Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 |

В отсутствие спин-орбитального взаимодействия 1 lB lB xQN = dx exp -x - xL1 (x2), N ( 1 = 0) поправка к проводимости оказывается равной l l N + e2 0 eа матричные элементы триплетной части a (0) =- ln, b (0) = ln 2. (25) 22 K(N, m; N, m ) даются интегралами, отличающимися от уравнения (22) наличием дополнительного подынте- Такой же ответ получается и в случае R = D.

грального множителя i cos. В самом деле, если первые гармоники вкладов Рашбы Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. Недиффузионная слабая локализация в двумерных системах со спин-орбитальным расщеплением... остальными кривыми на рис. 1, a, соответствующими отношению R/ D = 0.9, 0.7, 0.5 и 0. Видно, что с уменьшением отношения R/ D значение квантовой поправки к проводимости возрастает. Аналогичный рост квантовой поправки наблюдается при фиксированном отношении слагаемых Рашбы и Дрессельхауза с увеличением спинового расщепления. В случае, когда в системе присутствует только один вклад в спиновое расщепление ( R = 0), квантовая поправка к проводимости описывается выражениями (26), (27) из работы [19].Интересно отметить, что кривые, описывающие поправку в нулевом поле, ДгруппируютсяУ с ростом D.

Асимптотика квантовой поправки при R,D как функция R/ D представлена на рис. 1, b. Если при D разность вкладов Рашбы и Дрессельхауза неограниченно возрастает | R- D| 1, то элементы матрицы A(q) с ms или ms = 0 оказываются пренебрежимо малыми, и матрица A(q) сводится к матрице 2 следующего вида:

P0(q) D(q) A(q) =, (26) 2 D(q) P0(q) где d (x - iy )D(q) =, 2 2 [1 - iql cos( - q)](x + y ) а величины x и y суть компоненты вектора (см. уравнение (6)) при угле вектора R и осью x, равРис. 1. Квантовые поправки к проводимости в нулевом ном. Аналогичным образом матрица K(q) принимает магнитном поле. a Ч зависимости поправки от D при вид различных значениях R/ D. b Ч зависимость поправки от K0(q) F(q) R/ D при R,D. Значение при R/ D 1, показанное K(q) =, (27) светлым кружком, соответствует пределу | R - D| 1. 2 F(q) K0(q) Время сбоя фазы = 100.

где d i cos (x - iy)F(q) =.

2 2 [1 - iql cos( - q)](x + y ) и Дрессельхауза в точности совпадают, вектор (k) Если доминирует один вклад в спиновое расщепление коллинеарен одной из осей 110. Поэтому энергетиче( R = 0), то ский спектр электронов состоит из двух параболоидов, сдвинутых друг по отношению к другу в k-пространстве e a (0) = -0.57 + ln, и характеризующихся определенными проекциями спина электрона на эту ось. Рассеяние сохраняет спин электронов, поэтому оба параболоида дают независимый вклад e b (0) =-0.52. (28) в проводимость, каждый из которых равен бесспиновому. Физически это легко понять, заметив, что при В другом предельном случае R/ D 1, но R = D спин данного электрона вращается вокруг | R - D| фиксированного вектора. Квантовая поправка к прово a (0) =b (0) =0. (29) димости, обусловленная интерференцией электронных волн, вернувшихся в исходную точку, не будет зависеть Это значение показано на рис. 1, b светлым кружком.

от спина, поскольку угол поворота спина в этом случае Если R/ D 1, но | R - D| 0, то матричными на замкнутых траекториях равен нулю [3,5]. Соответэлементами A(q) и K(q) с ms, ms = 0 пренебрегать ствующий расчет показан сплошной кривой на рис. 1, a.

нельзя, и квантовая поправка описывается уравнениЕсли | R| = | D|, то угол поворота спина на за ем (25) в согласии со сказанным выше.

мкнутой траектории, вообще говоря, не равен нулю, и В [19] вместо матриц KN, Kx должны использоваться транспониT T абсолютная величина триплетного вклада в поправку рованные матрицы KN и Kx. Неточности в выражениях для a,b(0) из к проводимости уменьшается. Это проиллюстрировано работы [19] исправляет формула (28) данной статьи.

Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 1246 М.М. Глазов, Л.Е. Голуб уменьшение слагаемого Рашбы (при фиксированном вкладе Дрессельхауза) будет проявляться как усиление спин-орбитального взаимодействия. Действительно, как видно из рис. 2, ДглубинаУ минимума увеличивается с уменьшением отношения R/ D, а сам он сдвигается в область больших магнитных полей. Эти результаты качественно согласуются с диффузионной теорией [3].

В отличие от работы [3] наша теория дает корректную асимптотику квантовой поправки к проводимости при B Btr: независимо от величины R/ D все кривые выходят на одну и ту же зависимость (30). В самом деле, при B Btr вклад длинных траекторий подавлен, а на путях с малым числом рассеивателей угол поворота спина пренебрежимо мал, поэтому предел hf (B Btr) не зависит от величин спиновых расщеплений [19].

Рис. 2. Магнитополевые зависимости квантовой поправки к проводимости. Расчет проводимости при фиксированной величине первой гармоники слагаемого Дрессельхауза D = 4. Роль кубического по импульсу для различных значений константы Рашбы R, указанных цифрами у кривых. На вставке Ч зависимость положения слагаемого Дрессельхауза минимума кривой магнетопроводимости от отношения R/ D.

Перейдем теперь к анализу роли кубических по импульсу слагаемых в спиновом расщеплении. Кроме перенормировки 1(k) [см. (2)], они приводят к появле3.2. Магнетосопротивление нию третьей гармоники эффективного магнитного поля На рис. 2 показана рассчитанная по формулам (23), [см. (3)]. Для начала рассмотрим случай, когда первая (24) зависимость полной слабо-локализационной по- гармоника вовсе отсутствует в спиновом расщеплении правки к проводимости от магнитного поля для различ- ( 1(k) 0). В этом пределе спиновое расщепление ных соотношений слагаемых Дрессельхауза и Рашбы.

изотропно в плоскости квантовой ямы, и матрица A(q) в Величина первой гармоники слагаемого Дрессельхаунулевом магнитном поле зависит лишь от модуля q. Она за предполагалась постоянной, D = 1, а различные имеет вид кривые соответствуют различным отношениям вклада Рашбы к вкладу Дрессельхауза ( R/ D = 0, 0.5, 0.7, A(q) 0.85 и 1). Магнитное поле на этом и последующих P0(q) - S(0)(q) R(3)(q) S(6)(q) рисунках приведено в единицах ДтранспортногоУ поля Btr = /2el2.

= R(3)(q) P0(q) - 2S(0)(q) R(3)(q), Анализ результатов начнем со случая R = D. Как S(6)(q) R(3)(q) P0(q) - S(0)(q) указывалось выше, в этом пределе обе спиновые вет(31) ки дают одинаковые вклады в магнетосопротивление, где мы ввели функции совпадающее с бесспиновыми, поэтому поправки к проводимости описываются теорией [20]. Абсолютное значение квантовой поправки к проводимости монотонS(n)(q) = dy exp(-y)Jn(qly) sin2( D3 y), но уменьшается. В сильных полях B/Btr 1 поправка описывается асимптотическим выражением Btr ehf (B) =-0.25. (30) B R(n)(q) = dy exp(-y)Jn(qly) sin(2 D3 y).

При отличных друг от друга слагаемых Рашбы и Дрессельхауза угол поворота спина на замкнутых траВершинная часть K(q) зависит от углов вектора q. Одекториях уже не равен нулю. Поэтому триплетный нако, поскольку система изотропна, продольная проводивклад в проводимость уменьшается, а значение синмость равна =(xx + yy)/2. Этот формальный прием глетного вклада при данном магнитном поле остается позволяет исключить угловую зависимость вершинной тем же, что и без спин-орбитального взаимодействия.

части. Величина дается однократным интегралом Это приводит а) к уменьшению абсолютной величины по q (18), в котором K2(q) заменено согласно поправки и б) к немонотонному магнетосопротивлению.

Поскольку на данной траектории угол поворота спина K(q)KT (q) + KT (q)K(q) K2(q), будет тем больше, чем больше величина | 2 - 2 |, R D Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. Недиффузионная слабая локализация в двумерных системах со спин-орбитальным расщеплением... где K(q) дается следующим выражением:

K(q) Q(q) - S(1)(q) -R(2)(q) -S(5)(q) = R(4)(q) Q(q) - 2S(0)(q) -R(2)(q), S(7)(q) R(4)(q) Q(q) - S(1)(q) (32) и 1 - P0(q) Q(q) =.

ql На рис. 3 представлены результаты расчета поправки в нулевом магнитном поле в зависимости от D3, выполненного численно по общим формулам (15), (18).

Рис. 3, a посвящен интерференции третьей и первой гармоник спинового расщепления. Мы сосредоточимся на наиболее интересном с точки зрения теории и эксперимента случае, когда первые гармоники слагаемых Дрессельхауза и Рашбы в точности скомпенсированы ( D = R) и в отсутствие третьей гармоники поправка к проводимости такая же, как и в системе без спинового расщепления. На рис. 3, a сплошной, штриховой и пунктирной кривыми показаны зависимости поправки к проводимости от D3 при различных значениях 1 D = R: 1 = 0, 0.5 и 1. Видно, что поправка к проводимости практически не зависит от величины первой гармоники в спиновом расщеплении: при скомпенсированных первых гармониках вкладов ДрессельхаРис. 3. Квантовые поправки к проводимости в нулевом уза и Рашбы угол поворота спина на замкнутой траектомагнитном поле в зависимости от интенсивности 3-й угловой рии определяется в основном третьей гармоникой D3.

гармоники слагаемого Дрессельхауза. В спиновом расщеплеРазличия между кривыми, соответствующими разным нии присутствуют: a Ч как 3-я гармоника ( D3), так и 1-я значениям 1 связаны с тем, что углы поворота спина, ( 1 = D = R); b Ч только 3-я гармоника D3( i = 0).

вызванные 1(k) и 3(k), вообще говоря, не коммутиЗначения 1 на рис. a: 1 Ч0, 2 Ч0.5, 3 Ч1.

руют. Это приводит к неаддитивности углов поворота спина за счет первой и третьей гармоник на данной замкнутой траектории. В режиме малого спинового расЛюбопытно сравнить рис. 3, b и кривую, соответствущепления 1, 3 1, изученном в [3], углы поворота спина аддитивны и зависимость магнетосопротивления ющую R = 0, на рис. 1, a. Видно, что при одинаковых от магнитного поля при скомпенсированных складах значениях спинового расщепления, обусловленных перРашбы и Дрессельхауза 1 еще более слабая. Тем не вой и третьей гармониками слагаемого Дрессельхауза менее, согласно рис. 3, a, эти различия малы даже при D = D3, поправка к проводимости за счет третьей 1 1, т. е. когда D = R и слабо-локализационная гармоники оказывается больше.

поправка слабо зависит от 1. Поэтому представляется Перейдем теперь к магнетосопротивлению. Мы буактуальным изучить поправку к проводимости в присутдем обсуждать ситуацию, в которой присутствует лишь ствии только третьей гармоники в эффективном поле.

третья гармоника в энергетическом спектре (согласно Рис. 3, b демонстрирует квантовую поправку, вычисвышесказанному, это в значительной мере применимо к ленную в отсутствие первой гармоники в спиновом случаю равных первых гармоник вкладов Дрессельхауза расщеплении. Из рисунка виден монотонный рост пои Рашбы).

правки, смена знака при D3 1 и ее насыщение на Можно показать, что третья гармоника слагаемого асимптотическом значении Дрессельхауза смешивает лишь состояния с одинаковыми значениями N + 3ms (аналогично тому как первая e a (0) = -0.41 + ln, гармоника вклада Дрессельхауза смешивает состояния с равными N-ms, а слагаемые Рашбы Ч с равными N + ms [2,19]). Поэтому матрица A(N, m; N, m ) (22) e b (0) =-0.58. (33) разбивается на блоки размерности 3 3, которые униФизика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 1248 М.М. Глазов, Л.Е. Голуб тарным преобразованием приводятся к виду PN-6 - S(0) R(3) S(6) N-6 N-6 N- AN =, R(3) PN-3 - 2S(0) R(3) N-3 N-3 N-S(6) R(3) PN - S(0) N N N (34) где lB N ! lB xS(m) = dx exp -x - xm N l (N + m) ! l lB Lm(x2) sin2 x, N l Рис. 4. Зависимости магнетосопротивления от магнитного поля, рассчитанные при различных значениях 3-й гармоники lB N ! lB xR(m) = dx exp -x - xm слагаемого Дрессельхауза D3, указанных цифрами у кривых.

N (N + m) ! l l На вставке Ч зависимость положения минимума зависимостей от D3.

lB Lm(x2) sin 2 x.

N l Квантовая поправка к проводимости, обусловленная D3 в область больших полей. Глубина минимума процессами рассеяния назад, имеет вид ведет себя немонотонно: при малых D3 с увеличением спинового расщепления глубина минимума растет, а при e2 l P3 N a = - Tr AN(I - AN)-1 -.

больших D3 Ч падает.

22 lB N=0 1 - PN (35) Здесь Tr обозначает след матрицы 3 3. Аналогично 5. Заключение матрица K (N, m; N, m ) приводится к виду QN-6 - S(1) -R(2) -S(5) В данной статье мы теоретически исследовали слабую N-6 N-5 N- локализацию в двумерных системах с сильным спин KN =.

R(4) QN-3 - 2S(1) -R(2) N-6 N-3 N-орбитальным взаимодействием. Мы обобщили недиффуS(7) R(4) QN - S(1) зионную теорию [19] на случай произвольного соотноN-6 N-3 N (36) шения структурного и объемного вкладов в спиновое расщепление, а теорию [3] Ч на баллистический режим В итоге вклад в проводимость, связанный с процессами рассеяния на произвольные углы, выражается через KN магнетотранспорта. Построенная теория учитывает как следующим образом: вклад в проводимость, связанный с процессами рассеяния назад, так и с процессами рассеяния на произe2 l вольный угол. Численный расчет проведен с учетом как T b = Tr KNKN AN(I - AN)-42 lB N=линейных, так и кубических по импульсу слагаемых в спиновом расщеплении. Мы продемонстрировали подавT + Tr KN KNAN+1(I - AN+1)-ление антилокализационного минимума проводимости в случае совпадения первых гармоник структурного и PN PN+объемного спин-зависимых слагаемых. Мы также пока- Q2 +. (37) N 1 - PN 1 - PN+зали, что если первые гармоники вкладов Дрессельхауза и Рашбы в точности скомпенсированы, то квантовая На рис. 4 представлены зависимости магнетосопропоправка к проводимости обусловлена главным обративления от магнитного поля, рассчитанные для раззом третьей гармоникой слагаемого Дрессельхауза и личных величин третьей гармоники слагаемого Дреспрактически не зависит от величины первой гармоники сельхауза, когда первая гармоника 1(k) равна нулю.

спинового расщепления. Данная теория позволяет опиКачественно ход кривых совпадает с результатами для сывать измерения квантовых поправок к проводимости спинового расщепления, описываемого первой гармонив двумерных системах с высокой подвижностью во всем кой [19]. В магнитных полях B ( D3 )2Btr все кривые выходят на одну и ту же бесспиновую зависимость [20]. диапазоне классически слабых магнитных полей и для Минимум магнетосопротивления сдвигается с ростом сколь угодно сильных спиновых расщеплений.

Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. Недиффузионная слабая локализация в двумерных системах со спин-орбитальным расщеплением... Работа была поддержана грантами РФФИ, ФСОН, Non-diffusive weak localization Президента РФ для молодых ученых и фондом ДДинаin two-dimensional systems стияУ Ч МЦФФМ.

with spin-orbit splitting of the spectrum M.M. Glazov, L.E. Golub Список литературы Ioffe Physicotechnical Institute, Russian Academy of Sciences, [1] B.L. Altshuler, A.G. Aronov. In: ElectronЦelectron inter194021 St. Petersburg, Russia actions in disordered systems, ed. by A.L. Efros, M. Pollak (Elsevier, Amsterdam, 1985).

Abstract

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам