Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 7 Кондактанс однослойной углеродной нанотрубки в однопараметрической модели сильной связи й С.С. Савинский, А.В. Белослудцев Удмуртский государственный университет, 426034 Ижевск, Россия (Поступила в Редакцию 23 июля 2003 г.

В окончательной редакции 4 декабря 2003 г.) Проведено теоретическое исследование вольт-амперных характеристик однослойных нанотрубок в зависимости от их радиуса и хиральности. Показано, что кондактанс однослойной нанотрубки при малых напряжениях может принимать дискретные значения, равные нулю для диэлектрической и 4(e2/h) для проводящей трубки (e Ч заряд электрона, h Ч постоянная Планка). На вольт-амперной характеристике нанотрубки имеются изломы, связанные с дискретностью электронного спектра. Исследовано поведение кондактанса нонотрубки при нулевой температуре в квантующем продольном магнитном поле, меняющем тип проводимости трубки. В магнитном поле кондактанс диэлектрической трубки при малом напряжении может принять значение 2(e2/h), когда трубка становится проводящей. Проводящая трубка в слабом магнитном поле становится диэлектрической с шириной запрещенной щели, зависящей от величины магнитного поля. Проведены расчеты кондактанса углеродной нанотрубки в зависимости от температуры и продольного магнитного поля.

Известно, что кондактанс квантового провода может ных идеальных однослойных углеродных нанотрубок принимать дискретные значения, определяемые чис- в приближении равновесного термодинамического солом занятых электронами поперечных мод, играющих стояния системы. Предложена простая геометрическая роль квантовых каналов для протекания тока. Экспе- схема для расчета кондактанса углеродной нанотрубриментальное наблюдение этих каналов возможно в ки с использованием зоны неэквивалентных квантотом случае, когда длина волны электрона сравнима вых состояний электрона, которая для кристалличес поперечным размером провода при значениях eV ских твердых тел является аналогом зоны Бриллюэна.

(e Ч заряд электрона, V Ч разность потенциалов Для численного расчета вольт-амперной характеристина концах провода), сравнимых с расстояниями меж- ки трубки мы используем баллистическое приближеду дискретными энергетическими уровнями электрона ние, в котором предполагается, что длина свободного (см., например, [1]). Если в качестве квантового провода пробега электрона гораздо больше размеров трубки.

рассматривать однослойную нанотрубку, то аналогом Аналогичные расчеты были проведены для углеродных поперечных мод в ней являются дискретные состояния нанотрубок с наиболее простой симметрией ДzigzagУ электронов с различными значениями магнитного кван- и ДarmchairУ в теоретической работе [2], где показатового числа. Соответственно кондактанс нанотрубки но, что при нулевой температуре и малых напряжетакже может принимать дискретные значения, но для ниях кондактанс трубки может принимать дискретные экспериментального обнаружения этого необходимо ис- значения, кратные величине e2/h (h Ч постоянная следовать трубку достаточно малого радиуса, так как Планка).

расстояние по энергии между квантовыми состояниями Интерес к изучению углеродных нанотрубок обусловэлектронов обратно пропорционально квадрату радиуса лен рядом причин: во-первых, их высокой прочностью трубки. и большими значениями модулей упругости, фактически Геометрически идеальную углеродную трубку можно равными модулям упругости графитовой плоскости; вопредставить в виде цилиндрической поверхности, со- вторых, значительным интервалом изменения ширины ставленной из плотно упакованных углеродных Дбен- запрещенной щели в спектре -электронов (от нуля до зольных колецУ (у которых отсутствуют атомы водо- нескольких электрон-вольт в зависимости от радиуса рода). В экспериментах наблюдаются трубки длиной и хиральности трубки); в-третьих, высокими капилдо одного микрона и диаметром в сотни раз мень- лярными и адсорбционными характеристиками трубки.

ше. Оказалось, что от геометрической ориентации уг- Это позволяет предполагать, что углеродные нанотрублеродных колец на поверхности трубки зависит, яв- ки могут найти применение в наноэлектронике и наляется ли данный объект диэлектриком или провод- номеханических устройствах, а также использоваться ником. Это важное свойство позволяет надеяться на в качестве избирательных молекулярных адсорбентов.

возможность использования трубок в наноэлектронике. Проводимые теоретические и экспериментальные исВ предлагаемой работе проведено теоретическое ис- следования свойств углеродных нанотрубок описаны в следование вольт-амперных характеристик произволь- работах [3Ц6].

1334 С.С. Савинский, А.В. Белослудцев 1. Геометрическое строение Вектор C на графитовом листе задается парой чисел (i1 и i2): C = i1a1 + i2a2. Эти целые числа называются и электронный спектр -электронов индексами хиральности углеродной нанотрубки (i1, i2), углеродной трубки так как они задают угол сворачивания графитового листа (на рис. 1 этот угол обозначен через ). Легко получить Углеродную нанотрубку можно представить как реформулы для вычисления радиуса и угла хиральности зультат склейки графитового листа в цилиндрическую через индексы хиральности:

поверхность. Для этого на графитовом листе выберем два перпендикулярных вектора C и L (рис. 1). Вектор C 3a0 3iсоединяет два узла решетки, определяемой базисными R = i2 - i1i2 + i2, tg =, 1 2 2i1 - iвекторами a1 и a2, вектор L задает длину углеродной нанотрубки. Векторы C и L на графитовой плоскости а также параметры двух операторов винтового поворота задают прямоугольник. Процедура склейки этого прямо угольника состоит в отождествлении точек на противо3a 1 = cos, положных сторонах прямоугольника, отстоящих друг от R друга на вектор C. В результате склейки прямоугольник переходит в конечную цилиндрическую поверхность, 3a 2 = cos sin - sin cos, базисные векторы a1 и a2 Ч в винтовые трансляции на R 6 |C| цилиндре радиуса R = (радиус нанотрубки).

z = - 3a0 sin, Заметим, что базисные векторы на графитовом листе определяют элементарную ячейку с двумя атомами угле z = 3a0 cos cos + sin sin. (1) рода и имеют одинаковую длину |a1| = |a2| = 3a0, где 6 a0 = 1.42 Ч расстояние между двумя ближайшими Параметры операторов (1) входят в формулу для атомами углерода в графите. После склейки цилинспектра квантовых состояний -электронов углеродной дрической поверхности с длиной образующей, равной трубки, зависящего от двух квантовых чисел (m, k):

бескончености, базисные векторы преобразуются в опеm = 0, 1, 2,... Ч магнитное квантовое число, k Ч раторы винтовых поворотов, которые характеризуются квазиимпульс электрона в направлении оси нанотрубки.

величиной сдвига вдоль цилиндрической поверхности и Энергия -электронов в состоянии с квантовыми числазначением угла поворота; например, для вектора a1 они ми (m, k) может быть вычислена в приближении сильной (a1C) (a1L) вычисляются по формулам 1 = и z =.

связи, в котором она (без учета спина) определяется по R |L| Аналогичные формулы можно записать и для второго формуле базисного вектора. Таким образом, два оператора винтоEm,k = E0 |Hm,k|, вых поворотов на углеродной нанотрубке являются об Hm,k = 1 + exp(-im 2 - ik z ) разующими группы симметрии трубки, в элементарной ячейке трубки находятся два углеродных атома.

1 + exp(-im 1 - ik z ), (2) где ( 1, z ) и ( 2, z ) определяются по форму1 ле (1); Ч параметр, равный матричному элементу оператора Гамильтона и рассчитываемый через волновые функции электронов атомов ближайших соседей (в дальнейшем мы полагаем = 2.2eV); знаки в формуле относятся к двум энергетическим зонам; E0 Ч энергия связи -электрона со свободным атомом углерода, значение которой не влияет на приводимые далее расчеты, в дальнейшем эта энергия связи будет полагаться равной нулю.

В литературе используются и иные варианты записи формулы (2) [3], а также варьируется выбор значения параметра от 2 до 3 eV (см., например, [7,8]). Заметим, что более корректная формула спектра электронов в приближении сильной связи вместо одного параметра должна содержать три различных параметра, которые равны матричным элементам, рассчитываемым между тремя ближайшими к выбранному атому соседями. Значения этих параметров должны зависеть от радиуса Рис. 1. Фрагмент графитовой плоскости. a1 и a2 Чбазисные трубки и хиральности [9]. Фактически, формула (2) векторы элементарной ячейки, C Ч образующий нанотрубку вектор, L задает длину трубки, Ч угол хиральности. справедлива для нанотрубки большого радиуса.

Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. Кондактанс однослойной углеродной нанотрубки в однопараметрической модели сильной связи играет роль своеобразной зоны Бриллюэна, которая используется при описании электронных спектров кристаллов. На рис. 2, a приведены изолинии энергии (2) нанотрубки (10,9) на плоскости m, k, где построена также соответствующая зона неэквивалентных состояний.

Максимальное значение энергии достигается в центре зоны; в особых точках зоны (m, k) энергия каждой ветви спектра (2) обращается в нуль.

Выбор зоны не является однозначным; как это следует из рис. 2, a, она может быть выбрана либо в виде другого эквивалентного четырехугольника, либо в виде шестиугольника, вершины которого будут расположены в точках, где энергия (2) принимает нулевые значения.

При рассмотрении нанотрубки конечных размеров квантовое число k принимает дискретные значения, кратные 2/L. В качестве примера на рис. 2, b показана зона для конечной трубки (10,9), точками отмечены разрешенные квантовые состояния (m, k) внутри этой зоны.

При нулевой температуре -электроны заполняют все разрешенные состояния зоны с энергиями, соответствующими нижней ветви спектра (2), поэтому значение химического потенциала равно значению энергии E0, которая положена нами равной нулю.

Особые точки зоны (m, k) могут быть найдены из Рис. 2. Неэквивалентные квантовые состояния и изолинии энергий -электронов углеродной нанотрубки (10,9). a Чизо- следующих соображений. Из (2) следует, что энергия линии энергии на плоскости m, k; b Ч дискретные квантовые электрона равна произведению параметра на модуль состояния углеродной нанотрубки конечной длины.

комплексного числа, которое представляет собой сумму трех комплексных чисел (первое из них единица, модули второго и третьего чисел равны также единице). Эта сумма может обратиться в нуль, если фазы второго и В литературе обсуждаются также и феноменологичетретьего комплексных чисел равны 2/3; соответствуские параметрические модели для расчета электронного ющие условия запишутся в виде двух систем линейных спектра -электронов на цилиндрической поверхности уравнений относительно m и k трубки с учетом спин-орбитального взаимодействия [10], однако в этих моделях не учитывается зависимость элекm 1 + k z 1 = 2, тронного спектра от симметрии нанотрубки. По-видимо(4) му, окончательный выбор наиболее адекватной модели m 2 + k z 2 = 2.

энергетического спектра -электронов и численного значения параметров спектра можно будет сделать после Заметим, что две системы уравнений, различающиеся накопления экспериментальных количественных данных знаком в правых частях (+ или -) могут быть получены по электронным характеристикам однослойных нанотрузаменой m -m и k -k. Решения системы (4), бок произвольной хиральности.

удовлетворяющие неравенствам (3), симметричны отноТаким образом, однопараметрическая формула для сительно начала координат и равны спектра -электронов однослойной углеродной нанотрубки (2) позволяет наиболее просто учесть симмет2 z - z 1 рию нанотрубки. m = , 3 2 z - 1 z 1 Энергия электрона в модели спектра (2) является двоякопериодической функцией по квантовым числам m 2 - 1 + k = . (5) и k, неэквивалентные значения которых должны удовле3 2 z - 1 z 1 творять неравенствам Если подставить в формулу (5) значения координат операторов винтовых поворотов (1), от (5) можно перейти |m 1 + k z |, к формулам для m и k, в которых фигурируют индексы |m 2 + k z |. (3) хиральности нанотрубки, Множество квантовых состояний (m, k), для которых i1 + i2 2 i1 - iвыполняются неравенства (3), лежит внутри четырех- m = , k = . (6) 3 a0 i2 - i1i2 + iугольника на плоскости m, k. Этот четырехугольник 1 Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1336 С.С. Савинский, А.В. Белослудцев Ширина запрещенной щели (7) обращается в нуль, если m является целым числом, и в результате соответствующая трубка будет проводником. Как следует из формулы (6), это возможно, если сумма индексов трубки кратна трем; для суммы индексов, не делящихся на три без остатка, величина |m - m| в формуле (7) принимает значение, равное 1/3. Таким образом, формула (6) позволяет по индексам хиральности углеродной нанотрубки определить, будет ли выбранная трубка проводящей или диэлектрической. По формуле (7) для диэлектрической трубки можно приближенно оценить ширину запрещенной щели, которая пропорциональна угловым параметрам операторов винтовых поворотов и, согласно (1), обратно пропорциональна ридиусу трубки.

В литературе осбуждалась грубая формула для оценки aширины запрещенной щели нанотрубки [2], R которая является следствием (7).

2. Кондактанс идеальной нанотрубки Пусть к левому и правому концам трубки присоединены контакты, к которым подведено напряжение V.

Предположим, что длина свободного пробега электрона гораздо больше размеров нанотрубки. В этом случае электрон без рассеяния переходит от одного конца трубки к другому. В случае термодинамического равновесия системы можно предположить, что значения химических потенциалов левого и правого концов трубки будут различаться на значение eV, в результате потоки электронов от левого и правого концов трубки будут различными, что приведет к возникновению электрического тока. Заметим, что химический потенциал углеродной нанотрубки не зависит от температуры вследствие симРис. 3. Теоретический расчет вольт-амперной характеристики метрии ветвей энергетического спектра (2).

и кондактанса углеродной нанотрубки (10,9). a Чизолинии Электронный поток, проходящий через произвольное энергий вблизи состояния с (m, k), шаг по энергии 0.1 eV;

сечение от каждого из концов трубки, может быть b Ч вольт-амперная характеристика; c Ч зависимость конвычислен по формуле дактанса от напряжения при различных значениях магнитного потока через сечение трубки.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам