Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика твердого тела, 1998, том 40, № 7 Универсальные эффективные константы связи для обобщенной модели Гейзенберга й А.И. Соколов Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет, 197376 Санкт-Петербург, Россия (Поступила в Редакцию 28 ноября 1997 г.) Целью работы является нахождение универсальных критических значений эффективной безразмерной константы связи g6 и уточненных универсальных значений g4 для гейзенберговских ферромагнетиков с nкомпонентными параметрами порядка. Эти константы входят в уравнение состояния и определяют нелинейные восприимчивости 4 и 6 в критической области. В рамках O(n)-симметричной трехмерной теории типа 4 вычислены три первых члена разложения g6 по степеням g4, полученный ряд пересуммирован методом ПадеЦБореля, после чего путем подстановки в результирующее выражение координаты фиксированной точки g найдены численные значения g для различных n. Сами числа g при n > 3 определялись из 4 6 4 шестипетлевого разложения для -функции, пересуммированного с применением техники ПадеЦБореля - Леруа. Анализ точности полученных значений g показал, что они могут отличаться от истинных не более 6 чем на 1.6%. Величины g сопоставлены также с теми, которые дает метод 1/n-разложения, что позволило 6 оценить уровень точности последнего.

Обобщенная модель Гейзенберга, представляющая со- Монте-Карло [12,21]. Однако активность теоретиков бой решетку n-мерных спинов, каждый из которых вза- здесь почти полностью ограничивается случаем n = 1, имодействует только с ближайшими соседями, занимает т. е. моделью Изинга. Имеется лишь одна работа, где одно из центральных мест в теории фазовых переходов. универсальные значения g6 определялись для n > 1 [13], Она описывает критические явления в широком классе но достигнутая в ней точность (12Ц24%) вряд ли может объектов, куда входят легкоосные, легкоплоскостные и считаться удовлетворительной.

гейзенберговские ферромагнетики (n = 1, 2, 3), простые Как было обнаружено совсем недавно, весьма точные жидкости и бинарные смеси (n = 1), сверхпроводники численные оценки для g можно получить с помощью (за исключением тяжелофермионных и, по-видимому, метода теоретико-полевой РГ [16Ц18], причем в довольно высокотемпературных) и сверхтекучий гелий-4 (n = 2). низких порядках теории возмущений. Действительно, Этой модели отвечают предельные режимы критиче- расчет g при n = 1 в трех-, четырех- и пятипетлевом ского поведения двух сверхтекучих Ферми-жидкостей приближениях путем пересуммирования РГ разложес триплетным спариванием: гелия-3 (n = 18) [1,2] и ний для трехмерной модели дал значения 1.622 [16], вещества нейтронных звезд (n = 10) [3,4], а также 1.596 [17] и 1.604 [18] соответственно. Последнее из кварк-глюонной плазмы в некоторых моделях квантовой них, являющееся наиболее точным, отличается от своего хромодинамики (n = 4) [5,6]. трехпетлевого аналога всего на 1.1%. С другой стоКак известно, в критической области обобщенная мо- роны, с ростом n нормированные надлежащим образом дель Гейзенберга термодинамически эквивалентна клас- коэффициенты РГ разложений уменьшаются (см., наприсической O(n)-симметричной трехмерной евклидовой те- мер, [9]), что ведет к улучшению аппроксимирующих ории поля с взаимодействием типа 4. Это позволяет свойств этих рядов. Поэтому при n > 1 трехпетлевые применять для изучения ее критических свойств технику РГ разложения для g6 должны давать численные оценки, квантовой теории поля и, в частности, метод ренорма- уровень точности которых во всяком случае не ниже лизационной группы (РГ), который оказался исключи- 1Ц2%. В такой ситуации естественно применить технику тельно эффективным как при анализе качественных черт теоретико-полевой РГ в трехмерном пространстве для критического поведения, так и при вычислении крити- вычисления универсальных критических значений g6 при ческих индексов [7Ц9]. Критические индексы, однако, произвольной размерности параметра порядка. Именно не единственные фундаментальные параметры, характе- этому и посвящена настоящая работа.

ризующие термодинамику системы в области сильных Статья построена следующим образом. Раздел 1 содерфлуктуаций. Не менее важную роль играют эффективные жит информацию общего характера, необходимую для безразмерные константы связи g2k, которые входят в формулировки задачи, и вывод РГ разложения для эффекуравнение состояния и определяют нелинейные воспри- тивной константы связи g6. В разделе 2 на основе шестиимчивости различных порядков. петлевого разложения -функции вычисляется коордиВ последние годы задача нахождения универсальных ната нетривиальной фиксированной точки g при n > 3;

критических значений g6, g8 и других высших констант для пересуммирования РГ ряда при этом используются связи привлекает к себе особое внимание [10Ц21]. Для преобразование БореляЦЛеруа и аппроксиманты Паде ее решения применяется весь спектр имеющихся ме- нескольких различных типов, что позволяет получить тодов, от чисто аналитических [14,16Ц18] до метода более точные, чем ранее [9], численные значения g. В Универсальные эффективные константы связи для обобщенной модели Гейзенберга разделе 3 находятся универсальные критические асим- записывается уравнение состояния, фигурируют не сами птотики g6 для разных n, полученные результаты со- эти константы, а отношения g2k/gk-1, что легко можно поставляются с теми, которые дает 1/n-разложение, и увидеть, заменяя намагниченность M в (2) безразмерной проводится их анализ.

переменной z = M g4/m(1+):

m3 z2 g1. РГ разложение для эффективной F(z, m) - F(0, m) = +z4 + zg4 2 gконстанты связи gg+ z8 +.... (4) Итак, гамильтониан рассматриваемой модели имеет gвид Непосредственно же через g2k могут быть выражены не2 линейные восприимчивости различных порядков. Для H = d3x (m2 +()2)+()2, (1) и 6, например, нетрудно получить следующие формулы:

где Ч вещественное n-компонентное вектороное 3M поле, квадрат Фголой массыФ m2 пропорционален T -Tc(0), 4 = = -242m-3g4, H3 H=Tc(0) Ч температура фазового перехода в пренебрежении 5M флуктуациями. Учет флуктуаций приводит к перенорми6 = = 7202m-6(8g2 - g6), (5) ровке массы m2 m2, поля R и константы H5 H=связи mg4, а также к появлению членов высших обращение которых дает соотношения порядков в разложении свободной энергии по степеням намагниченности M m34 m6(104 - 62) g4 = -, g6 =, (6) 2 242 F(M, m) =F(0, m) + 2kM2k. (2) k=часто используемые для определения величин безразмерных эффективных констант связи по результатам Коэффициенты разложения 2k представляют собой расчетов на решетках [13,15,20,22,23].

полные вершины с 2k внешними (ампутированныПерейдем к нахождению РГ разложения для g6. Будем ми) линиями, которые связаны простыми соотношениисходить из обычной теории возмущений, которой отвеями с 2n-точечными 1-неприводимыми корреляторами чает диаграммный ряд для 6. Поскольку в трехмерном G2k(q1, q2,..., g2n-1) на нулевых импульсах. В критичепространстве существенным в ренормгрупповом смысле ской области каждая из вершин имеет свою масштабную является лишь взаимодействие типа 4 (см., наприразмерность мер, [24]), в качестве затравочных вершин в диаграммах 2k = g2km3-k(1+), (3) этого ряда будут выступать только четыреххвостки. Расгде Ч индекс Фишера, а g2k Ч некоторые константы.

полагая разложением 6 по степеням, можно далее Первая из них, g2, произвольна в том смысле, что ее перенормировать его, выразив через g4 с помощью величина может быть зафиксирована выбором единиц известного соотношения измерения ренормированной массы m. Положим, как обычно, g2 = 1/2, тогда m совпадет с обратным ра- = mZ4Z-2g4, (7) диусом корреляции, а линейная восприимчивость 2 в где Z4 и Z Ч константы ренормировки взаимодействия неупорядоченной фазе будет равна m-2. Вторая кон и поля : = ZR. Эта процедура после замены станта, g4, является ключевым параметром теории, через 6 на g6 и дает искомый результат.

который выражаются критические индексы, отношения В трехпетлевом приближении вершина 6 сводится критических амплитуд и другие универсальные харакк сумме вкладов 20 диаграмм Фейнмана, которые изотеристики системы. Асимптотическое значение g4 (кображены на рис. 1. Вычисление интегралов, отвечаордината фиксированной точки g) представляет собой нетривиальный корень -функции, входящей в уравне- ющих этим диаграммам, не представляет труда, а при нахождении тензорных факторов следует учесть, что все ние РГ. Для модели (1) эта функция известна в рекордно вершины в модели (1) являются симметричными тенвысоком Ч шестипетлевом Ч приближении [7Ц9], что зорами соответствующих рангов. Тензорная структура позволяет находить g для любых n с очень малыми интересующих нас объектов, в частности, определяется погрешностями.

следующими формулами:

Высшие эффективные константы связи g6, g8 и другие также принимают в пределе T Tc некоторые универсальные значения, которые в совокупности определяют = ( + + )4, (8) вид F(M, m) и уравнения состояния в области сильных флуктуаций. Реально, правда, в тейлоровском разло = ( + 14 transpositions)6. (9) жении скейлинговой функции, через которую обычно Физика твердого тела, 1998, том 40, № 1286 А.И. Соколов Рис. 1. Одно-, двух- и трехпетлевые диаграммы Фейнмана, вносящие вклады в эффективную константу связи g6.

Итак, расчет диаграмм (рис. 1) дает 2. Координаты фиксированной точки для n > 9 Z2 3 n + 26 9n2 + 340n + g6 = m 27 Чтобы найти асимптотические значения g6 для различных n, необходимо знать с максимально возможной точZностью координаты фиксированной точки уравнения РГ.

+(0.00562895n3 + 0.28932673nm Достичь такой предельной (на сегодня) точности можно, обрабатывая с помощью тех или иных пересуммироZ2 вочных процедур шестипетлевое разложение -функции +4.04042412n + 16.20428685). (10) m модели (1). Именно этим способом были определены два десятилетия назад численные значения g для Разложение ренормировочной константы Z4 для моде- n = 1, 2, 3 [7,8] и сравнительно недавно для n > 3 [9]. Но ли (1) известно в настоящее время в шестом порядке если в работах [7,8] применялись сложные, изощренные по g4 [25], однако здесь нам потребуются лишь первые приемы суммирования расходящихся рядов, основанные три его члена на преобразовании БореляЦЛеруа и разнообразных споn + 8 3n2 + 38n + собах аналитического продолжения, использующих, в Z4 = 1 + g4 + g2. (11) 2 122 частности, технику конформных отображений [8], то авторы [9] ограничились простым преобразованием Бореля Подставляя (11) в (7) и затем (7) в (10), окончательно и аппроксимантами Паде только одного вида Ч [L-1/1].

получим Как будет видно, этот метод дает в принципе неплохие 9 n + 26 17n + результаты: при n > 10 разница между полученными с g6 = g3 - g4 +(0.00099916n 27 его помощью численными оценками g и их аналогами, найденными посредством более сложных пересуммиро+ 0.14768927n + 1.24127452)g2. (12) вочных процедур, не превышает 0.001 (0.1%). Однако при меньших значениях n это расхождение оказывается Это РГ разложение и будет использовано для вычисле- заметным, что и побуждает нас к поиску уточненных ния универсальных критических значений g6. значений g.

Физика твердого тела, 1998, том 40, № Универсальные эффективные константы связи для обобщенной модели Гейзенберга Итак, разложение -функции модели (1) в шестипет- аппроксиманты Паде, для которых L = M, или близкие левом приближении имеет вид [9] к ним (см., например, [26]). Однако с увеличением степени знаменателя M растет и число его корней, т. е.

число полюсов аппроксиманты в комплексной плоскости.

(g) =g -g2 + (n +8)Если хотя бы некоторые из этих полюсов оказываются расположенными вблизи вещественной полуоси y > (6.07407408n + 28.14814815)gили, что еще хуже, попадают на нее, то соответствующая аппроксиманта становится непригодной для суммирова- (1.34894276n2 + 54.94037698n ния ряда. На практике это довольно сильно ограничивает (n + 8)степень знаменателя сверху и сужает выбор приемлемых аппроксимант. С другой стороны, наличие свободного + 199.6404170)g4 + параметра b в преобразовании БореляЦЛеруа позволя(n + 8)ет оптимизировать процедуру пересуммирования путем (-0.15564589n3 + 35.82020378n2 достижения максимально быстрой сходимости итерационного процесса.

+ 602.5212305n + 1832.206732)gПринимая во внимание все сказанное выше, мы выбрали для вычисления g (g) следующую стратегию. Для каждого n нетривиальный корень уравнения (g) = - (0.05123618n4 + 3.23787620n(n + 8)находился в двух старших приближениях Ч пятипетлевом и шестипетлевом, а аналитическое продолжение + 668.5543368n2 + 7819.564764n борелевских образов -функции осуществлялось с помощью аппроксимант Паде трех типов: [3/3], [4/2] и [3/2].

+ 20770.17697)g6 + Значения параметра b варьировались в широких преде(n + 8)лах (обычно от 0 до 30) и выбирались такими, чтобы численные результаты, даваемые пяти- и шестипетле (-0.02342417n5 + 1.07179839nвым разложениями, совпадали или оказывались предельно близкими для аппроксимант всех указанных типов, + 265.8357032n3 + 12669.22119nт. е. обеспечивалась скорейшая сходимость итерационной + 114181.4357n + 271300.0372)g7, (13) процедуры. В тех случаях, когда у диагональной аппроксиманты [3/3] имелись полюса при положительных или Здесь, как и в предыдущих работах [7Ц9], роль аргумента малых отрицательных y для всех разумных значений b, играет не эффективная константа связи g4, а пропорциовеличина g определялась по двум другим, менее симнальный ей безразмерный инвариантный заряд метричным аппроксимантам [4/2] и [3/2] в области их аналитичности. Когда же с ростом n непригодными из-за n + g = g4, (14) появления ФопасныхФ полюсов оказались и эти аппроксиманты (это произошло между n = 28 и n = 32), оценки который в отличие от g4 не стремится при n кнулю, для g стали находиться с помощью аппроксимант [5/1] а выходит на конечное значение, равное единице. Ряды и [4/1], которые не потеряли работоспособности вплоть типа (13) являются, как известно, асимптотическими, но до n = 40. Полученные таким способом координаты их нетрудно свести к сходящимся, подвергнув преобра- фиксированной точки, а также значения критического инзованию БореляЦЛеруа декса = -d(g)/dg, определяющего температурные зависимости поправок к скейлингу, приведены в таблице (столбцы 1 и 2). Здесь же приведены для сравнения и f (x) = cixi = e-ttbF(xt)dt, значения g, найденные ранее [9] методом ПадеЦБореля i=0 с использованием аппроксиманты [5/1] (столбец 3), а также путем применения более совершенных методов ci пересуммирования [7,8] (столбцы 4 и 5).

F(y) = yi. (15) (i +b)! Сопоставление чисел в столбцах 1, 4 и 5 таблицы i=позволяет протестировать описанный выше алгоритм.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам