Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 10 Аналог формулы Кубо для электропроводности в случае пространственно неоднородных сред и электрических полей, й С.Т. Павлов, И.Г. Ланг, Л.И. Коровин Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Esquela de Fisica dela UAZ, Apartado Postal c-580, 98060 Zacatecas, Mexico Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук, 117924 Москва, Россия E-mail: korovin@mail.ioffe.ru, pavlov@ahobon.reduaz.mx (Поступила в Редакцию 27 марта 2003 г.) Вычислены средние величины плотностей тока и заряда, наведенных слабым электромагнитным полем в случае пространственно неоднородных систем при конечной температуре. Формула Кубо для тензора электропроводности обобщена на случай неоднородных в пространстве систем и полей. Выделены вклады, содержащие электрические поля и производные от полей по координатам. В качестве пространственно неоднородных систем могут выступать полупроводниковые квантовые ямы, проволоки и точки.

В связи с повышенным интересом к эксперименталь- Оператор взаимодействия электромагнитного поля ному и теоретическому изучению полупроводниковых с системой заряженных частиц выражается через векобъектов пониженной размерности (квантовых ям, про- торный A(r, t) и скалярный (r, t) потенциалы (см., волок и точек) становится актуальным построение фун- например, [2], стр. 68), но не выражается через элекдаментальной теории взаимодействия электромагнитных трическое E(r, t) и магнитное H(r, t) поля (кроме полей с пространственно неоднородными системами. частных случаев, например постоянного электрического поля). Соответственно операторы плотности тока j1(r, t) В работе Кубо [1] получена формула для тензора и плотности заряда 1(r, t) в линейном приближении по электропроводности, применимая в случае однородных векторному и скалярному потенциалам не выражаются в пространстве систем и электрических полей, не зависячерез E(r, t) и H(r, t). Однако средние значения j1(r, t) щих от пространственных координат. Эта формула точно и 1(r, t) должны выражаться через поля, поскольку учитывает взаимодействие носителей тока со средой это наблюдаемые величины. При конечной температуре и поэтому является эффективным инструментом при T среднее определяется как [1,3,4] решении конкретных задач об электропроводности в теории твердого тела. В настоящей работе мы обобщаем Sp{exp(-H)... } формулу Кубо на случай пространственно неоднород... =, =, (2) Sp{exp(-H)} kT ных систем и пространственно неоднородных полей.

Предварительно вычислим средние значения наведенных H Ч гамильтониан без учета взаимодействия частиц со электромагнитным полем плотностей тока и заряда слабым электромагнитным полем.

в случае неоднородной среды.

В [5] получены выражения для средних 0|j1(r, t)|При выводе формулы Кубо [1] был использован опеи 0|1(r, t)|0 для случая T = 0, когда среднее... ператор взаимодействия носителей тока с электрическим реходит в среднее 0|... |0 по основному состоянию |0.

полем в виде Настоящее исследование является продолжением укаUK = - eiriE(t), (1) занной работы: используются обозначения и многие i результаты [5].

где ei и ri Ч соответственно заряд и радиус-вектор Проблема выражения средних j1(r, t) и 1(r, t) i-ой частицы, E(t) Ч зависящее от времени, но одчерез электрические и магнитные поля актуальна еще нородное в пространстве электрическое поле. Однако и потому, что если выражать среднее j1(r, t) через из уравнений Максвелла следует, что зависящее от векторный и скалярный потенциалы, то оно содержит времени электрическое поле обязательно зависит и от вклад -(e/mc) (r) A(r, t), где e = ei, m = mi Ч сооткоординат, так что использование (1) всегда является ветственно заряд и масса частиц, c Ч скорость света, неким приближением, если поле E зависит от t. В слу(r) Ч оператор плотности заряда в нулевом приближечае пространственно неоднородных систем зависимость нии по полям (см. (9)). Этот вклад создает сложности поля от координат может быть существенной.

при решении некоторых конкретных задач, например, Наша задача состоит в учете неоднородности среды об отражении и поглощении света полупроводниковыми и получении дополнительных членов в формуле Кубо, квантовыми ямами. Эти сложности удается избежать, содержащих производные от электрического поля по если выразить средние j1(r, t) и 1(r, t) через элеккоординатам. трические поля и их производные по координатам.

1904 С.Т. Павлов, И.Г. Ланг, Л.И. Коровин Вопрос о том, какой вид взаимодействия использовать взаимодействие с сильным магнитным полем в основной (содержащий векторный потенциал или электрическое гамильтониан H, поле), обсуждался ранее в [6] применительно к задаче Htot = H + U, (5) о рассеянии света в объемных кристаллах. В [6], повидимому, впервые используется прием перехода от где операторов vi скорости частиц к операторам ri коорди1 e нат согласно квантовому соотношению vi =(i/ )[H, ri], H = p2 + V (r1,..., rN), pi = Pi - Ac(ri), (6) i 2m c i благодаря чему удается перейти от выражений, содержащих векторный потенциал, к выражениям, содержащим U = U1 + U2, электрическое поле. Однако, поскольку мы должны U1 = - d3rj(r)A(r, t) + d3r(r)(r, t), решать другие задачи о пространственно неоднородных c системах, приходится вновь возвращаться к этой теме.

e Рассмотрим случай конечной температуры, будем U2 = d3r(r)A2(r, t), (7) 2mc использовать математические приемы, предложенные а также введены операторы плотности тока в [1,3]. Будем сравнивать наши результаты с выводами работы [4], посвященной построению квантовой теории j(r) = ji (r), ji(r) =(e/2) (r - ri)vi + vi(r - ri), пространственной дисперсии электрической и магнитi ной восприимчивости. Далее предполагается, что на vi = pi/m, бесконечно удаленных расстояниях отсутствуют заряды и заряда и токи, а на временах t - поля E(r, t) и H(r, t) равны нулю, что соответствует их адиабатическому (r) = i(r), i(r) =e(r - ri).

включению.

i Операторы ji(r) и i(r) связаны уравнением непрерыв1. Гамильтониан системы и операторы ности плотностей тока и заряда div ji(r) + i(r) =0, i(r) =(i/ ) H, (r), (8) Рассмотрим систему из N частиц с зарядом e и маскоторое будет использоваться при расчетах. Заметим, сой m в произвольном слабом электромагнитном поле, что оператор U2 нигде далее не появляется, поскольку характеризуемом напряженностями E(r, t) и H(r, t). Ввеон квадратичен по векторному потенциалу и его учет дем векторный A(r, t) и скалярный (r, t) потенциалы, выходит за рамки линейного приближения по полям.

через которые выражаются поля Линейные по потенциалам A(r, t) и (r, t) добавки к операторам плотности тока и заряда в представлении 1 A(r, t) Гейзенберга равны E(r, t) =- - grad (r, t), c t e j1(r, t) =- (r, t)A(r, t) mc H(r, t) =rot A(r, t). (3) t i Поля предполагаются классическими, калибровка потен+ dt [U1(t ), j(r, t)], циалов A и произвольна. Для полноты задачи будем считать, что система частиц может быть помещена в поt i стоянное магнитное поле Hc, которое может быть силь- 1(r, t) = dt U1(t ), (r, t), (9) ным. Этому полю соответствует векторный потенциал Ac(r), так что Hc = rot Ac(r). Полный гамильтониан Htot где нижний индекс 1 означает линейное приближение по полям; (r, t), j(r, t) и U1(t) Ч операторы в представлезапишем в виде нии взваимодействия, например 1 e e Htot = (Pi - Ac(ri) - A(ri, t))(r, t) =exp(iHt/ )(r) exp(-iHt/ ), 2m c c i [F, Q] =FQ - QF. Подставив в (9) выражение (7) + V (r1,..., rN) +e (ri, t), (4) для U1, получаем i e j1(r, t) =- (r, t)A(r, t) mc где Pi =( /i)(/ri) Ч оператор обобщенного импульt са, V (r1,..., rN) Ч потенциальная энергия, включаюi + d3r dt j(r, t), j(r, t ) A(r, t ) щая взаимодействие между частицами и внешний потен c циал. В (4) необходимо учитывать некоммутативность t Pi и Ac(ri), A(ri, t). Выделим в (4) энергию U взаи- i - d3r dt j(r, t), (r, t ) (r, t ), (10) модействия частиц с электромагнитым полем, включив Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Аналог формулы Кубо для электропроводности в случае пространственно неоднородных сред... t t i 1(r, t) = d3r dt (r, t), j(r, t ) A(r, t ) a(r, t) =-c E(r, t )dt. (18) c - Преобразуем полученные выражения так, чтобы был t i - d3r dt (r, t), (r, t ) (r, t ). (11) виден переход к формуле Кубо в случае простран c ственно однородных систем и электрического поля, не зависящего от координат. Используем соотношение [1,3] 2. Средние значения наведенных i dQ(t ) [F(t), Q(t )] = d F(t + i ), (19) плотностей тока и заряда dt справедливое для любой пары операторов F и Q. ИсВ [5] рассмотрен случай T = 0 и операторы (10) пользуя (19), из (13) получаем и (11) усреднены по основному состоянию системы.

В [7] (стр. 84) показано, что при усреднении нужно исt пользовать волновые функции |0 основного состояния j1(r, t) = d3r dt E без учета взаимодействия U. Преобразуя выражения для усредненных величин 0| j1(r, t)|0 и 0|1(r, t)|0, в [5] d(r, t ) d j(r, t + i ) E(r, t ). (20) мы получили dt 0| j1(r, t)|0 = 0| j1(r, t)|0 + 0| j1(r, t)|0, Можно показать, что E E/r j(r, t) 0|1(r, t)|0 = 0|1(r, t)|0 + 0|1(r, t)|0, (12) d(r, t)/t = -r. (21) E E/r r где индексы E и E/r соответственно обозначают Подставив (21) в (20) и интегрируя по r по частям, вклады, содержащие электрическое поле и производные получаем от поля по координате. Переходя к рассмотрению систем t при конечной температуре, заменим в формулах (12) j1(r, t) = d3r dt d j(r, t ) j(r, t + i ) E - усреднение 0|... |0 по основному состоянию усреднением..., определенным (2). Законность заменыодного t типа усреднения другим доказана далее при сравнении E(r, t ) + d3r dt d Y(r, t ) j(r, t + i ) - с результатами работ [1,3,4].

В соответствии с [5] имеем E(r, t ). (22) r i j1(r, t) = d3r E Согласно (15), выражение для j1(r, t) состоит E/r из двух частей. Первую из них не преобразуем, а во t второй выполняем интегрирование по t по частям, dt [ j(r, t), d(r, t )] E(r, t ), (13) а затем используем (19). В результате получаем e a(r, t) j1(r, t) = d(r) - d3r E/r mc r c i 1(r, t) = d3r E t a(r, t) d Y(r ) j(r, i ) - d3r dt t r 0 dt [(r, t), d(r, t )] E(r, t ), (14) E(r, t ) d Y(r, t ) j(r, t + i ). (23) r e a(r, t) i j1(r, t) = d(r) - d3r E/r mc r c Складывая (22) и (23), видим, что последние члены t в правых частях обеих формул сокращаются. Суммарное a(r, t ) dt [ j(r, t), Y(r, t )], (15) выражение разобьем на две части r (1) (2) j1(r, t) = j1(r, t) + j1(r, t) (24) i 1(r, t) = - d3r E/r так, чтобы первая часть содержала электрическое поле, c а вторая Ч производные от поля по координатам, т. е.

t a(r, t ) t dt [(r, t), Y(r, t )], (16) (1) r j1(r, t) = d3r dt где введены обозначения d j(r, t ) j(r, t + i ) E(r, t ), (25) d(r) =r(r), Y(r) =r j(r), (17) 12 Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 1906 С.Т. Павлов, И.Г. Ланг, Л.И. Коровин e a(r, t) (2) что в нем появляется электрическое поле E(r, t), но j1(r, t) = d(r) mc r сохраняется векторный потенциал A(r, t). Проделав ана логичную процедуру в исходном выражении для сред 1 a(r, t) ней наведенной плотности заряда, получаем результат - d3r d Y(r ) j(r, i ). (26) c r (1) вида (27), в котором вклад 1(r, t) определяется (2) формулой (28), а вклад 1(r, t) равен Очевидно, что разбиение (24) не совпадает с разбиением (12), удобным только при T = 0.

Аналогично из (14) и (16) получаем (2) 1(r, t) = d3r d j(r )(r, i ) A(r, t).

c (1) (2) (30) 1(r, t) = 1(r, t) + 1(r, t), (27) (1) Для вклада j1(r, t) из правой части (24) в [3,4] поt (1) лучен результат (25), а для дополнительного вклада Ч 1(r, t) = d3r dt - выражение e (2) d j(r, t )(r, t + i ) E(r, t ), (28) j1(r, t) = - (r) A(r, t) mc (2) 1(r, t) = - d3r + d3r d j(r ) j(r, i ) A(r, t). (31) c c a(r, t) Авторы [4] пошли дальше. С помощью (31) они d Y(r )(r, i ). (29) r (2) выразили производную от величины j1(r, t) по времени через электрическое поле. Проинтегрировав эту Получив выражения (24)Ц(29), мы достигли нашей производную по времени, получаем главной цели: выделили основные вклады с индексом (1) в средние величины наведенных плотностей e (2) тока и заряда и показали, что дополнительные вклады j1(r, t) = - (r) a(r, t) mc с индексом(2) содержат производные от электрического поля по координатам. Смысл разбиения на основной + d3r d j(r ) j(r, i ) a(r, t). (32) и дополнительный вклады состоит в том, что при реc шении любых задач, в которых поле E(r, t) неоднородно в пространстве, можно оценить величины дополнитель- и аналогично ных вкладов и определить, нужно ли их учитывать или можно отбросить. Как и в случае T = 0, полученные (2) 1(r, t) = d3r d j(r )(r, i ) a(r, t).

c выражения содержат операторы ri координат частиц (33) в отличие от исходных выражений (10) и (11), которые Итак, получены формулы для дополнительных вклаэтих операторов не содержат.

дов двух видов: (26) и (29), содержащие только производные от электрического поля по координатам, и (32) 3. Сравнение с результатами и (33), содержащее само электрическое поле.

работы [4] Продемонстрируем, как от (26) можно перейти к (32), а от (29) Чк (33). В последнем члене из правой чаВ [3,4] получены выражения для величин j1(r, t) при сти (26) интегрируем по r по частям. Затем используем конечной температуре, но эти выражения отличаются от равенство выведенных нами и приведенных выше. Параллельно мы проводили аналогичные вычисления величины 1(r, t), dY(r) j(r) = j(r) +r = j(r) - r(r). (34) которая в [1,3,4] не рассматривалась, но в уравнениях dr r Максвелла выступает на равных правах со средней плотностью тока. Заметим, что в [1,3] рассматривалась Тогда из (26) имеем однородная среда, а в [4] Ч неоднородная. Решая уравнение для матрицы плотности, авторы [3] и [4] e a(r, t) (2) j1(r, t) = d(r) приходят к формуле, которую можно получить из (10), mc r если в правой и левой частях провести усреднение..., определенное (2). Очевидно, что аналогичное + d3r d j(r ) j(r, i ) a(r, t) выражение для 1(r, t) можно получить, усреднив обе c стороны в (11).

Далее авторы [3] и [4] преобразуют выражение для - d3r r d (r ) j(r, i ) a(r, t). (35) средней наведенной плотности тока таким образом, c Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Аналог формулы Кубо для электропроводности в случае пространственно неоднородных сред... В последнем члене используем (19) и интегрируем по r. В результате получаем Получаем, что этот последний член равен e (2) j1(r, t) = - { d(r) A(r, t)} ie mc r - j(r), ria(ri, t) c i + d3r d j(r )Ya(r, i ) A(r, t).

e a(r, t) c r = - (r) a(r, t) + d(r). (36) (40) mc r Из (40) следует, что интеграл по всему пространству Подставив полученное в (35), приходим к результа(2) от j1(r, t) равен нулю [4].

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам