Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | Глава II
КОСМОЛОГИЯ СОЛНЕЧНОЙ
ПЛАНЕТНОЙ СИСТЕМЫ
4. Основы теории гравитационного захвата
Подробное решение задачи о движении двух тел в центральном поле, в том числе теория гравитационного захвата, содержатся в работе [1].Здесь мы приведем лишь основные соотношения этой теории с необходимыми пояснениями.
Так, относительная скорость сближения тел
, (4.1)
где: (U- относительная скорость сближения тел, V- скорость орбитального движения (средняя за период обращения)),
- относительная масса тел,
- расстояние между телами (r - текущее расстояние, ro - начальное расстояние).
Координата максимума скорости сближения
(4.2)
и, используя (4.1), получим при ρρ = ρρm, что максимальная скорость сближения тел
. (4.3)
Ускорение сближения тел
. (4.4)
При ρρ = ρρm σσ = 0.
Ускорение сближения тел имеет экстремумы на интервале движения [1,0]. Координата экстремума функции (4.4)
. (4.5)
Величина ускорения сближения тел при ρρ = ρρmin
. (4.6)
Скорость сближения тел при ρρ = ρρmin
. (4.7)
Средняя скорость сближения на интервале [1, ρρmin]
. (4.8)
Время встречного движения
, (4.9)
где:, - время сближения тел,
ττ - время сближения тел,
.
Среднее время сближения на интервале [1, ρρmin] при N →→ 0
. (4.10)
Большая полуось начального эллипса
, (4.11)
где.
Эксцентриситет начального эллипса
. (4.12)
Условие, при котором происходит орбитальный переход захватываемого тела, заряженного одноименным с центральным телом электрическим (магнитным) зарядом, состоит в том, что относительная масса тел должна быть N < 0,041. При N > 0,041 следует столкновение тел
Расстояние, на котором начинается захват периферийного тела центральным
, (4.13)
где индексы "н" и "к" относятся к начальной (при переходе на орбиту) и современной орбитам.
При N →→ 0
. (4.14)
Орбитальное движение совершается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центральное тело. Параметры эллиптической орбиты: большая полуось a, период обращения Т и средняя орбитальная скорость V при каждом обороте периферийного тела и преимущественно гравитационном взаимодействии определяются третьим Законом Кеплера
(4.15)
или, приближенно при N << 1
(4.16)
Так как параметр эллипса p за все время орбитального движения остается постоянным, то можно написать
, (4.17)
где индекс "о" относится к орбите с эксцентриситетом е = 0.
Отсюда
. (4.18)
Зная большие полуоси начальной и конечной (современной) орбит, можно рассчитать из соотношения (4.16) начальную среднюю орбитальную скорость Vн и начальный период обращения Тн
, (4.19)
, (4.20)
а также значения этих же параметров при эксцентриситете орбиты е = 0:
, (4.21)
, (4.22)
. (4.23)
Распространяя соотношения (4.21), (4.22), (4.23) на все время орбитального движения, для осредненных за один оборот значений а, V, Т и е можно написать
, (4.24)
, (4.25)
. (4.26)
Критический эксцентриситет орбитального эллипса
. (4.27)
При значении е = екр произойдет переход от орбитального движения к движению по параболической траектории и постепенное освобождение орбитального тела от действия притяжения центрального тела.
Зная величину екр, а также величины ан, Vн, Тн и ен, можно рассчитать величину акр, а затем значения остальных параметров, определяющих условия этого перехода
, (4.28)
, (4.29)
. (4.30)
На рис.1 показан примерный вид зависимостей (4.24)- (4.26) для Земли (аналогичный вид они имеют для других планет, спутников и комет, то есть захваченных космических тел). Эти зависимости представляют собой параболы с вершиной при е = 0. Левая ветвь параболы начинается от линии е = ен, правая ветвь параболы заканчивается при пересечении ею линии е = екр. Параболы частично симметричны относительно линии е = 0 на интервале слева от ео (от ен до ео) и на интервале справа от (от ео до ⎢⎢ен⎢⎢). Таким образом, в точках пересечения правой ветви параболы с прямой е = ⎢⎢ен⎢⎢ значения параметрических функций будут в точности равны их начальным значениям.
Число оборотов, совершенных орбитальным телом
, (4.31)
где: - средний период обращения орбитального тела за время изменения эксцентриситета орбиты от ен до ек,
- отношение среднего периода обращения Земли к единице времени 1 сек (величина, равная, но безразмерная).
Соотношение (4.31) пригодно для расчета числа оборотов орбитального тела при изменении эксцентриситета орбиты от ен до ек и от ео до ⎢⎢ен⎢⎢.
Для расчета числа оборотов за время изменения эксцентриситета орбиты от ⎢⎢ен⎢⎢ до екр следует использовать зависимость
, (4.32)
где:,
Рис.1. Зависимости: 1), 2) и 3)
для Земли.
- отношение среднего периода обращения Земли за время изменения эксцентриситета ее орбиты от ⎢⎢ен⎢⎢ до екр () к единице времени 1 сек.
Полное критическое число оборотов, совершенных орбитальным телом, будет
, (4.33)
где no - число оборотов, совершенных за время изменения эксцентриситета орбиты от ен до еo.
Здесь уместно сделать следующее замечание. Для оценки числа оборотов на интервале значений эксцентриситета орбиты от ен до ео (левая ветвь параболы) и от еo до ⎜⎜ен⎜⎜ (правая ветвь параболы) необходимо знать не только значения эксцентриситета и параметрических функций a = f(e) и T = f(e), но и знак градиента этих функций. Если знак градиента функций a = f(e) и Tа=аf(e) положительный, то полное число оборотов будет, где n' - число оборотов, рассчитанное по зависимости (4.31), но в пределах изменения параметрических функций от ao до aк и от Тo до Тк.
Если знак градиента этих функций отрицательный, то число оборотов рассчитывают по зависимости (4.31).
Знак градиента функций a = f(e) и T = f(e) может быть определен только опытным путем.
Время жизни космического тела на орбите
, (4.34)
или современных земных лет
, (4.35)
где =3,1558⋅⋅107 сек - современный период обращения Земли.
Строго говоря, значение "К" в (4.31), зависит от эксцентриситета орбиты Земли, но в пределах изменения эксцентриситета от ен до ео может быть принято постоянным.
При значительном изменении эксцентриситета
. (4.36)
Эта зависимость применима к оценке числа оборотов для всех орбитальных тел при изменении эксцентриситета орбиты от ⎢⎢ен⎢⎢ до екр.
В точке перехода от сближения тел к орбитальному движению относительная скорость тел равна umin и тело меньшей массы, кроме перехода к движению по эллиптической орбите, приобретает еще и вращение вокруг собственной оси. Причина этого, вероятно, заключается в том, что для тел конечных размеров центр масс не всегда совпадает с центрами электрического (магнитного) заряда тела.
Вследствие гироскопических эффектов, вращение небесного тела вокруг собственной оси сопровождается прецессией и нутацией оси вращения.
Энергия, затрачиваемая на движение тела массой М по орбите
, (4.37)
где.
Энергия, затрачиваемая на вращение тела вокруг собственной оси
, (4.38)
где: Rср - средний радиус тела,
Ts - период вращения.
Интенсивность полного излучения диполя заряженного тела
, (4.39)
где с - скорость света в вакууме.
Энергия дипольного излучения
EI = I⋅⋅T. (4.40)
Дипольное излучение поляризовано по эллипсу и изменяется во времени как
. (4.41)
Интенсивность дипольного излучения и сила, действующая между центральным и периферийным телом, связаны соотношением
. (4.42)
Суммарная энергия, затрачиваемая на движение заряженного тела по орбите
E = Ep + Es + Eq + Em + Eg, (4.43)
где Eq, Em, Eg - энергия гравитационного, электрического и магнитного диполей, соответственно.
По мере увеличения эксцентриситета орбиты составляющие суммарной энергии уменьшаются, вращение тела вокруг собственной оси замедляется. При уходе тела с орбиты диполи перестают существовать.
Уравнение траектории ухода тела с орбиты
. (4.44)
Координаты точки ухода (начало координат - в центре эллипса)
(4.45)
Скорость тела в точке ухода равна Vкр.
Скорость тела на расстоянии x от точки ухода
. (4.46)
Время движения тела после его ухода с орбиты не зависит от массы тела, а определяется лишь пройденным расстоянием и массой центрального тела. Среднее время движения на интервале [0, ρρ] при ρρ >> 1 будет
. (4.47)
Как отмечалось, используемые современной небесной механикой методы расчета характеристик движения небесных тел дают достаточно точные и надежные результаты для относительно небольшого (порядка сотен лет) времени орбитального движения, но они малопригодны для расчета характеристик движения небесных тел в течение всего времени орбитального движения; такие оценки могут быть сделаны на основе теории гравитационного захвата.
Читая книгу [1] и эту книгу, скептически настроенный читатель сможет отметить, что теория гравитационного захвата, предлагаемая автором, проста и логична, но существуют ли способы ее опытной проверки Оказывается, способ опытной проверки теории гравитационного захвата существует. Он состоит в том, чтобы измерить приращение периода обращения (или приращение большой полуоси орбитального эллипса, или приращение средней орбитальной скорости) за 1 оборот небесного тела и сравнить опытные данные с результатами расчета тех же приращений по следующей методике.
Дифференцируя (4.24), (4.25) и (4.26) по e, получим
(4.48)
Следовательно, можно написать
(4.49)
где:,
n - число оборотов, совершенных орбитальным телом от момента перехода на орбиту (индекс "н") до настоящего времени (индекс "к"),
ΔΔT, ΔΔa, ΔΔV - приращение за 1 оборот периода обращения, большой полуоси и средней орбитальной скорости, соответственно.
В таблицах 1 и 2 приведены расчетные значения этих величин для планет и спутников планет. Следует заметить, что расчетные значения ΔΔT, ΔΔa и ΔΔV приведены лишь для тех небесных тел, у которых эксцентриситет орбит мало отличается от нуля и поэтому можно быть полностью уверенным в правильности результатов расчета. Для Меркурия, Плутона и спутника Сатурна Гипериона такие оценки в таблицах не приведены, поскольку автору неизвестно, на каком этапе эволюции движения находятся в настоящее время эти небесные тела.
юбое захваченное небесное тело, движущееся в гравитационном поле центрального тела, будет подчиняться общим закономерностям гравитационного захвата. Следовательно, теория гравитационного захвата пригодна и для описания движения искусственных небесных тел (спутников центральных тел) с той лишь разницей, что на первом (начальном) этапе эти небесные тела движутся и выводятся на орбиту под влиянием внешнего воздействия на них (в частности, реактивной тяги двигателей). Но как только на тело, выводимое на орбиту, перестают действовать внешние силы, оно в своем дальнейшем движении подчиняется закономерностям гравитационного захвата. При этом параметры первой (начальной) орбиты задаются искусственно и могут быть самыми разными, но дальнейшая эволюция движения захваченного небесного тела в гравитационном поле одного центрального тела проходит в точном соответствии с закономерностями гравитационного захвата. Так, при движении спутников в гравитационном поле центрального тела выполняется третий закон Кеплера (4.16) и должны выполняться все остальные соотношения теории гравитационного захвата.
Следовательно, эволюцию движения искусственных спутников центральных тел можно представить в следующем виде. Первый этап - вывод спутника на стационарную орбиту вокруг центрального тела (под действием внешних сил). Второй этап - орбитальное движение в гравитационном поле центрального тела, при котором эксцентриситет орбиты изменяется от ен до еа=а0 и далее, от е = 0 до ⎢⎢ен⎢⎢. Третий этап - орбитальное движение, при котором эксцентриситет орбиты изменяется от ⎢⎢ен⎢⎢ до екр. Четвертый этап - эксцентриситет орбиты спутника становится равным екр, в дальнейшем спутник уходит с орбиты по параболической траектории и постепенно освобождается от действия притяжения центрального тела.
Если нам известны по крайней мере два параметра начальной орбиты спутника (например, период обращения Тн и эксцентриситет ен), то можно рассчитать все остальные параметры в течение всей эволюции движения спутника на орбите. Последовательность такого расчета определена зависимостями (4.16-4.17), в дополнение к которым приведем простую зависимость для оценки числа оборотов, совершаемых спутником на втором этапе движения, то есть при изменении эксцентриситета орбиты от ен до е = 0
, (4.50)
где = 3,440375⋅⋅107 - безразмерный параметр, равный по величине среднему периоду обращения Земли на этом этапе орбитального движения.
Поскольку теория гравитационного захвата описывает орбитальное движение искусственных небесных тел (спутников), то из нее же следуют и способы ее опытной проверки. Во-первых, наблюдая и измеряя параметры орбит искусственных спутников Земли можно будет убедиться в том, что на всех этапах орбитального движения спутника выполняются соотношения (4.24-4.26). Во-вторых, измеряя приращения параметров орбиты ΔΔT, ΔΔa, ΔΔV и ΔΔе за сотни и тысячи оборотов с тем, чтобы затем определить среднее приращение эксцентриситета орбиты за 1 оборот и подставляя соответствующие параметры орбиты в соотношения (4.49), убедиться в правильности этих соотношений.
Конечно, все используемые в теории гравитационного захвата соотношения пригодны лишь в случае орбитального движения небесного тела (спутника) в поле одного центрального тела. Возмущающее влияние Луны, Солнца, сплюснутости Земли у полюсов и других факторов на движение спутника этой теорией не учитывается, что будет приводить к некоторому несоответствию расчетов и наблюдений. Учет влияния гравитационных полей других небесных тел на движение спутника в поле центрального тела может быть выполнен методами теории возмущений.
Pages: | 1 | 2 | Книги по разным темам