Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. 10 Расчет термоэлектрической эффективности многослойных структур с квантовыми ямами в случае полярного рассеяния носителей на оптических фононах й Д.А. Пшенай-Северин, Ю.И. Равич Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 195251 Санкт-Петербург, Россия (Получена 21 января 2004 г. Принята к печати 3 марта 2004 г.) Произведен расчет повышения термоэлектрической добротности в слоистой структуре с квантовыми ямами при полярном рассеянии носителей тока оптическими фононами. На основе выполненных ранее и новых расчетов для различных механизмов рассеяния сделан вывод, что увеличение добротности вследствие размерного квантования электронов возможно лишь при условии, что вероятность рассеяния носителей убывает при увеличении переданного волнового вектора.

1. Введение результат в случае полярного рассеяния правилен только при относительно больших толщинах квантовых ям a, Исследование термоэлектрических свойств квантово- а в области малых толщин ям требует корректировки.

размерных структур началось с работ Хикса и Дрес- В данной работе в рамках модели [8], основанной на сельхауз [1Ц3], которые провели расчет и оценки тер- предположении об изотропном параболическом спектре моэлектрической добротности Z слоистой структуры с носителей заряда и учитывающей полярное рассеяние квантовыми ямами. Ими было показано, что за счет носителей на оптических фононах объемного типа, роста плотности состояний при размерном квантовавыполнен более аккуратный учет влияния указанного нии добротность таких структур может быть увеличена выше фактора на время релаксации и термоэлектричев 2-3 раза по сравнению с объемным значением, при скую добротность в слоистых структурах с квантовыми условии, что подвижность носителей не изменяется при ямами. Кроме того, проведено сравнение зависимости переходе от объемного образца к образцу с квантовыми добротности от толщин квантовой ямы в рассматриваямами.

емом случае и в предположении, сделанном в работах В то же время в ряде работ [4Ц8] было показано, Хикса и Дрессельхауз [1], о неизменном по сравнению с что рост плотности состояний в структуре с размерным объемным образцом времени релаксации.

квантованием, который является основной причиной роста термоэлектрической добротности, может приводить 2. Время релаксации одновременно к уменьшению подвижности носителей заряда. В частности, в случае рассеяния на акустических В области температур выше температуры Дебая расфононах и близкодействующем потенциале примесей сеяние на оптических фононах является упругим, а в простейшей модели стандартного закона дисперсии время релаксации в структуре с квантовыми ямами 2D носителей путем аналитических расчетов нами [8] было определяется следующим выражением:

показано, что выражения для термоэлектрической добротности в объемном образце и образце с квантовыми k q -ямами в точности совпадают. Величины термоэлектри2D = |Mk,k +q |2 (k + q ) - (k ) kческих эффективностей в обоих случаях оказываются q равными, если химические потенциалы выбирать из k q условия максимума добротности.

- |Mk,k -q |2 (k - q ) - (k ), (1) kПри рассеянии на акустических фононах и близкодейq ствующем потенциале примесей матричный элемент не зависит от разности волновых векторов электронов в где Ч постоянная Планка, q Ч волновой вектор конечном и начальном состояниях, однако для случая фонона, q Ч проекция волнового вектора фонона рассеяния на полярных оптических колебаниях решетки на плоскость слоев, Mk,k q Ч матричный элемент такая зависимость имеет место. В ходе расчета времени рассеяния электрона из состояния с волновым векторелаксации в образце с квантовыми ямами для этого ром k в плоскости слоя в состояние с волновым векмеханизма рассеяния в работе [8] было недостаточно тором k q с поглощением или испусканием фонона, точно учтено влияние зависимости матричного элемента -функция учитывает сохранение энергии при упругом от переданного импульса при оценке одного из подынте- рассеянии, а (k ) Ч энергия электрона, связанная с гральных выражений. Поэтому полученный в работе [8] движением в плоскости слоя, отсчитанная от дна нижней 7 1252 Д.А. Пшенай-Северин, Ю.И. Равич подзоны размерного квантования. Матричный элемент В объемном образце время релаксации имеет следуюрассеяния для этого случая равен [8] щий вид [9]:

- 3D = M2(k)Vg3D, (9) Mk,k +q = M(q)Y (q), (2) z где M(q) Ч хорошо известный матричный элемент для где g3D = mk/22 Ч плотность электронных состояполярного рассеяния в объемном образце, а множитель ний в единице объема без учета спинового вырождения.

Y (q) возникает при вычислении матричного элемента z Используя это выражение, найдем отношение времени в результате интегрирования по координате z, направрелаксации в образце с квантовыми ямами и в объемном ленной по нормали к плоскости слоя:

образце 2D 2ak exp(iq) sin q z z = I-1(u). (10) Y (q) =, (3) z 3D q(1 - q2) z z где безразмерная величина q пропорциональна состав- Интеграл I(u) при больших u стремится к единице, а z ляющей волнового вектора фонона qz, перпендикуляр- при малых Ч приблизительно равен I(u) u. Поэтому ной к плоскости слоев: при больших толщинах квантово-размерных слоев a отношение времен релаксации совпадает с полученным aqz q =. (4) z в работе [8], а при малых толщинах ям это отношение оказывается не зависящим от a и время релаксации в обПерейдем в (1) от суммирования к интегрированию разце с квантовыми ямами стремится к величине 3D/2.

в цилиндрической системе координат, направив цилинТаким образом, для рассеяния на полярных оптичедрическую ось вдоль оси z и отсчитывая азимутальный ских фононах при относительно больших толщинах ям угол от направления волнового вектора k. Тогда, оказываются справедливыми выводы работы [8] Чвыравыделяя в объемном матричном элементе зависимость жения для электропроводности, термоэдс, электронной от волнового вектора фонона M2(q) =M2(k )k2/q2, потеплопроводности и добротности совпадают с соответлучим ствующими значениями в объемном образце. Если же 2k толщины ям относительно малы, то время релаксации M2(k )Vm 2 cos -1 перестает зависеть от a и оказываются справедливыми 2D = - dqz q dq d 83 2 qпредположения, сделанные в работах Хикса и Дрессель0 хауз [1], с учетом того что 2D в 2 раза меньше 3D.

q - q Добротность в этом случае, как и было предсказано |Y+(q)|2 +cos -|Y (q)|2 -cos, z z в [1], начинает расти с уменьшением толщин квантово2k 2k размерных слоев за счет увеличения плотности состоя(5) ний в квантовых ямах.

где V = Sa Ч объем слоя, представляющего собой квантовую яму для электронов, а m Ч эффективная масса электрона.

3. Кинетические коэффициенты Выполнив интегрирование по углу с помощью и термоэлектрическая добротность -функций, а затем проинтегрировав по q, получимдля обратного времени релаксации следующее выражение:

Используя полученное выражение для релаксации в образце с квантовыми ямами, нетрудно найти элекM2(k )Vm 2 |q| -1 2 z тропроводность, термоэдс и электронную теплопровод2D = - Y (q) 1- dq, z 2 a q2+u2 z ность, а затем и термоэлектрическую добротность в z таких структурах.

(6) 2 Например, для электропроводности будем иметь в котором Y (q) =|Y (q)|2, а u = ak /. Это выражеz z ние согласуется с приведенным в работе [7].

Обозначая интеграл, стоящий в (6), через 3I(u)/2, 2e2 f (, ) g2D 2D = - 2D d, (11) получим m a 2 g2D -2D = M2(k ) V I(u), (7) где f (, ) Ч функция распределения Ферми, Ч a 2 энергия электрона, связанная с движением в плоскости где g2D = m/2 Ч двумерная плотность электронслоя, а Ч химический потенциал, причем за начало ных состояний без учета спинового вырождения, а отсчета энергии выбрано дно нижней подзоны размер ного квантования.

2 |q| 2 z Для удобства дальнейшего изложения перепишем I(u) = Y (q) 1 - dq. (8) z q2 + u2 z z время релаксации в случае полярного рассеяния на Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. Расчет термоэлектрической эффективности многослойных структур с квантовыми ямами... оптических фононах в объемном образце, выделив энер- В объемном образце выражение для безразмергетическую зависимость ной термоэлектрической эффективности Z3DT имеет вид (19), где надо заменить I(2D)(, w) на I(3D)(); при n n 3D = 0 x1/2, (12) этом выражение для параметра материала оказывается тем же, что и в образце с квантовыми ямами (20), если где x = /k0T, k0 Ч постоянная Больцмана, а T Ч считать, что фононные составляющие теплопроводноабсолютная температура. Тогда в образце с квантовыми стей в обоих случаях равны.

ямами время релаксации в соответствии с (10) равно Если же предположить, что время релаксации в об2 wx разце с квантовыми ямами не изменяется по сравнению 2D = 0, (13) 3 I(w x) с объемным, как было сделано в работе Хикса и Дрессельхауз [1], то электропроводность 2D для этого где w = a 2mk0T /.

случая можно получить из (11), подставив 2D = 3D:

С учетом (13) выражение (11) можно переписать в виде e2k0T 2D = I(3D)(). (21) 3/ a 2 2e2 m(k0T )3/2D = I(2D)(, w), (14) 32 Для добротности в этом случае получим следующее выражение:

где = /k0T Ч безразмерный химический потенциал, а I(3D)() - I(3D)() 5/2 3/ Z2DT =, (22) f (x, ) xn I(2D)(, w) = - dx. (15) I(3D)() 1/B + I(3D)() - I(3D)() n 3/2 7/2 5/x I(w x ) где параметр материала B отличается от B множителем Выражение для электропроводности в объемном образце отличается только заменой интеграла I(2D)(, w) n B = B. (23) 2w на интеграл I(3D)(), задаваемый выражением n Используя формулы (19) и (22), можно оценить изме f (x, ) нение добротности при переходе от объемного образца I(3D)() = - xn dx. (16) n x к образцу с квантовыми ямами, а также сравнить величины этого изменения с учетом уменьшения времени Аналогичным образом могут быть получены выраже- релаксации (19) и без него (22). Для этого выберем ния для термоэдс значение параметра B = 0.073, соответствующее оптимизированной по химическому потенциалу добротности k0 I(2D)(, w) Z3D(opt)T 1. Это дает возможность построить графи2D = - - , (17) e ки оптимизированных по величине химического потенI(2D)(, w) циала добротностей Z2D(opt) и Z2D(opt), отнесенных к электронной теплопроводности объемному значению, от параметра w (см. рисунок).

Для численных оценок были выбраны следующие 2 2 mk0/(k0T )5/2D = параметры: температура Дебая = 150 K и усредненD 32 ная эффективная масса m = 0.07m0, соответствующие параметрам PbTe. Тогда для комнатной температуры I(2D)(, w) I(2D)(, w) - (18) T = 300 K выполняется условие упругости рассеяния.

I(2D)(, w) Для того чтобы реализовалась ситуация, в которой преимущественный вклад в перенос дает нижняя и безразмерной термоэлектрической эффективности подзона размерного квантования, необходимо, чтобы энергетическое расстояние до второй подзоны, равное I(2D)(, w) - I(2D)(, w) 3 Z2DT =, 3 2/2ma2, было велико по сравнению с тепловой I(2D)(, w) 1/B+I(2D)(, w) - Iала в (19) области вырождения. Первое из этих условий огранигде параметр материала B определяется следующим чивает сверху диапазон изменения параметра w величи выражением:

ной 3. Проверка второго из условий с использованием проведенных оценок показала, что в области w>0.44, 2 2mk0(k0T )5/ B =, (20) где величина opt оказывается положительной, опти32 ph мальные значения величины химического потенциала не в котором ph Ч фононная составляющая теплопровод- превышают k0T. Таким образом, вкладом в перенос от ности. вышележащих подзон можно пренебречь.

Физика и техника полупроводников, 2004, том 38, вып. 1254 Д.А. Пшенай-Северин, Ю.И. Равич матричный элемент не зависит от волнового вектора фононов, что реализуется, например, в случае рассеяния на акустических фононах. В случае рассеяния на оптических фононах уменьшение объемного матричного элемента с ростом волнового вектора фонона компенсирует увеличение вероятности рассеяния за счет расширения фазового объема электронных фононов.

Отсутствие зависимости времени релаксации от толщин квантовых ям в области малых a приводит к увеличению добротности по сравнению с объемным образцом. Однако выигрыш в добротности в этом случае оказывается меньше, чем полученный в рамках предположения Хикса и Дрессельхауз [1] о не изменяющемся по сравнению с объемным образцом времени релаксаЗависимость отношения термоэлектрической эффективности ции, из-за того что в области малых a время релаксации в слоистой структуре с квантовыми ямами и в объемном в структуре с квантовыми ямами оказывается в 2 раза образце от параметра w, пропорционального толщине кванменьше, чем в объемном образце.

товой ямы a. Кривая 1 построена с учетом изменения вреИз расчетов, произведенных нами в настоящей работе мени релаксации в структуре с квантовыми ямами, а крии в [8], следует вывод, что увеличение Z благодаря вая 2 Ч с использованием объемного значения для времени размерному квантованию электронов возможно лишь релаксации [1].

при условии, что вероятность рассеяния носителей тока убывает с увеличением волнового вектора, переданного На рисунке кривая 1 соответствует термоэлектриче- при рассеянии.

ской эффективности, отнесенной к объемному значению, Приведенные же в настоящей работе численные рев структурах с квантовыми ямами с учетом изменения зультаты имеют смысл лишь в сравнении с резульвремени релаксации, а кривая 2 Ч добротности, вы- татами, полученными без учета влияния размерного численной, как и в работах Хикса и Дрессельхауз [1], квантования на подвижность. Как известно из литерас использованием объемного значения для времени туры [4Ц7,10Ц13], более реалистичные результаты могут релаксации. Сравнение показывает, что в обоих случа- быть получены лишь с учетом влияния слоистого харакях термоэлектрические эффективности увеличиваются с тера структуры на фононы, и туннелирования электроуменьшением толщин квантовых ям, однако при учете нов через барьеры, разделяющие квантовые ямы, теплоизменения времени релаксации при переходе от объем- проводности по барьерным слоям, а также рассеяния на ного образца к структуре с квантовыми ямами выигрыш неоднородностях толщины квантовых ям.

в добротности будет несколько меньше, поскольку в Работа поддержана Программой фундаментальных исэтом случае предельное значение времени релаксации следований Отделения физических наук Российской акав структуре с квантовыми ямами в 2 раза меньше, чем в демии наук.

объемном образце.

Список литературы 4. Заключение [1] L.D. Hicks, M.S. Dresselhaus. Phys. Rev. B, 47, 12 727 (1993).

В данной работе было теоретически исследовано вли[2] L.D. Hicks, M.S. Dresselhaus. Phys. Rev. B, 47, 16 631 (1993).

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам