Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика твердого тела, 1998, том 40, № 7 Вклад неравновесных оптических фононов в эффекты Пельтье и Зеебека в полярных полупроводниках й Ю.В. Иванов, В.К. Зайцев, М.И. Федоров Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Поступила в Редакцию 19 сентября 1997 г.

В окончательной редакции 6 января 1998 г.) Рассчитаны аддитивные вклады в коэффициенты термоэдс и Пельтье, обусловленные неравновесностью продольных оптических фононов. Полученные результаты корректны для любых температур и применимы к полярным невырожденным полупроводникам с низкой концентрацией носителей заряда. Вычисленные составляющие термоэлектрических коэффициентов экспоненциально малы в области низких температур и достигают максимума при kBT 0. В материалах с большой массой носителей заряда и сильным электронфононным взаимодействием вклад оптических фононов в коэффициент термоэдс может превышать 1 mV/K.

В настоящее время достаточно хорошо исследованы Пельтье, так как ответственные за него изотермические как увлечение носителей заряда акустическими фонона- процессы проще и нагляднее.

ми, так и обратный процесс. При низких температурах В расчете будем использовать изотропные параболичеименно эти явления часто определяют соответственно ские спектры носителей заряда и продольных оптических эффекты Зеебека и Пельтье. В полярных полупроводни- колебаний ках взаимодействие носителей заряда с упругими опти2 k2 ческими колебаниями значительно сильнее, чем с акуk =, q = 0 + aq2. (1) 2m стическими. Поэтому, несмотря на меньшую групповую скорость оптических фононов, учет их неравновесности Здесь m Ч эффективная масса носителей. Параметр a необходим при рассмотрении явлений переноса в этих определяет дисперсию фононов.

материалах.

Законы сохранения разрешают электрону с волновым Различные варианты увлечения квазичастиц с участи- вектором k взаимодействовать с квазичастицей, у котоем неравновесных оптических фононов исследовались рой q max{k, }, где Ч абсцисса точки пересечения в работах [1Ц5] (см. также ссылки в [2,3]). Из-за спектров (1). Поэтому в полупроводниках не слишнеупругости рассеяния электронов расчеты выполнялись ком тяжелые носители увлекают лишь длинноволновые в пределах низких и высоких температур, допускающих фононы. Для них слагаемое aq2 мало по сравнению с использование приближения времени релаксации. Од- предельной частотой 0. Однако пренебречь дисперсией нако вклад увлечения в явления переноса максимален нельзя1. В противном случае обратится в нуль групповая при kBT 0 (0 Ч предельная частота продольных скорость оптических фононов, а вместе с ней и перенооптических фононов). Только в этом случае число ква- симый ими тепловой поток.

зичастиц в фононной подсистеме достаточно велико, и В линейном по параметру a приближении фононная отклонение от равновесности не слишком мало. добавка к коэффициенту Пельтье имеет вид В данной работе в рамках простой модели, но для wp Pp произвольной температуры рассчитаны добавки к коэфp = =, (2) j e Pe фициентам Пельтье и Зеебека полярного полупроводника, обусловленные неравновесностью продольных оптигде wp и j Ч плотности соответственно теплового ческих фононов. Для упрощения вычислений мы предпотока, переносимого продольными оптическими фоноположили, что из всех взаимодействий, в которых принами, и электрического тока, e Ч заряд носителей (для нимают участие оптические фононы, наиболее сильным электоронов e < 0), Pp и Pe Ч полные квазиимпульсы является взаимодействие с акустическими колебаниями.

фононной и электронной подсистем, Это приближение справедливо при малой концентрации 2mносителей заряда.

= a2, 2 =. (3) Все перечисленные векторы параллельны электриче1. Основные уравнения скому полю, и лишь их модули использованы в скалярном коэффициенте (2).

Хорошо известно, что коэффициенты Зеебека S и Мы не будем рассматривать акустооптическое увлечение [3], при Пельтье связаны соотношением Томпсона: = TS.

котором оптические фононы лишь передают полученный от электронов Поэтому достаточно рассчитать один из них. Мы рассмоквазиимпульс акустическим колебаниям и могут быть бездисперсионтрим вклад неравновесных оптических фононов в эффект ными.

1210 Ю.В. Иванов, В.К. Зайцев, М.И. Федоров В рассмативаемой задаче функция распределения про- Ее температурная зависимость определяется в основном дольных оптических фононов определяется неравновес- сомножителем в квадратных скобках. Кроме того, эта ными процессами в электронной подсистеме. Удобно частота практически не зависит от волновых векторов исключить ее из рассмотрения. Для этого воспользуемся квазичастиц [10]. Поэтому параметр pa можно считать фононным уравнением Больцмана константой.

Теперь легко выразить N1(q) через n1(k). Подставляя 0 = Spe + Spa, (4) (5), (6), (10) в (4), находим где Spe и Spa Ч интегралы столкновений продольных N1(q) =p(q)Se, (12) pe оптических фононов соответственно с носителями заряда и акустическими колебаниями. Левая часть уравнения где p(q) = (pa + pe)-1. Используя это равенство, обращается в нуль из-за изотермичности эффекта Пель- преобразуем квазиимпульс Pp в исходной формуле (2) к тье. Интеграл Spe представим в виде суммы виду 2d3k p Spe = Spe + Se, (5) Pp = kE f (k)n1(k), (13) pe (23) где где p Spe = -pe(q)N1(q), (6) f (k) =2-1k-2 p(q)w(q) (q2 -2)[N0(0) Se =w(q) n1(k) 1 + N0(0) - n0(k-q) pe + n0(k+q)](k - k+q + 0) +(q2 +2) (k - k-q - 0) - N0(0) [1+N0(0) -n0(k-q)] 2d3k + n0(k+q) (k - k+q + 0), (7) d3q (2) (k - k-q - 0), (14) (2)n0(k) и N0(0) Ч соответственно функции Ферми и а kE Ч проекция волнового вектора на направление Планка, n1(k) и N1(q) Ч линейные по электрическому полю анизотропные части функций распределения. Ча- электрического поля E. Произведение k f (k) можно стота столкновений фононов с равновесными носителя- рассматривать как средний вклад электрона с волновым вектором k в полный квазиимпульс увлекаемых фононов.

ми заряда При малой концентрации носителей заряда pe(q) =w(q) [n0(k) -n0(k+q)] pa max pe(q), (15) 2d3k и интеграл (14) берется в элементарных функциях (см.

(k - k+q + 0) (8) Приложение).

(2)Трехкратные интегралы, определяющие квазиимпульи функция сы Pp и Pe, легко свести к однократным, если разложить w(q) =82 0-1q-2, (9) n1(k) по сферическим гармоникам определяющая вероятность трехчастичных столкновений n1(k) = nlm(k)Ylm(, ). (16) в полярных полупроводниках [6], зависят от безразlm мерной константы электрон-фононного взаимодействия. Каждое из слагаемых в линеаризованном интеграле Полярный угол отсчитывается от направления элекстолкновений (5) описывает процессы, в которых лишь трического поля. Учитывая, что f зависит только от одна из взаимодействующих подсистем является неравмодуля k, а kE Y10, вместо (13) получаем новесной. Верхний индекс указывает на эту подсистему.

Основным неэлектронным каналом релаксации неравP = k3F(k)n10(k)dk, (17) новесных оптических колебаний, по-видимому, является распад на два акустических фонона [7Ц10]. При темпе- ратурах kBT 0 акустическая подсистема близка к где F(k) = f (k) для квазиимпульса Pp и F(k) =1 для Pe.

равновесной. Поэтому интеграл столкновений Spa в (4) Чтобы вычислить коэффициент n10(k) в разложении можно записать в приближении времени релаксации (16), воспользуемся электронным уравнением Больцмана, записанным в виде Spa = -paN1(q). (10) n1(k) =n0(k) +ed(k)Sep, (18) Частота процессов распада длинноволновых квазича- стиц pa имеет вид [7,9] где n0 eed(k) n0(k) =- uk, u = E. (19) pa = pa 1 + 2N0. (11) k m Физика твердого тела, 1998, том 40, № Вклад неравновесных оптических фононов в эффекты Пельтье и Зеебека... Предполагается, что кроме взаимодействия носителей Оставшееся в (21) слагаемое в принятом приближес оптическими фононами, описываемого интегралом нии имеет вид столкновений Sep, имеется дополнительный механизм e рассеяния, для которого справедливо приближение вреSep = - ep(k)n1(k) + w(k -k) мени релаксации. Условно назовем его взаимодействием электронов с ФдефектамиФ. Предположим также, что N0(k -k - 0) +(N0 +1) зависимость соответствующего этому процессу времени релаксации от k является степенной d3k (k -k + 0) n1(k ), (24) (2)ed(k) =edx2r, (20) где где x = k/. Например, при рассеянии на акустических фононах r = -1/2, при рассеянии на ионизированных ep(k) =20x-1 N0 ln(x + x2 + 1) +(x -1) примесях r = 3/2.

Интеграл столкновений Sep опять удобно разбить на (N0 +1) ln(x + x2 - 1), (25) две части e p Sep = Sep + Sep. (21) N0 N0(0), а функция (t) равна нулю при t < 0 и единице при t 0.

Слагаемое Se зависит только от электронной функции pe Чтобы вывести уравнение для коэффициента n10(x)2, распределения n1(k) и описывает столкновения с равноумножим (18) на Y10(, ) и проинтегрируем по углам, p весными фононами. Слагаемое Sep учитывает неравноучитывая ортогональность сферических гармоник. В ревесность последних и ответственно за обратное увлечезультате получим ние носителей фононами. Очень трудно рассчитать вклад взаимного увлечения квазичастиц [3] в термоэлектричеb1(x)n10( x2 - 1) +b2(x)n10(x) ские эффекты. Мы рассмотрим полупроводник с малой концентрацией носителей заряда, удовлетворяющей не+ b3(x)n10( x2 + 1) =n0 (x), (26) p равенству (15). В этом предельном случае добавкой Sep e по сравнению с Sep можно пренебречь.

где Понять взаимосвязь неравенства (15) с малостью b1(x) = -0edN0(x - 1)x2r-обратного увлечения несложно. В нормальных процессах рассеяния квазиимпульс сохраняется. Поэтому при лю- 2x2 - бых функциях распределения скорость передачи квази ln(x + x2 - 1) - 1, (27) x x2 - импульса одной подсистемой с точностью до знака равна скорости приема его другой подсистемой. В рассматриb2(x) =1 +ed(x)ep(x), (28) ваемом случае это утверждение сводится к равенствам b3(x) = -0ed(N0 + 1)x2r-2d3k d3q e kSep = qSe, (22) 2x2 + (2)3 pe (2) ln(x + x2 + 1) - 1, (29) x x2 + 2d3k d3q n0 (x) =Cedx2r+1 exp(-x2), (30) p p kSep = qSpe. (23) (2)3 (2) = 0/kBT, а C Ч некоторый независящий от x множитель, который сокращается при вычислении отноЕсли выполнено соотношение (15), а также уравнения шения Pp/Pe.

(4), (6), (10), то правая часть (22) много больше правой Будем рассматривать переменную x как фиксированчасти (23). Следовательно, также соотносятся и левые ный параметр. Тогда коэффициенту n10(x) соответствует части равенств (22) и (23). Другими словами, в элекноситель с энергией k = 0x2, а линейное уравнение тронную подсистему возвращается лишь незначительная (26) связывает искомый коэффициент с двумя другими, часть передаваемого фононам квазиимпульса. Остается соответствующими энергиям 0(x2 1). Именно на заметить, что нигде ранее мы не фиксировали явный вид эти уровни происходит переход носителя при взаимодейфункций распределения. Использованные соотношения ствии с оптическим фононом. Уравнение (26) справедлиопределяли только их связь. Поэтому интеграл в левой во для произвольного x. Поэтому можно рассмотреть части (23) должен быть малым при любой определяющей совокупность эквидистантных энергетических уровней его функции N1(q). Это возможно, если мало само по 0(x2 + i) и для каждого из них записать соотношение дынтегральное выражение. Таким образом, почти во вcех точках фазового пространства выпоняется неравенство Вместо n10(x) следовало написать n 10(x) n10(x). Мы опустили p e |Sep| |Sep|. штрих в надежде, что это не вызовет путаницы в дальнейшем.

Физика твердого тела, 1998, том 40, № 1212 Ю.В. Иванов, В.К. Зайцев, М.И. Федоров типа (26). В результате получается бесконечная система линейных уравнений ci jn10( x2 + j) =n0 ( x2 + i), j=i = 0, 1, 2,..., (31) у которой отличны от нуля только следуюшие коэффициенты:

cii-1 = b1( x2 + i), cii = b2( x2 + i), cii+1 = b3( x2 + i). (32) В приведенном виде система справедлива для x < 1. Это не уменьшает общности подхода, как ее решением так является набор зависимостей n10( x2 + i), области определения которых перекрывают весь диапазон изменения энергии носителя.

Функция распределения экспоненциально убывает с ростом энергии, поэтому практически всегда можно оборватьсистему (31) на l-м уравнении, заменив в нем n10( x2 + l + 1) на n0 ( x2 + l + 1) или вообще Рис. 1. Зависимости Dr() при различных значениях r (a) отбросив содержащее эту функцию слагаемое. Число и D() (b).

оставляемых уравнений зависит от температуры. Например, при 1 вполне можно ограничиться двумя или тремя уравнениями. В этом случае легко может быть найдено аналитическое решение системы.

В первом случае ed (0)-1; следовательно, при вычислении функции D электрон-фононным взаимодействием можно пренебречь. При этом матрица ci j в (31) 2. Термоэдс увлечения оказывается единичной До сих пор речь шла о вычислении коэффициента n10(x) =n0 (x), (35) Пельтье (2). На практике чаще используют коэффициент и расчет зависимости D(; r, 0) Dr() сильно упротермоэдс. Чтобы определить вклад неравновесных оптищается. В ряде случаев удается выразить Dr() через ческих фононов в эффект Зеебека, достаточно разделить модифицированные функции Бесселя (см. Приложение).

(2) на температуру. Учитывая при этом явный вид функСемейство кривых Dr() представлено на рис. 1, a.

ции f (k) в приближении малой концентрации носителей Во втором случае ed (0)-1, поэтому только заряда (П1), получаем электрон-фононное взаимодействие обеспечивает релаксацию квазиимпульса носителей. В диагональных элеkB Sp = D(; r, s), (33) 0 ментах матрицы ci j можно опустить аддитивные едиepa ницы, а затем резделить все уравнения системы (31) где на 0ed( x2 + i). В результате этой процедуры из Pp уравнений исключаются множители, содержащие ed, а D(; r, s) =, (34) решение оказывается пропорциональным (0)-1. ПоPe следняя комбинация параметров не влияет на отношение s = 0ed, а Pp отличается от Pp отсутствием множитеPp/Pe. Из аргументов зависимости D(; r, ) D() соля 0/pa в f (k). Функция (34) всегда положительна.

храняется только обратная приведенная температура.

Поэтому знак термоэдс зависит от знака параметра a в Функция D() представлена на рис. 1, b.

спектре фононов и типа носителей. Если a > 0, то знак Температурная зависимость коэффициента термоэдс Sp совпадает со знаком диффузионной термоэдс.

(33) определяется в основном функцией D. Та или иная Безразмерный параметр s определяет относительную кривая представленного на рис. 1 семейства выбираетроль взаимодействий носителя с оптическими фононами ся в соответствии с механизмом релаксации электрони ФдефектамиФ. Представляют интерес два предельных ной подсистемы. Величина Sp определяется множителем случая: 1) s 0, 2) s. kB/epa. Максимумы приведенных на рис. 1 кривых Физика твердого тела, 1998, том 40, № Вклад неравновесных оптических фононов в эффекты Пельтье и Зеебека... Dr() вниз наблюдается при уменьшении параметра r (рис. 1, a). У этих двух особенностей общая причина.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам