Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 7 К теории теплопроводности диэлектриков при учете связи с термостатом (теория и численный эксперимент) й С.О. Гладков, И.В. Гладышев Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), 119454 Москва, Россия (Поступила в Редакцию в окончательном виде 1 декабря 2003 г.) Исследованы внутренние микроскопические диссипативные явления, имеющие место в кристаллических диэлектриках, в которых главным взаимодействием является связь всех подсистем с термостатом.

Показано, что в реальных физических случаях, если учитывается связь не только между взаимодействующими фононными подсистемами диэлектрика, но и с термостатом, процессы переброса для размера образца, меньшего некоторого критического значения L0, играют довольно слабую роль. Для этого случая доказано, что газ фононов ДсверхтечетУ по объему без торможения и останавливается лишь благодаря взаимодействию с неподвижными поверхностными фононами термостата.

Численными методами установлено, что umklapp-процессы начинают проявляться лишь при высоких температурах T (когда T превышает величину, приблизительно равную /4, где Ч температура Дебая) D D и для размеров образца L, больших L0, значение которого, согласно приведенным оценкам, должно быть порядка 10 cm.

При построении теории теплопроводности в кристал- Предположим, что в результате некоторого внешнего лах принципиальное значение имеет, как известно, дис- воздействия (акустической волной или импульсным ласипативная картина установления внутреннего теплово- зерным излучением) внутренняя фононная подсистема го равновесия в релаксирующих подсистемах.

диэлектрика была выведена из положения равновесия, Традиционным этапом окончательного установления а затем диэлектрик мгновенно поместили в термостат равновесия в диэлектриках считался и до сих пор считас температурой T0. Поставим перед собой цель описать ется механизм переброса (так называемые umklapp-проход установления внутренней релаксации с учетом связи цессы (см., к примеру, монографии [1,2])), ответвсех фононных подсистем с термостатом в поверхностственный за релаксацию импульса системы фононов.

ном слое.

Этот механизм впервые был введен в терминологию В результате контакта поверхности диэлектрика Р. Пайерлсом в 1929 г. Процессы переброса действис некоторым тепловым резервуаром (рис. 1) у тельно играют чрезвычайно важную роль, однако лишь поверхностных трехмерных фононов в области в том случае, если образец массивный. В самом деле, за время min = /cl, где cl Ч продольная сколегко представить ситуацию, когда размер образца L рость звука, всегда большая поперечной скорости ct, сравнительно невелик и время свободного пробега фоустановилось равновесное бозевское распределение нона от границы до границы 0 есть L/cs, где cs Ч - Ns = exp( t,k/T0) - 1, где t,l = ct,lk Ч дисперсия средняя скорость звука (так называемый кнудсеновский фононов, k Ч волновой вектор. Постоянную Больцмаслучай). Поскольку же соответствующее время релакна kB здесь и далее будем полагать равной единице.

сации, обязанное перебросом, экспоненциально велико [1,2], с очевидностью можно утверждать, что часто может быть реализована ситуация, когда неравенство u < L/cs нарушается и становится обратным начиная с некоторых значений L

связи с которой устанавливается равновесное состояние в Исследованию именно такого случая и посвящена насто- системе объемных неравновесных фононов, в случае, когда ящая работа. размер образца L < L0 (относительно L0 см. текст статьи).

К теории теплопроводности диэлектриков при учете связи с термостатом... Сразу подчеркнем, что речь идет о не слишком низких температурах, по крайней мере больших температуры жидкого гелия. Описание установления термодинамического равновесия при температурах, близких к абсолютному нулю, является отдельной задачей.

Взаимодействие объемных фононов с поверхностными приводит к выравниванию неравновесных параметров (T T0, l 0, Vt 0) и полному термостатированию внутренних подсистем. Забегая вперед, скажем, что это становится ясным после сравнения обратных времен релаксации со временем umklapp-процесса и наглядно показано с помощью численного расчета на рис. 2.

Как видно из приведенного рисунка, при температурах, меньших температуры Дебая, umklapp-процессы подавляются и становятся менее эффективными, а газ фононов ДсверхтечетУ до границ образца. Такая ситуация в каком-то смысле сходна с баллистическим течением электронов в металлах в условиях их слабого взаимодействия с фононами.

Для массивных образцов (оценки размеров см. далее) umkla pp-процессы играют главную роль, и торможение неравновесного фононного газа происходит раньше, чем этот газ успеет достичь границ диэлектрика.

Для рассматриваемой модельной ситуации будем предполагать, что время max = /cl меньше всех возможных времен релаксации в системах (max

этим условием накладывается вполне конкретное ограРис. 2. Соотношения между временами релаксации для ничение на ширину области поверхностного контакалмаза, полученные численным расчетом. Здесь введены со та. К примеру, если температура T 100 K, то = кращенные обозначения: llt Ч обратное время релаксации rel = llt = 5 10-9 s (рис. 2) и для cl = 1.8 106 cm/s для процессов с двумя продольными и одним поперечным (взятой нами для алмаза) будет выполняться условие фононами; ltt Ч то же, но для одного продольного и двух <10-2 cm.

поперечных фононов; Opt Ч обратное время релаксации для С повышением температуры времена rel уменьшаютпроцесса слияния двух продольных в один оптический фонон;

ся, а потому величина также должна уменьшаться. При Imp Ч обратное время релаксации для процесса трансфорэтом фононы вблизи поверхности становятся полностью мации продольного в поперечный в результате рассеяния на примесях; Unf Ч обратное время релаксации продольных двумерными. Связь с ними объемных фононов приведет фононов для umklapp-процессов.

к термализации последних. Заметим, что температурная зависимость времен релаксации весьма сильно изменяется при учете взаимодействия с двумерными фононами.

При анализе внутреннего теплового равновесия в процесса обозначим как imp lt. Время установления квадиэлектрике мы рассмотрели следующие четыре подсизиравновесного распределения продольных фононов lll стемы: а) продольные фононы (l), б) поперечные фонооказывается самым большим из перечисленных, но, ны (t), в) оптические фононы (o) и г) термостат (T ) с однако, меньшим, чем время релаксации продольного температурой T0 = const.

фонона, за счет процесса b+ b+ bok с участием оптичеlk ok1 Исходя из принципов, изложенных, например, в моноских фононов. Это время обозначим как loo. Замыкает графии [2] (см. также работы [3,4]), можно сделать вывод цепочку самый медленный по отношению к упомянутым о том, что самое малое время релаксации соответствует механизмам процесс релаксации Ч механизм переброса трехчастичному процессу рассеяния в системе попереч- с характерным временем u. Как показал численный ных фононов, которое обозначим через ttt. Следующим анализ, существует, однако, некоторая область на плосв иерархической цепочке времен будет время llt, отвеча- кости T -L, внутри которой процессы переброса явля+ ющее процессу взаимодействия b+ blk btk, где b+ (blk) Ч ются главными (рис. 3); этот случай мы сейчас не расlk lk 1 оператор рождения (уничтожения) продольного фонона сматриваем. Это означает, что все упомянутые времена + с волновым вектором k, а btk(btk) Что же самое для по- объединяются в единое математическое неравенство перечных фононов. Конкурирующий с этим механизмом вида ttt llt imp lt

Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1196 С.О. Гладков, И.В. Гладышев В случае важного для нашей задачи учета связи с термостатом (схема на рис. 1) мы имеем право записать следующие неравенства: TTT

L ttT = ttt, t L lT t = llt, l Рис. 3. Заштрихованная область в плоскости T -L (L Чразмер образца), где процессы переброса начинают играть существенную роль. Построение выполнено при фиксированном L imp lTt = imp lt. (1) значении = 0.18 cm и полагалось, что не зависит от T.

С учетом этого теперь просто записать кинетическое уравнение, которое в -приближении оказывается уравнения. Наконец, последнее уравнение (относительно вполне достаточным для наших целей. Проводя далее его линеаризацию по независимым параметрам Vt, l эволюции скорости увлечения Vt) представляет собой закон сохранения импульса квазичастиц. Оно получено и T = Tt - T0, где l Ч химический потенциал проумножением кинетического уравнения на k и последудольных фононов, получаем уравнения, описывающие ющим интегрированием. Как и должно быть, помимо релаксацию этих параметров времени, связанного с термостатом, в нем присутствует и время релаксации, обязанное процессам переброса u.

= - T, В наиболее интересной с теоретической и экспериментальной точек зрения области температур, а именно при T <, и в случае не слишком массивных образцов 1 D l = - l, с линейным размером L (рис. 3) должно выполняться условие 1/3 1/u (рис. 2). Оно означает, что окончательное установление равновесия во всех подсисте1 Vt = - + Vt, (2) мах характеризуется временем lT t (L/2)llt и для 3 u l небольших образцов, когда L 2, будет lT t llt.

l где обратные времена есть Если же образец массивный, то Z 2 и lT t llt.

l Чтобы сравнить 3 с u, необходимо воспользоваться lk Nlk d3k аналитическим выражением для u. Выражение для u lT Tt Tt =T0,l=Vt =ltk =, (3) в случае трехчастичного взаимодействия продольных 1 lk Nlk d3k фононов имеет вид Tt Tt =T0,l =Vt= 1 a3k D Nlk = d3k lT tk ( lk) uk 4 M3c4|k + g| 1 Tt=T0,l =Vt=0 l l =, (4) 2 Nlk /ak d3k ( lk) Tt=T0,l =Vt=3 (k + g) x2 37(x + 1)2 + x2 +(x + 1)2 x2 k k2 Nlk |k+g|-k d3k lT tk ( lk) 2k 1 Tt=T0,l=Vt =l =. (5) 3 k2 Nlk d3k N( lk x) - N lk (x + 1) dx. (6) ( lk) Tt=T0,l=Vt =-Система уравнений (2) определяется следующим обУсреднение обратного времени uk по равновесной разом. Первое уравнение, выражающее закон сохранебозевской функции распределения продольных фононов ния энергии, получено путем умножения обеих часосуществляется с помощью формулы тей кинетического уравнения на lk и последующим dk интегрированием по d3k. Второе уравнение выражает k2Nlk uk закон сохранения числа продольных фононов и найдено =.

u k2Nlk dk просто интегрированием обеих сторон кинетического Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. К теории теплопроводности диэлектриков при учете связи с термостатом... После подстановки сюда явного выражения для 1/uk, Обратное время релаксации для примесного рассеясогласно (6), найдем окончательно ния есть 1 y3N(y) 1 cD l = G dz dy = ciB y6N(y) dy, (10) u g1()M3c4a2 (y, z ) imp lt a4c5g1() l s -1 где ci Ч концентрация примесных атомов, B = S(x, y) N(x) - N (x + y) dx, (7) 5 D = 25 Mc2. Здесь Ч феноменологическая без(y,z )-y l размерная константа связи фононов с примесным ато мом.

где параметры есть G = 2 2.44 10-5, = /(T ), D Наконец, последнее из времен определяется выражеа функции имеют вид (y, z ) = y2 + yz 4 + 42, нием S(x, y) =37x2(x + y)2 + 3[x2 +(x + y)2 - (y, z )]2, g1() = y2N(y) dy, N(y) =.

1 cey - = 5.9 10-4 2 l ltt ac6g1() Для всех остальных средних времен релаксации в s случае кристаллического диэлектрика с кубической сим 3(2 - 1)метрией имеем следующие результаты. Для обратного y2N(y) dy времени релаксации продольного фонона при его взаиa4cl (1 + 23)модействии с одним продольным и одним поперечным виртуальными фононами получаем Bx x 2(x, y) 1 + N + N y - dx, (11) 1 c = 3.9 10-4 2 l Bllt ac6g1() s - где пределы интегрирования по x есть B1 = y, 2(2 - 1) N(y) dy 2 2 y +a4cl (1 + 23)2 yB2 = y, а функция 2 = x - y -.

2 2 Среднее время релаксации 3 можно оценить по y формуле (x - y)21(x, y) N (x - y) - N(x) dx, (8) /T D y 1 2 = y4N(y) 1 + N(y) dy, (12) +3 Lg llty где безразмерные параметры есть =, -1 cl cs = cl/ct > 1, =, =, cs = cl, D D a 1+a /T D а функция 1(x, y) =y4[x2 + y2 - (x - y)22] (x + y)2 где нормировочная функция g = y4N(y) 1+N(y) dy.

- 2(x - y)2 + 6(2 - 1)y2(x - y)2 x2 + y2 - 2(x - y)В раскрытом виде получится + 36(x - y)2 (x + y)2 - 2(x - y)2. Время релаксации с участием оптического фонона будет определяться /T D 1 равенством = y4N(y) 1 + N(y) dy 3 Lg 3 2/3 T 1 c2 = 0.04 2 l 1 + 23 loo acsg1() a4cl D 3 c2 2(2 - 1) T 0.12 2 l acs a4cl (1 + 23)2 D 2 D exp - 1 - exp(-y) N(y)y2 dy T (x - 1)21(x) N y(x - 1) - N(xy) dx. (13) x exp(-x)3(x, y) dx, (9) Необходимо заметить, что все эти выражения для xH (y) времен релаксации были необходимы для численного b расчета, результаты которого приведены на рис. 1.

где нижний предел интегрирования xH(y) = y, 4 b 3 T параметр b = , функция 3(x, t) =x2 Поэтому заинтересовавшийся читатель сам сможет про4(1+23)2/3 D верить правильность соотношений между временами 20 5 - xy - bx(y)2 + (by)2 y +. путем численного интегрирования.

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам