Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | Физика твердого тела, 1998, том 40, № 8 Теория фоторефрактивного резонанса й В.В. Брыксин, М.П. Петров Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Поступила в Редакцию 5 февраля 1998 г.) Предложена теория записи голограмм в тонких фоторефрактивных кристаллах и самодифракции двух записывающих лазерных лучей, один из которых периодически модулируется по фазе. В линейном приближении по амплитуде фазовой модуляции приведены выражения для переменной составляющей интенсивности различных дифракционных порядков. Осцилляции интенсивности носят ярко выраженный резонансный характер. Это связано с возбуждением волн фоторефракции, а связь между положением по частоте резонанстных пиков с периодом решетки описывается законом дисперсии этих колебаний. Полученные результаты хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

В фоторефрактивных кристаллах запись голограмм волн, если частота фазовой модуляции и период инпроисходит путем фотовозбуждения электронов, после- терференционной картины удовлетворяют соответствудующего формирования в кристалле объемного заряда ющему дисперсионному соотношению. Это явление мы и как следствие пространственной модуляции показа- называем фоторефрактивным резонансом. Исследование теля преломления возникающим неоднородным элек- проведено как для линейного, так и для нелинейного трическим полем через электрооптический эффект. За- режимов записи. Термин Флинейный режим записиФ мы пись может происходить как в стационарном (статиче- используем, если синусоидальная форма интерференциском) режиме, так и в нестационарных условиях, когда онной картины приводит к строго синусоидальной форме какой-либо из параметров (приложенное электрическое пространственного изменения показателя преломления.

поле, амплитуда и фаза падающих лучей и т. п.) изменяет- Случай когда синусоидальная интерференционная карся во времени [1]. Довольно подробно изучены эффекты, тина приводит к несинусоидальному (хотя и периодичесвязанные с записью в знакопеременном электрическом скому) закону пространственного изменения показателя поле [2,3] или при пилообразном изменении фазы одного преломления, будем называть ФнелинейнымФ режимом из записывающих лучей [4Ц7]. В последнем случае было записи голограмм. Нелинейный режим весьма актуален обнаружено резонансное возбуждение бегущих гологра- при низких пространственных частотах, так как в этом фических решеток (т. е. решеток показателя преломле- случае кристаллы даже достаточно большой толщины ния), когда скорость перемещения интерференционной могут рассматриваться как тонкие голограммы, и на картины совпадала с некоторой характерной скоростью дифракцию не накладываются брэгговские ограничения.

движения голограммы [5]. При анализе нестационарных Поэтому возможно наблюдение дифракции от решеток, механизмов записи уместно пользоваться понятием фо- представляющих собой высшие пространственные гарторефрактивных волн (волн показателя преломления), моники основной голограммы. Полученные теоретичевозбужденных падающим на кристалл светом. В про- ские результаты находятся в весьма хорошем согласии с стейшем случае динамика этих волн совпадает с дина- имеющимися экспериментальными данными.

микой волн перезарядки ловушек [8,9], хотя в условиях, когда существенно влияние самодифракции света на 1. Основные уравнения формирование интерференционной картины по глубине кристалла [10], динамика системы может быть иной. В Если на кристалл падают два когерентных луча, таких ситуациях волны фоторефракции не сводятся к один из которых периодически промодулирован по фазе волнам перезарядки ловушек.

(рис. 1), то интерференционная картина осциллирует В настоящей работе рассматриваются запись голооколо равновесного положения, и скорость генерации грамм и самодифракция света в том случае, когда один из фотоэлектронов g(x, t) в зону проводимости имеет вид лучей периодически модулирован по фазе. Этот режим представляет большой практический интерес, так как g(x, t) =WI(x, t) =g0 1 +m cos(kx +cos t). (1) позволяет регистрировать фазомодулированные оптические лучи с практически произвольными волновыми Здесь интенсивность падающего света I(x, t) =I0{1 +m фронтами [11]. Наибольшее внимание в настоящей cos(kx + cos t)}, I0 Ч полная интенсивность, работе уделено области низких пространственных ча- и Ч амплитуда и частота фазовой модуляции, стот, где можно пренебречь диффузией носителей за- k = 2/ Ч волновой вектор интерференционной ряда, и основным механизмом голографической запи- картины ( Ч период интерференционной картины), си является дрейф электронов в приложенном элек- W = /P0, Ч квантовый выход для фотопроводимотрическом поле. Анализ показал, что в этом случае сти, Ч коэффициент поглощения света, P0 Чэнергия возможно резонансное возбуждение фоторефрактивных фотона записывающего света, g0 = WI0.

Теория фоторефрактивного резонанса рекомбинации. В настоящей работе мы используем простейшую модель N(x, t) n(x, t) = g(x, t) -, (6) t где предствляет собой время жизни фотоэлектронов.

Следует заметить, что такая модель рекомбинации накладывает серьезные ограничения на получаемые конечные результаты. С одной стороны, она предполагает наличие высокой концентрации свободных мест на центрах захвата NA, так что рекомбинация имеет простой вид n/.

С другой стороны, эта модель не учитывает истощения донорных центров. Более полная модель рекомбинации изложена в [12]. Используемая нами модель применима в ситуации, когда внешнее приложенное поле E(и диффузионное поле ED, см. далее) много меньше Рис. 1. Схема, иллюстрирующая направления распространемаксимально возможной амплитуды внутреннего поля ния записывающих лучей и дифракционных порядков. КомEq = eNA/k, где NA Ч концентрация пустых мест плексные амплитуды лучей в плоскости кристалла имеют вид на центрах захвата (т. е. концентрация компенсирующих AS = AS0 exp(ikSx), AR = AR0 exp(ikRx + i cos t). a Чтонкий ловушек) [1,12].

фоторефрактивный кристалл.

В используемой модели концентрация связанных зарядов N легко может быть исключена из задачи посредством подстановки (6) в уравнение непрерывности (2), Индуцированное внутренее электрическое поле E(x, t) которое принимает вид определяется из системы нелинейных дифференциальn(x, t) n(x, t) 1 j(x, t) ных уравнений [12]. Первым из них является уравнение = g(x, t) - +. (7) непрерывности t e x Таким образом, задача определения внутреннего поля (x, t) j(x, t) = -, (2) сводится к необходимости разрешения системы двух t x уравнений (5) и (7) для величин E(x, t) и концентрации где Ч плотность заряда, j Ч плотность тока, свободных электронов n(x, t). Уравнение же Пуассона (4) определяет только концентрацию связанных зарядов n(x, t) j(x, t) =en(x, t) E0 +E(x, t) +eD. (3) и поэтому далее нас не интересует.

x Ток во внешней цепи j0(t) определяется в конце расчета из условия Здесь n(x, t) Ч концентрация фотоэлектронов, и D Ч их подвижность и коэффициент диффузии L ( = eD/(kBT )). Величина E0 представляет собой E(x, t)dx = 0, (8) приложенное внешнее электрическое поле, а E(x, t) Ч индуцированное внутреннее электрическое поле. Плотность заряда и поле связаны между собой уравгде L Ч длина образца.

нением Пуассона Система уравнений (5), (7) по-прежнему слишком сложна для аналитического исследования и требует тех E(x, t) = (x, t). (4) или иных упрощающих предположений. Первым из них x является использование квазистатического приближения Здесь Ч статическая диэлектрическая проницаемость.

для уравнения баланса плотности фотоэлектронов, коДалее будет удобно из уравнений (2) и (4) исключить гда в (7) опускается вклад n/t. Квазистатическое плотность заряда. После интегрирования по координате приближение справедливо, если m 1, где m Ч получаем уравнение для тока максимальная характерная частота задачи, и применимо во всех практически интересных случаях (см. [1]).

E(x, t) + j(x, t) = j0(t). (5) Второе приближение, используемое в настоящей рабо4 t те, связано с малостью амплитуды колебаний решетки Здесь j0(t) есть полный ток во внешней цепи, определя- (см. (1)). Мы будем искать решение системы уравнений емый далее. (5), (7) с точностью до линейных поправок по. Тем Эти уравнения следует дополнить соотношением ба- самым мы рассматриваем вклад в осцилляцию решеток ланса для плотности связанных зарядов N(x, t) (ионизо- только на основной частоте, не учитывая эффекты на ванных светом доноров). При этом нужно задать модель кратных частотах и другие сопутствующие явления. В Физика твердого тела, 1998, том 40, № 1452 В.В. Брыксин, М.П. Петров этом приближении, в частности, соотношение (1) имеет 2. Осциллирующая часть внутреннего вид электрического поля g(x, t) g0 1 + m cos kx - m sin kx cos t = Уравнения для линейных по поправок n и E (10) получаем из (3), (5), (7) g(0)(x) +g(x, t), n dE + i = -g0m sin kx, 4e dx g(x, t) =-g0msin kx cos t j0 - i E = en(0)E + en(E0 + E(0)) = - g0m sin(kx +t) +sin(kx - t). (9) dn + eD. (15) dx В установившемся режиме при использовании линейного приближения по решение системы уравнений Исключая отсюда n и переходя к безразмерной ко(5), (7) можно представить в виде суммы постоянного ординате z = kx, получаем уравнение для искомой величины E во времени вклада и малой осциллирующей добавки (1 + m cos z + i)E E(x, t) =E(0)(x) +Re E(x) exp(it), E(0) - ikL0 1 + E - i(kLD)2E En(x, t) =n(0)(x) +Re n(x) exp(it), = M j0 + m(E0 + E(0)) sin z + mED cos z. (16) j(x, t) = j(0)(x) +Re j(x) exp(it), Здесь штрих означает дифференцирование по z; введены ( j0(t) = j00) +Re j0 exp(it). (10) диффузионная LD = D и дрейфовая L0 = Eo длины, а также безразмерная частота =M, причем Система нелинейных уравнений для постоянных со- -M =4en0/ = 4eg0/ имеет смысл максвелставляющих легко разрешается в силу того, что ловского времени релаксации при однородной скорости ( j(0)(x) = J00), и не зависит от координаты. Тогда генерации g0.

n(0)(x) = g(0)(x) и Дифференциальное уравнение второго порядка (16) (типа уравнения Хилла) должно решаться при условии dn(0)(x) периодичности E(z) = E(z + 2), а ток j0, со( j00) =en(0)(x) E0 +E(0)(x) +eD. (11) гласно (12), определяется условием обращения в нуль dx нулевой Фурье-компоненты поля E(z).

(0) При получении аналитического решения уравнения Величина тока j0 определяется из (11) с помощью (16) ограничимся предельным случаем слабого влияния условия (8), которое при использовании циклических диффузионных процессов, положив LD = 0, ED = 0.

граничных условий принимает вид Это приближение применимо при достаточно малой величине пространственного волнового вектора k. В 2/k результате с учетом (14) получаем уравнение первого E(0)(x)dx = 0. (12) порядка (1 + m cos z)(1 + m cos z + i)E - idE Тогда из (11) и (12) после несложных преобразований имеем = mE0 1 - m2 sin z + A(1 + m cos z). (17) (0) j0 = e g0 1 - m2E0, (13) Здесь d = kL0 1 - m2, а константа A = 4M j0/E0m 1 - m2 пропорциональна току j0 и тоже 1-m2 m sin kx E(0)(x) +E0 =E0 + ED, (14) может быть определена из условия равенства нулю 1+mcos kx 1 + m cos kx нулевой Фурье-компоненты внутреннего поля.

Общее решение (17) имеет вид где ED = Dk/ = kkBT /e Ч диффузионное поле.

Теперь можно приступить к решению основной задаE(z) = exp z + (z) чи Ч определению осциллирующих поправок к внутренz нему электрическому полю E(x) (см. (10)), уравнения для которых принимают сравнительно простой вид обык C + dz (z ) exp -z - (z ), (18) новенных линейных дифференциальных уравнений.

Физика твердого тела, 1998, том 40, № Теория фоторефрактивного резонанса где контраста освещения, когда m 1. В этом случае =(1 +i+m2/2)(id)-1, 2 + i mrp = p,0 - m (p,1 - p,-1) + (z) =(id)-1m sin z(2 + i + m cos z), 2d 4d (2 + i)2 (2 + i)m 1 -m2E - 1 p,2 + + 1 p,-(z) =- sin z + A(1 + m cos z). (19) 2d 2d id Постоянная интегрирования C в (18) определяется из +....

условия периодичности решения (12) Отсюда первые из набора Фурье-компонент поля имеют вид C = -(1 - e-2)-1 dz(z) exp -z - (z). (20) 1 E1 = - miE0, (25) 2 1 + i + d При исследовании дифракции нас интересуют Фурье1 2 + i E2 = m2iE0. (26) компоненты поля 4 (1 + i + d)(1 + i + 2d) Фурье-компоненты с отрицательными p можно найти Ep = dzE(z) exp(-ipz). (21) из соотношения Ep() = E-p(-). При малом контрасте Фурье-компоненты поля быстро убывают, так как в этом случае Ep m|p|.

Для их определения разложим в ряд Фурье функцию Другим важным предельным случаем является область высоких частот. При можно произвести сумми рование ряда в (23). Здесь мы приведем прямо конечный exp (z) = rp exp(ipz), результат такого суммирования, опустив детали расчета, p= m 1 - m2EEp = Ip+i/d 2ip-1d sh(/d) rp = dz m m m I1-i/d + I-1-i/d, (27) m d d d exp -ipz + sin z(2 + i + m cos z). (22) id где I(x) Ч модифицированная функция Бесселя с комРазлагая (18) в ряд Фурье и используя определение плексным индексом. Таким образом, в области высоких константы C (20) и разложение (22), после некоторых частот все Фурье-компоненты поля при любой модуалгебраических преобразований получаем ляции освещения убывают по закону 1/. Из этого выражения нетрудно получить выражение для Ep в m 1 - m2E0 rp +p условиях сильной контрастности, когда m 1, т. е. d Ep = 2i 1 + i - p d + m2/в области высоких частот, справедливое для любых p, p =Ep =(-1)pE0-1 th exp(-|p|), (27a) rp +1 -rp -1+A(2rp +mrp +1+mrp -1). (23) где cosh = m-1. Заметим, что это выражение справедПри этом мы воспользовались соотношением ливо для d 1, т. е. не только при сильной контраст(z) =-(-z).

ности, но и при достаточно слабом поле E0 в условиях Теперь можно явно определить константу A из условия произвольных значений m. В частности, оно согласуется (12) E0 = с (25), (26) при m 1, когда = ln(2/m) 1.

Важным свойством поля Ep при большой контрастности rp(rp+1 - rp-1) A = является слабое убывание его амплитуды с ростом p.

(1 + i - pd + m2/2) p=С другой стороны, Фурье-компоненты в этом пределе действительны и антисимметричны при замене -.

- rp(2rp + mrp+1 + mrp-1) Это приводит к тому, что в отсутствие диффузии осцил. (24) 1 + i - pd + m2/ляции отсутствуют; при сильной контрастности меняется p=высокочастотная асимптотика дифракционных пиков (см.

Дальнейшее исследование Фурье-компонент поля в об- далее).

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам