсоответствующих друг другу этих абсолютно разных математических объектов можноразложить в один и тот же математический ряд.

аа Гипотеза Таниямы была слишкомпарадоксальна: она соединила совершенно разные понятия - довольно простыеплоские кривые и невообразимые четырехмерные формы. Такое никому не приходило вголову. Когда на международном математическом симпозиуме в Токио в сентябре1955 года Танияма продемонстрировал несколько соответствий эллиптических кривыхмодулярным формам, то все увидели в этом не более, чем забавные совпадения. Наскромные вопросы Таниямы маститый француз Андре Вейл, который в то время былодним из лучших в мире специалистов в теории чисел, дал вполне дипломатичныйответ, что, дескать, если пытливого Танияму не покинет энтузиазм, то, можетбыть, ему повезет, и его невероятная гипотеза подтвердится, но это, должнобыть, случится не скоро. Вообщем, как и многие другие выдающиеся открытия,сначала гипотеза Таниямы осталась без внимания, потому что до нее еще недоросли - ее почти никто не понял. Один лишь коллега Таниямы, Горо Шимура,хорошо зная своего высокоодаренного друга, интуитивно чувствовал, что егогипотеза верна.

ааЧерез три года (1958) Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством. С точкизрения здравого смысла - никак не понимаемый поступок, особенно, если учесть,что совсем скоро он собирался жениться (сильны, однако, в Японии самурайскиетрадиции). Свою предсмертную записку лидер молодых японских математиков началтак: "Еще вчера я не помышлял о самоубийстве. Последнее время мне частоприходилось слышать от других, что я устал умственно и физически. Вообще-то я исейчас не понимаю, зачем это делаюЕ" и так далее на трех листах. Жаль, конечно,что так сложилась судьба интересного человека, но все гении немного странные -на то они и гении (на ум почему-то пришли слова Артура Шопенгауэра: "в обычнойжизни от гения столько же толку, как от телескопа в театре"). Гипотезаосиротела. Никто не знал, как ее доказать.

аа Лет десять про гипотезу Таниямыпочти не вспоминали. Но в начале 70-х годов она стала популярной - ее регулярнопроверяли все, кто смог в ней разобраться - и она всегда подтверждалась (как,собственно, и теорема Ферма), но, как и прежде, никто не мог еедоказать.

Удивительная связь двух гипотез

аа Прошло ещепримерно 15 лет. В 1984 году произошло одно ключевое событие в жизниматематики, которое объединило экстравагантную японскую гипотезу с Великойтеоремой Ферма. Немец Герхард Фрей выдвинул любопытное утверждение, похожее натеорему: "Если будет доказана гипотеза Таниямы, то, следовательно, будетдоказана и Великая теорема Ферма". Другими словами, теорема Ферма являетсяследствием гипотезы Таниямы. (Фрей методом хитроумных математическихпреобразований свел уравнение Ферма к виду уравнения эллиптической кривой (тойсамой, которая фигурирует и в гипотезе Таниямы), более-менее обосновал своепредположение, но доказать его не смог). И вот буквально через полтора года(1986) профессор калифорнийского университета Кеннет Рибет четко доказалтеорему Фрея.

ааЧто же теперь получилось Теперь оказалось, что, так как теорема Ферма ужеточно является следствием гипотезы Таниямы, нужно всего-навсего доказатьпоследнюю, чтобы сорвать лавры покорителя легендарной теоремы Ферма. Ногипотеза оказалась непростой. К тому же у математиков за столетия появиласьаллергия на теорему Ферма, и многие из них решили, что справиться с гипотезойТаниямы также будет практически невозможно.

Смерть гипотезы Ферма. Рождениетеоремы

аа Прошло еще8 лет. Одному прогрессивному английскому профессору математики из Принстонскогоуниверситета (Нью-Джерси, США), Эндрю Уайлсу, показалось, что он нашелдоказательство гипотезы Таниямы. Если гений не лысый, то, как правило,взъерошенный. Уайлс - взъерошенный, следовательно, похож на гения. Войти вИсторию, конечно, заманчиво и очень хотелось, но Уайлс, как настоящий ученый,не обольщался, понимая, что тысячам ферматистов до него тоже мерещилисьпризрачные доказательства. Поэтому, прежде, чем представить свое доказательствомиру, он тщательно проверял его сам, но осознавая, что может иметь субъективнуюпредвзятость, привлекал к проверкам также и других, например, под видом обычныхматематических заданий он иногда подкидывал смышленым аспирантам различныефрагменты своего доказательства. Позже Уайлс признался, что никто, кроме егожены не знал, что он работает над доказательством Великойтеоремы.

аа И вотпосле долгих проверок и тягостных раздумий, Уайлс наконец-то набралсяхрабрости, а может, как ему самому казалось, наглости и 23 июня 1993 года наматематической конференции по теории чисел в Кембридже объявил о своем великомдостижении.

аа Это,конечно, была настоящая сенсация. Никто не ожидал такой смелости от почтинеизвестного математика. Тут же появилась пресса. Всех терзал жгучий интерес.Стройные формулы, как штрихи прекрасной картины, предстали перед любопытнымивзорами собравшихся. Настоящие математики, они ведь такие - смотрят на всякиеуравнения и видят в них не цифры, константы и переменные, а все равно, чтостихи или музыку слышат, точно так же, как мы, читая книгу, смотрим на буквы,но вроде бы как их и не замечаем, а сразу воспринимаем смысл текста.

аа Презентациядоказательства, казалось, прошла успешно - ошибок в нем не нашли - никто неуслышал ни одной фальшивой ноты. Все решили, что произошло-таки масштабноесобытие: доказана гипотеза Таниямы, а следовательно и Великая теорема Ферма. Нопримерно через два месяца, за несколько дней до того, как рукописьдоказательства Уайлса должна была пойти в тираж, в ней было обнаруженонесоответствие (Кац, коллега Уайлса, заметил, что один фрагмент рассужденийопирался на "систему Эйлера", но то, что соорудил Уайлс, такой системой неявлялось), хотя в целом приемы Уайлса были признаны интересными, изящными иноваторскими.

ааУайлс проанализировал ситуацию и решил, что проиграл. Можно себе представить,как он всем своим существом прочувствовал, что значит "от великого до смешногоодин шаг". "Хотел войти в Историю, а вместо этого вошел в состав командыклоунов и комедиантов - самонадеянных фермистов" - примерно такие мыслиизматывали его в тот тягостный период жизни. Для него, серьезногоученого-математика, это была трагедия, и он забросил свое доказательство вдолгий ящик.

аа Новот через год с небольшим, в сентябре 1994 года, во время размышления над темузким местом доказательства вместе со своим коллегой Тейлором из Оксфорда,последнего неожиданно осенила мысль, что "систему Эйлера" можно поменять натеорию Ивасава (раздел теории чисел). Тогда они попробовали воспользоватьсятеорией Ивасава, обойдясь без "системы Эйлера", и у них все сошлось.Исправленный вариант доказательства был отдан на проверку и через год былообъявлено, что в нем все абсолютно четко, без единой ошибки. Летом 1995 года водном из первенствующих математических журналов - "Анналы математики" - былоопубликовано полное доказательство гипотезы Таниямы (следовательно, Великой(Большой) теоремы Ферма), которое заняло весь номер - свыше ста листов.Доказательство так сложно, что понять его целиком могли всего лишь несколькодесятков человек во всем мире.

аа Таким образом, в конце ХХ века весь мир признал, что на 360году своей жизни Великая теорема Ферма, которая на самом деле все это времяявлялась гипотезой, стала-таки доказанной теоремой. Эндрю Уайлс доказал Великую(Большую) теорему Ферма и вошел в Историю.

Подумаешь, доказали какую-то теорему...

аа Счастьепервооткрывателя всегда достается кому-то одному - это именно он последнимударом молота раскалывает твердый орешек. Но нельзя игнорировать множествопредыдущих ударов, которые не одно столетие формировали трещину в орехематематических знаний: Эйлера и Гаусса (королей математики своих времен),Эвариста Галуа (успевшего за свою короткую 21-летнюю жизнь основать теориигрупп и полей, работы которого были признаны гениальными лишь после егосмерти), Анри Пуанкаре (учредителя не только причудливых модулярных форм, но иконвенционализма - философского течения ), Давида Гилберта (одного изсильнейших математиков ХХ века), Ютаку Танияму, Горо Шимуру, Морделла,Фальтингса, Эрнста Куммера, Барри Мазура, Герхарда Фрея, Кена Риббета, РичардаТейлора и других настоящих ученых (не побоюсь этих слов).

аа Доказательство Великой теоремыФерма можно поставить в один ряд с такими достижениями ХХ века, как изобретениекомпьютера, ядерной бомбы и полет в космос. Хоть о нем и не так широкоизвестно, потому что оно не вторгается в зону наших сиюминутных интересов, какнапример, телевизор или электрическая лампочка, но оно явилось вспышкойсверхновой звезды, которая, как и все непреложные истины, всегда будет светитьчеловечеству.

аа Выможете сказать: "Подумаешь, доказали какую-то теорему, кому это надо". Справедливый вопрос. Тутв точности сгодится ответ Давида Гилберта. Когда на вопрос: "какая задачасейчас для науки наиболее важна", он ответил: "поймать муху на обратнойстороне Луны", его резонно спросили: "А кому этонадо", он ответил так: "Это никому не надо. Ноподумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, чтобы этоосуществить". Подумайте, сколько задач за 360 лет смогло решить человечество,прежде, чем доказать теорему Ферма. Надо также учесть, что математика -авангард науки и любые научные достижения и изобретения начинаются именноздесь. Как заметил Леонардо да Винчи, "наукой можно признать лишь то учение,которое подтверждается математически".

* * *

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |   ...   | 32 |    Книги по разным темам