Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | 3 | ИЗаФОНДОВаРОССИЙСКОЙаГОСУДАРСТВЕННОЙаБИБЛИОТЕКИ Карелина,аИринааЕвгеньевна Формированиеамировоззренияаучащихсяапри изученииагеометрииавастаршихаклассах естественнонаучногоапрофиляаобучения Москва ...
-- [ Страница 2 ] --Этап можно считать завершенным, если ученики но требованию учителя и с его участием распознают случаи целесообразности и нецелесообразности применения известных им математических фактов к решению практических задач и понимают, что задача для субъекта Ч важнейшее условие возникновения математических конструкций, а математизируемый объект Ч их источник. Этап третий Ч исполнителъско-реализующий. Его задачаЧ дальнейшее продвижение в формировании намеченных на первом этане мировоззренческих качеств Ч умений найти источники и условия возникновения математических объектов и раснознавать их, самостоятельно применяя описанную схему в рамках более широкого круга задач. Новая ступепь на этом этапе Ч понимание учащимися внутриматематических конструкций, а также необходимости и возможности их совершенствовать. Такое понимание может формироваться как при повторении учебного материала, так и при введении новых нонятий. Его основное назначение Ч сформировать у учашихся следующие представления. Математические конструкции Ч идеальные объектъ1, появляющиеся ли как результат нроцесса моделирования каких-либо сторон объективной реальности (результат математического моделирования рещения производственных и других практических задач), или как результат развития математической мысли при решении внутриматематических задач. Процесс моделирования происходит в три этапа: формализация, внутримодельное решение, интерпретация. Нужно сформировать и соответствующие умения моделировать простейщие ситуации с помощью имеющихся у школьников математических знаний и исследовать граничные случаи. Основная функция этого этана заключается в реализации намеченного нлана в познавательно-преобразуюшей учебной деятельности и в получении какого-то конечного результата, хотя, быть может, и отличаюшегося от задуманного. Характерными особенностями этапа являются исполнение задуманного и преобразование нредметов деятельности (математические формулы, гео метрические фигуры, известные в математике способы деятельности и методы, задачи, идеи, художественные образы, фрагменты учебного материала, фрагменты музыкальных или ноэтических нроизведений и т.п.) Этап необходим для формирования у школьников представлений о некоторых закономерностях в возникновении и развитии математических конструкций. Представления о некоторых из таких закономерностей начали формироваться уже на первых этапах: математические объекты возникают в связи с ^ решением некоторой задачи;
они являются отражением в сознании познающего человека отношений и свойств реальных или мылимых объектов;
при конструировании их используются методы познания: анализ, синтез, аналогия, способ лобращения известных объектов и др. Среди других закономерностей, представление о которых следует формировать на данном этапе, назовем следующие: а)математические объекты не существуют и не возникают изолированно друг от друга, но, как правило, в рамках одной или нескольких сходных теорий;
б)применяются для решения не единичных, а целых групп или классов задач;
в)как и любые другие инструменты, они могут и должны совершенствоваться, видоизменяться, уточняться. С методической точки, зрения здесь под руководством учителя учащимися осуществляется познавательная деятельность. Использование личностно ориентированных технологий обучения и воспитания позволяет формировать не только предметные знания, умения, навыки, но и такие мировоззренчески значимые параметры личности щкольников, как положительпый настрой на учение, способы умственной деятельности, волевые акты, самоопределение, ответственность и рефлексия, компетентность и др. Главная функция учителя на этом этапеЧ организовать выполнение учащимися частных, но важных действий в их коллективной, групповой или индивидуальной деятельности. А именно: решение нодзадач (частных задач намеченного на нервом этане общего нлана учебной деятельности;
выдвижение и нроверка гинотез, конструирование математических объектов;
мысленный экснеримент, фиксирование основных действий и их результатов;
преобразование исходного материала в соответствии с образом конечного результата. Главный результат этого этана можно рассматривать как получение личного нроизведения культуры вместе с его первичной нроверкои на обоснованность, нравдонодобность или своеобразную математическую осуществимость.
Таблица Иснолнительско-реализующий этан: решение учебных ситуаций, разрешение ситуации Деятельности Действия Познавательно-преобразуюш,ая деятельность: решение нодзадач, проверка подгипотез, конструирование математических объектов;
мысленный эксперимент, фиксирование основных действий и их результатов;
нреобразование исходного материала в соответствии с образом конечного результата;
получение личного произведения культуры. Признаки завершения этапа Решение задачи доведено до нолучения математического конструкта (выражения, фигуры, доказательства, алгоритма и т.н.), получен нродукт деятельности, нроверен на правдоподобность и применимость, ситуация разрешена на некотором удовлетворительном уровне. Компоненты мировоззрения Оныт математической нознавательно-нреобразуюш;
ей деятельности. Опыт математического творчества: создание собственных математических конструкций и произведений математической культуры. Этот этан можно считать завершенным, если учашиеся достаточно свободно (но требованию учителя, но самостоятельно в знакомых ситуациях) могут выделить источники возникновения известных им математических конструкций и объяснить их вне- или внутриматематическую нрироду, формулируя нознавательные задачи, которые послужили условием для возникновения таких конструкций. Появление у школьников вопросов: Того ли мы достигли? То ли мы по лучили? означает нереход на последний завершающий этан целостного акта деятельности. Этап четвертый Ч коррекционно-транслирующий. Его основное назначение Ч осуществление своеобразного ракоходного движения к началу деятельности. Происходит не только сравнение полученного результата с его первоначальным образом, но н, что не менее важно, отслеживание, и но возможности, фиксирование того, как зародилась цель деятельности, с использованием каких известных или вновь придуманных средств и способов она достигалась, что способствовало или, папротив, мешало её достижению. Важнейшими задачами коррекционно-транслирующего этапа можпо назвать: коррекция результата, условий;
поиск новых нутей решения ранее поставлепных задач;
постановка новой цели;
оформление новых возможных результатов;
обозначение следующей деятельности. На этом этапе учитель организует рефлексивную (диагностическую) и коррекционную деятельность учащихся.
Таблица Коррекционно-транслирующий этап: контроль, коррекция, рефлексия, трансляция Деятельности Действия Сравнение продукта и предполагаемого результата;
осознание и фиксирование своих действий и использованных средств;
коллективное обсуждение;
формально-логический анализ и уточнение модели, коррекция способов деятельности;
оценка достоверности и эстетичности;
обоснование в определенной логике и теории;
интернретации результата, перевод в другую ситуацию. Признаки завершения этапа Скорректированный и обоснованный результат: собственное произведение математической культуры (задача, построенная фигура, доказательство и т.п.);
фрагмент математической теории;
алгоритм деятельности;
математически разрешенная практическая проблема и др. Готовность к переходу в новую ситуацию. Компоненты мировоззрения Опыт рефлексии, ответственного отношения к деятельности и полученным результатам, их эстетической оценки, логической, конструктивной проверки. Этап можпо считать завершепным, если получен скорректированный и обоснованный результат. А именно: собственное произведение математической культуры (задача, построенная фигура, доказательство и т.п.);
фрагмент математической теории;
алгоритм деятельности;
математически разрешенная практическая проблема и др. При этом важно, чтобы у школьников была сформирована готовность к переходу в новую ситуацию. Смену этапов пельзя понимать как строгое последовательное чередова^ ние от подготовительного этапа к третьему. Важно другое: все они должны иметь место. Реализация этапов целостного акта учебной мировоззренчески направленной математической деятельности при изучении стереометрии в естественнонаучных классах позволяет реализовать познавательную математическую деятельность учащихся, формируя устойчивое положительное отношение к познанию и применению математики, способность к математическому познанию мира, индивидуальные системы ценностей и структурное видение мира. Таким образом, организовывая ситуации при обучении предмету, включающие учеников в активную деятельность, создается возможность формирования у школьников полезных, мировоззренчески значимых, качеств. При этом необходимо использовать такой учебпый материал, который естественным образом отвечает поставленным целям. Для старшеклассников естественнонаучных классов такую направленность, по нашему мнению, будут иметь темы курса стереометрии. Иснользование автором представленных этапов при обучении геометрии в старших классах естественнонаучного направления позволило расV.' смотреть особенности изучения курса стереометрии и на их основе разработать методические материалы, представленные во второй главе исследования.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ п о ПЕРВОЙ ГЛАВЕ 1. Выделены следующие основные подходы к определению понятия мировоззрения: а) мировоззрение Ч это неотъемлемое качество любого человека, зарождающееся у него не без влияния окружающей среды, но, нрежде всего в результате собственной активности при взаимодействии со средой и нри выстраивании в сознании, поступках и деятельности индивидуального бытия;
б) в этих процессах в первую очередь формируются личностные, мировоззренческие механизмы индивидуальной адаптации человека к окружающей действительности и своего воздействия на нее, механизмы выходах человека из различных ситуаций и их оценки, в результате чего создаются образы Я и мира;
в) формирование мировоззрения, рассматриваемое как организуемый обществом процесс, целесообразно понимать, нрежде всего, как целенаправленное оказание помощи растущему человеку в становлении и развитии (лвыращивании) индивидуальной системы его личностных механизмов разрешения различных ситуаций Ч его личного социокультурного мировоззрения;
г) немаловажную роль в формировании личностных механизмов мировоззрения человека играют так называемые частичные мировоззрения;
к наиболее влиятельным из них относится математическое мировоззрение, обладающее специфическими возможностями в выстраивании человеком своего миропонимания, и на этой основе, своего бытия. 2. Определено нонятие мировоззрения, как подсистемы личности субъекта, главенствующая функция которой состоит в обобщенной целостной ориентировке и в выборе способа дальнейшего существования индивида в изменяющейся среде. Благодаря этому, мировоззрение определяет личностное отнощение человека к миру и к самому себе в этом мире, направляет дальнейшее существование носителя мировоззрения. Мировоззрение представляется как целостный объект с учетом процесса его формирования. 3. Показана взаимосвязь между мировоззренчески направленным форми рованием личности учащегося и обучением математике. Мировоззрение ХL > личности возникает и развивается в процессе и в резульДеятельность тате разрещения им жизненно важных для него ситуаций, представляющих по сути своей столкновение внешних и внутренних противоречий. человека ситуацииЧ но разрешению таких ситуаций есть основная движущая сила, а сами реальный источник становления и дальнейшего развития м и р о воззрения субъекта. Однако мировоззренческие качества не могут ф о р м и р о ваться сами но себе, без иснользования конкретного материала, с к о т о р ы м ученик бы имел дело, и в процессе нреобразования которого как раз б ы и ф о р м и ровались такие качества. Под реализацией мировоззренческой направленности обучения предмету и о н и м а е м таким образом организованный нроцесс обучения, ч т о б ы о н б ы л нанравлен на выявление и усвоение учащимися наиболее полной системы м и р о воззренческих ориентиров, содержащихся в соответствующей части человеческой культуры и доступных учащимся, а также предоставляет для ф о р м и р у ю щегося мировоззрения учащихся все имеющиеся возможности самого нроцесса и личностного общения. Особое внимание нри этом и уделяется и с с л е д о в а н и ю >и р а с к р ы т и ю роли обучения математике в формировании и развитии различных, мировоззренчески значимых, сторон личности учащихся: их м ы щ л е н и я, логической культуры, культуры математического языка и речи, научного м и р о воззрения, отдельных групп общеучебных умений и др. Изучение цикла, математики, как учебного предмета учебной естественнонаучного учащихся, характеризуется математической деятельностью осуществляемой на разных логических уровнях. С н е ц и ф и к а такой деятельности связана с усвоением математических понятий, аксиом, доказательств теорем, символического языка, измерений, вычислений, построений графиков, вычерчиваний фигур и др., а также умениями логически выводить одни утверждения из других, обосновывать выводы, логически упорядочивая у с в о е н н ы е математические знания.
Выстраивая мировоззренчески нанравленное обучение математике, способствующее формированию мировоззрения учащихся на уроках математики, образование должно быть соответствующим образом нанравлено. Тогда суть формирования мировоззрения заключается в организации целенаправленного процесса оказания помощи ученику при обучении математике, состоящего в формировании индивидуального набора мировоззренческих ориентиров и качеств. 4. Выявлены особенности нреподавания математики в классах естественнонаучного профиля, основанные на индивидуальных психологических особенностях учащихся, связанных с функциональными особенностями левого полушария. Определены некоторые особенности изучения математики в классах естественнонаучного направления, направляющие методику обучения на: а) формирование умения моделирования реальных процессов;
б) развитие графических связей;
в) использование снециальной тинологии задач при обязательпом проведепии уроков по рещению прикладных задач;
г) широкое иснользование приближенных методов и усиление алгоритмического аспекта обучения;
д) смещение акцентов нреподавания на лекционно-семинарскую систему, увели-^ чение числа практических и лабораторных работ;
е) проведение межпредметных конференций и семинаров. При этом ведущей особенностью преподавания математики в классах естественнонаучного профиля является усиление научной и прикладной направленности обучения математике, позволяющей сформировать поэлементный стиль мышления, развивающий образный компонент, графические умения, навыки моделирования, интенсивное использование вычислительной техники и различных компьютерных профаммных сред. в нашем исследовании мы показываем, что, формируя мировоззрение старшеклассников средствами обучения математики, нужно: а) учить видеть за математическими конструкциями реальные связи и отношения и понимать И сходство и различие;
б) потшать, что такие конструкции создаются челоХ веком и, носят отиечаток его ума и способностей, его отношения к ним;
в) i^. учить математической культуре, сочетающей веру в значительность, в своеобразную силу и иользу математических конструкций и способность воснринимать их красоту, гармонию, или наоборот, замечать отступления от канонов красоты, воснитывая уважительное и доверительное отношение к математике, стремление к логически стройному, непротиворечивому обоснованию выбранных конструкций, веру в силу математической интуиции и пренебрежение к бездоказательным рассуждениям;
г) учить стремлению добраться до истины и уважению к ней, переосмысляя фрагменты математической теории, не соответствующие нрежним собственным нредставлениям или традициям. 5. В проведепном исследовании представлены этапы целостного акта учебной мировоззренчески направленной математической деятельности, реализуемые при изучении стереометрии в естественнонаучных классах. Они позволяют организовать познавательную математическую деятельность учащихся, формируя устойчивое положительное отношение к познанию и применению математики, способность к математическому позпанию мира, индивидуальные V., системы ценностей и структурное видение мира. Среди них: Подготовительный этап: вхождение в ситуацию учебной математической деятельности (понимание и припятие). Ч При этом приобретается опыт ориентировки, самоопределения по отношению к математике: потребности, мотивы, интерес, оныт математической интуиции и понимания математических текстов. Поисково-мобилизующий этап: создание условий и средств разрешения ситуации. Ч При этом приобретается опыт реализации мотивов, волевых актов, самоорганизации, оныт математической языковой и коммуникативно-4.} организационной деятельности, усвоения математического содержания, способов учебной деятельности. Исполнительско-реализующий этап: решение учебных ситуаций, разре щение ситуации.Ч При этом нриобретается оныт математической иознавательно-преобразующей деятельности, оныт математического творчества: созХL. дание собственных математических конструкций и нроизведений математической культуры. Коррекционно-транслирующий этап: контроль, коррекция, рефлексия, трансляция. Ч При этом нриобретается оныт рефлексии, ответственного отношения к деятельности и нолученным результатам, их эстетической оценки, логической, конструктивной проверки. Проводя ученика через различные этаны соответствующим образом организованной учебной деятельности, мы развиваем его мировоззрение. Такие этапы целостного акта учебной мировоззренчески нанравленной математической деятельности отличаются друг от друга целевой установкойЧ главной воспитательной задачей и охватывают, как правило, несколько занятий, которые могут быть носвящены изучению различного учебного материала. Этаны чередуются в зависимости от смены целевой установки, циклично повторяются, осуществляя развитие и неревод учащихся на более высокий уровень сформированности у них мировоззренческих качеств.
^ ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ КЛАССОВ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ КУРСА ГЕОМЕТРИИ з 1. Особенности методики обучения стереометрии, направленной на поэтанное формирование мировоззрения учащихся ьслассов естественнонаучного нрофиля Представленные выше этапы формирования мировоззрения старшеклассников позволили определить особенности нренодавания геометрии в Х' классах естественнонаучного нанравления в системе профильной дифференциации обучения. Для этого были выделены следующие принцины: 1. Необходимость создания в обучении математике учебных мировоззренческих ситуаций. 2. Учет общего состояния и действующей на данный момент основы личности учащихся, что особенно актуально в переходные для развития учащихся периоды.
^ 3. Направленность на успех в разрешении учебных ситуаций. 4. Учет личной математической культуры обучающегося, и опора на него. На этой основе были определены следующие факторы, влияющие на уснешное обучение и достижение запланированных учителем результатов: а)открытые для учащихся цели образования в доступной и нривлекательной для них форме и понимание того, что они могут по-своему понимать конкретные цели, выбирать пути их достижепия и получать свои результаты;
б)посильное включение школьников в коммуникативные, организационные и другие игры на основе математических способов деятельности и ситуаций математического содержания;
в)организация учителем рефлектирующей деятельности;
г)накопленный оныт овладения учащимися математическим языком.
опорными знаниями и математическими снособами деятельности. Для повышения эффективности мировоззренческой направленности роли Х^. математических знаний нужно толковать, объяснять возникновение, развитие и установление математических теорий, то есть понятий, утверждений, правил, методов и отношений между ними. Важно систематически раскрывать пути влияния практики на развитие математики и внутренних закономерностей её развития и, наоборот, ноказывать, как математика помогает практике в решении ее нроблем. На протяжении веков геометрия служила источником развития не только математики, но и других наук. Именно в ней возникли первые теоремы и доказательства. Законы математического мышления формировались с помош;
ью геометрии. Многие геометрические задачи содействовали появлению новых научных направлений, и, наоборот, решение многих научных проблем было получено с использованием геометрических методов. Так, решение задач об измерении длины окружности, плошади круга, объемов шара, пирамиды привело древнегреческих ученых к попятию предела и заложило основы интегрального исчисления. Геометрические методы изо,^ бражения пространственных фигур стали фундаментом изобразительного искусства. Задача о нахождении орбит движения космических тел была решена с номощью конических сечений. Теорему Эйлера о числе вершин, ребер и граней выпуклого многогранника историки называют первой теоремой топологии. Одно из главных понятий современной алгебры Ч понятие группы Ч возникло на базе геометрических представлений о симметрии и движении. Групиы симметрии играют важную роль не только в математике, но и в физике, химии, биологии, кристаллофафии и других науках. Разработка методов решения задач оптимального унравления стала возможной благодаря развитию геометрических методов, в том числе теории многогранников. В связи с широким распространением компьютерной техники возникло и бурно развивается новое направление геометрии Ч компьютерная геометрия.
являющаяся разделом математики, в котором для решения геометрических задач иснользуются комньютерные методы. Этими методами решаются многие нрикладные задачи, в частности задачи онтимального унравления. Исходя из всего неречисленного, очевидно, что роль геометрии в образовании учащихся огромна. Известен вклад, который геометрия вносит в развитие логического мышления и пространственного воображения учеников. Отечественной школой накоплен богатый опыт преподавания геометрии. Создана уникальная учебная литература по данному предмету таких выдающихся авторов, как Н.М. Бескин, С.А. Богомолов, Н. А. Глаголев, СЕ. Гурьев, А.Ю. Давидов, А.П. Киселев, и многих других ([12], [13], [32], [43], [46], [71] и др.). Сохранение традиций отечественной школы чрезвычайно важно не только для геометрии, но и для всего естественнонаучного образования школьников. Современное изложение курса геометрии должно предусматривать дифференциацию обучения, достаточное количество материала для воспитания и развития учащихся, исторические сведения, материал современного, научнопопулярного и прикладпого характера (см. [30], [96], [105], [130],[158] и др.). Для формирования мировоззрения учащихся при изучении геометрии в старших классах естественнонаучного нрофиля обучения данные вопросы наиболее актуальны. По образному высказыванию Б.В. Гнеденко, листория математики важна не только нотому, что она необходима для решения ряда методологических и педагогических проблем. Она важна и сама но себе как памятник человеческому гению, позволившему человечеству пройти великий путь от полного незнания и нолного подчинения силам природы до великих замыслов и свершений в познании законов, управляющих внутриатомными процессами и процессами космического масштаба. История науки является тем факелом, который освещает новым поколепиям путь дальнейшего развития и передает им священный огонь Прометея, толкающий их на новые открытия, на вечный поиск, ведущий к познанию окружающего нас мира, включая нас самих ([37]). В соответствии со стандартом среднего (полного) общего образования по математике, в результате изучения математики на нрофильном уровне ученик должен Ч знать и нонимать: а) значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и нрактике;
широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
б) значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;
в) возможности геометрии для описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;
г) универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;
д) различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;
е) роль аксиоматики в математике;
возможность построения математических теорий на аксиоматической основе;
значение аксиоматики для других областей знания и для практики;
ж) вероятпостных характер различных процессов и закономерностей окружающего мира;
Ч уметь: а) соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями;
различать и анализировать взаимное расположение фигур;
б) изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;
в) решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отнощений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;
г) проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;
д) вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;
е) нрименять координатновекторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов;
ж) строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения;
Ч использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: а) исследования (моделирования) не С О Н Х практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фиЛЖЫ гур;
б) вычисления длин, нлощадей и объемов реальных объектов нри решении практических задач, исполъзуя при необходимости справочники и вычислительные устройства([149]). Для достижения поставленных целей нужно последовательно осуществлять на занятиях математики следующее: а)создавать на уроках условия для активной умственной деятельности, подчиненной усвоению конкретных знаний;
без выполнения каждым учащимся умственных действий не происходит усвоения новых знаний;
б)формировать у школьников правильное понимание многоступенчатой абстрактности математических попятий и положений, их множественного и переменного характера;
в)раскрывать содержание математического знания в их взаимных связях и связях с реальной действительностью, практикой общественной жизни, а также с другими науками, основы которых отражены в щкольных учебных предметах;
показывая, что система математических знаний является результатом опыта, культуры, целенаправленной деятельности людей и внутренних потребностей её упорядочивания;
г)систематически использовать данные из истории математики, раскрывающие возникновение, развитие математических терминов, понятий под влиянием развития общества, экономики, техники, естественных наук и развития человеческого мышления. Учащимся естественнонаучных классов предлагаются исторические сведения о жизни и деятельности Н. И. Лобачевского, центральном проектировании Ч перспективе, Л. Эйлере, правильных многогранниках Ч телах Платона, полуправильных многогранникахЧ телах Архимеда, конических сечениях, объеме нирамиды, Р. Декарте и др. Опыт работы в школе показывает, что учашиеся классов естественнонаучного нрофиля обучения живо интересуются современными и прикладпыми аспектами математики. Этому, в частности, во многом способствуют развитие средств массовой информации, появление больщого количества научнононулярной литературы и научно-популярных телевизионных и радиопередач, использование в работе компьютеров. Желание узнать о новых идеях, направлениях развития математики вполне естественно для молодого человека. Оно требуется выпускнику щколы для ориентации в современном мире, правильного нредставления о процессах, происходящих в природе и обществе, осознания собственной роли в движении общества вперед. С учетом изложенного выще в последующих нараграфах мы будем на примере конкретных разделов курса стереометрии для классов естественнонаучного профиля показывать реализацию этапов формирования мировоззрения учащихся. На первом этапе (подготовительном) вводятся основные геометрические понятия раздела и учим понимать и применять их в своей математической деятельности. На втором этапе (поисково-мобилизующем) под руководством учителя изучаются основонолагающие темы раздела, вырабатывается понимание методики действия с учебным материалом. На третьем этане (исполнительско-реализующем) осуществляется целенаправленная деятельность учащихся но отработке предложенного учебного материала, с учетом изменения степени самостоятельности этой работы. На четвертом этапе (коррекционно-транслирующем) проверяется степень усвоенности полученных знаний и сформированности умений и навыков но изученному разделу с получением конкретного скорректированного и обоснованного результата.
з 2. Начала стереометрии с учетом необходимости формирования мировоззрения учащихся изложение начал стереометрии должно соответствовать вышеназванным этапам целостпого акта мировоззренчески направленного обучения математике. На нримере первой темы Начала стереометрии подробно покажем протекание таким образом организованного учебного процесса.
2.1. Так как главная воспитательная цель нодготовительного этапа Ч формирование простейших механизмов мировоззренческого осмысления математических объектов учащимися, то вхождение в ситуацию учебной деятельности начинается со знакомства школьников с историей возникновения и развития стереометрии, её основными понятиями. Здесь нужно рассказать ученикам об истории развития стереометрии, о том, зачем её нужно изучать. Стереометрия нужна каждому человеку, поскольку именно она дает необходимые пространственные нредставления, знакомит с разнообразием пространственных форм, законами восприятия и изображения пространственных фигур, что нозволяет человеку правильно ориентироваться в окружающем мире. С другой стороны, геометрия дает метод научного познания, способствует развитию мышления, формирует навыки дедуктивных рассуждений. Помимо этого, изучение стереометрии вырабатывает необходимые практические навыки в изображении, моделировании и конструировании пространственных фигур, в измерении основных геометрических величин (длин, величин углов, плошадей, объемов и др.). Беседы по данной теме формируют у школьников, ориентированных на естественную составляюшую образования, потребность понимания, мотивов изучения, а, значит, ориентацию в ситуации, включение в деятельность. Кроме того, стереометрия сама по себе обладает интересным содержанием, так как имеет богатую историю, яркие приложения, изучает красивые объекты. Демонстрация учащимся красивых моделей нространственных фигур наглядно подтвердит это. Данная подготовка позволит сформулировать предварительную цель изучения начал стереометрии, вспомнить осповные понятия геометрии, научиться изображать простейшие геометрические ситуации, соответствующие чертежи, вьшолнять краткие заниси с помощью математической символики. Основными нонятиями стереометрии являются точка, прямая и плоскость, которые являются идеализациями объектов реального пространства.
Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т.е. таких, размерами которых можно пренебречь. Древнегреческий ученый Евклид, впервые давший научное изложение геометрии в своей книге Пачала, определял точку, как то, что не имеет частей. Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света. Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п. Заметим, что нужно обратить особое внимание учащихся на запись и изображение основных понятий (см. Таблица 6).
Таблица б Запись А;
В;
С... а;
Ь;
с...
Чтение Точка А;
точка В;
точка С Прямая а;
прямая Ь;
прямая с Плоскость а;
плоскость (3;
плоскость Y Точка А принадлежит прямой Чертеж a;
P;
Y...
AGU в а.
а Точка В не принадлежит прямой а А&а Точка А припадлежит плоскости а Точка В не принадлежит плоскости а / В 'Х / acza Прямая а лежит в плоскости а / \А \ а ^
аксиоматической теорией. Этап заверщен, так как после предложенной деятельности учащиеся естественнонаучных классов достаточно свободно входят в контакт с учителем по новоду нредъявляемых им учебных задач, а также на знакомом материале проявляют способность самостоятельно действовать в заданном направлении. 2.2 Следующий этан нанравлен на создание условий и средств разрешения ситуации. Введение аксиом на данном этапе наиболее целесообразно, так как здесь необходимо сформировать у школьников понимание того, что для возникновения строгой теории необходимы объекты (основные нонятия стереометрии), условия (аксиоматический подход), а также умение определять возможность или невозможность применения конкретной аксиомы для построения некоторого утверждения.
Актуализировав изученные на предыдущем этапе знания (например, выяснив, как могут располагаться друг относительно друга точки, прямые и плоскости), можно перейти к введению аксиом.
Аксиома I (аксиомы прямой) 1Точка вне прямой | |Точка на прямой] |Вернуть| й ^ ^ |Провести прямую] 1 |Убрать прямук^ а) Ij. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
б) 12- Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Рис. Можно напомнить, что аксиомы геометрии, относящиеся к прямой и плоскости, изучались ранее в курсе планиметрии (Рис. 1). Заметим, что здесь и далее некоторые рисунки будут содержать управляющие элементы, позволяющие интерактивно реагировать на различные геометрические ситуации. Предполагается, что данные изображения могут демонстрироваться учащимся в ходе занятий учителем или создавать возможность работы в виртуальной геометрической лаборатории. Подробнее эти вопросы будут представлены в следующих параграфах (Глава 1. з 6). Аксиома в переводе с греческого означает достойная признания. За аксиомы берутся факты, которые принимаются без доказательства. Остальные факты доказываются с помощью аксиом и носят название теорем, следствий, свойств, признаков и т.д. В стереометрии изучаются свойства не только плоских, но и пространственных фигур. Помимо аксиом планиметрии, справедливых для прямых и плоскостей, формулируем аксиомы стереометрии. Введение каждой аксиомы удобно провести в следующей последовательности (Рис. 2):
Аксиома Ai С, А]. Через любые три точки, не лежащие иа одной прямой проходит плоскость, и притом только одна. Аксиома Ач Щоказать пересечение! Аз. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этой прямой.
а A Xl. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Рис. 1. Разъяснение учителем содержания аксиомы и иллюстрация этого свойства на модели. 2. Чтение формулировки аксиомы учащимися (по учебнику, специально подготовленному плакату, через кодоскоп, компьютер и т.п.). 3. Выполнение схематического чертежа. 4. Запись содержания аксиомы с помощью математической символики. Данный этап очень важен, так как характеризуется целенаправленной работой учащегося. Осуществление этапа требует от учителя использования разнообразных методических приемов и средств. С учетом особенностей формирования личности старщеклассника становится необходимым осмысление полученных знаний. Целесообразно, например, предложить ученикам следующую модель, изображенную на рис. 3. После соответствующих рассуждений делается вывод о том, что плоскость Д может быть изображена по-другому, например, так, как показано на рис. 4, откуда становится ясным, что плоскости аи fi пересекаются по прямой, проходящей через точку С.
Рис. Рис. На данном этапе происходит формирование и актуализация соответствующих установок па изучение аксиом стереометрии, при этом определена 1" * цель: разобраться, каким образом выстроеп курс стереометрии, почему так важно глубоко усвоить механизм действия аксиом. Моделирование умственных образов, выбор нужных знаний, как средств деятельности, можно проработать в ходе таких заданий. 1. Верно ли, что любые две точки всегда принадлежат одной прямой? 2. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку? Две общие точки? 3. Сколько общих точек могут иметь две пересекающиеся плоскости? 4. Сделайте схематический чертеж по следующим условиям: а) точки Е и F принадлежат прямой d;
б) точки М, N, L принадлежат плоскостям а и Д Что можно сказать об этих плоскостях? в) Из двух пересекающихся прямых тип прямая т лежит в плоскости у, прямая п пересекает плоскость у в точке К. Что можно сказать о расположепии точки Ю Для самостоятельной работы ученикам могут быть предложепы следующие задапия. -^ 1. Изобразите точки М, N, К. Как они могут быть расположепы в пространстве? 2. Дана прямая и пе принадлежащая ей точка. Как расположены прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, относительпо дапной прямой? Ответ обоснуйте. 3. Какое наибольщее число прямых можпо провести через различные пары из четырех точек в пространстве? 4. Какое наибольщее число прямых можно провести через различные пары из п точек в пространстве? Логическим продолжением реализации идей иоисково-мобилизующего этапа будет показ применения аксиом стереометрии в доказательствах первых теорем, которые называются следствиями из аксиом стереометрии. Вспомина ние известных и отбор необходимых знаний, языковых и знаковых средств нри работе с учебным материалом позволят выбрать адекватный язык, построить модели, и, впоследствии, создать образ конечного продукта. Изучение нового материала можно предварить вопросами для учащихся: 1. Сколько плоскостей можно провести через одну прямую? Ответ. Бескопечно много (Рис. 5).
Y т а \ Рис. 2. Точки А и В принадлежат плоскости а. Как расположена прямая АВ относительно плоскости а? 3. Возьмем прямую и не принадлежащую ей точку. Можно ли через них провести плоскость? Почему? Как вы думаете, сколько таких плоскостей можно провести? 4. Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли через них провести плоскость? Будет ли она единственной? После ответов на эти вопросы мы говорим, что эти свойства являются следствиями из аксиом стереометрии, и фиксируем следующее (Рис. 6).
Следствие С ^ ^ ЕПроверка| ||Вернуть| С]. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Следствие Cj^ |Провестн/убрать плоскость! ' Q-i. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Рис. Доказательство следствий Ч первых теорем стереометрии Ч представ ляем ученикам с подробной записью. Закрепление нового материала можно организовать с помощью следующих заданий. 1. Прямая и плоскость параллелограмма ABCD имеют две общие точки К и L. Как расположена точка М прямой KL отпосительно плоскости параллелограмма ABCD (Рис. 7)? 2. Даны прямая и точка, не припадлежащая этой прямой. Лежат ли прямые, проходящие через эту точку и пересекающие данную прямую, в одной нлоскости? Ответ обоснуйте. 3. Решите задачу. Дано: anfi =с, , Доказать: с&с. 4. Верно ли утверждение, что любая прямая, пересекающая каждую из двух пересекающихся прямых, лежит в плоскости этих прямых? bczfi, аГ\Ь = С.
м Рис. Выполнение различпых устных упражпепий, решение задач по данной теме, подготовка сообщений (см. [58], [128])Ч все это будет способствовать заверщению поисково-мобилизующего этапа формирования мировоззрения учеников. Учащиеся в ходе этой деятельности демонстрируют опыт математической языковой и коммуникативно-организационной деятельности. Ими успещно усвоено математическое содержание аксиоматического подхода к изучению стереометрии, а также снособы рассуждений при решении простейщих (но и сложных в психологическом плапе) задач и теорем. Этап можно считать заверщенным, так как ученики по требованию учителя и с его участием распознают случаи целесообразности и нецелесообразности применения аксиом стереометрии и их следствий, могут рещить практиче ские задачи и понимают, что данный материал нужен для возникновения и обработки таких математических конструкций как пространственные тела. > 2.3. Переходя к исполнительско-реализующему этапу, происходит применений полученных знаний в учебных ситуациях к пространственным объектам. Взаимосвязанное изучение пространственных фигур с началами стереометрии позволяет хорошо проиллюстрировать изучаемые свойства, продемонстрировать практическое применение изучаемого материала, изучить свойства самих многогранников. Для учашихся естественнонаучных классов именно эти аспекты содержапия наиболее интересны, при работе с ними происходит мотивированноактивное участие в учебной деятельности. Полученный таким образом опыт математической познавательной, преобразующей деятельности будет бесспорно снособствовать формированию математически ориентированного мировоззрения учащихся. Заметим, что на этом этапе происходит первичное знакомство учащихся с данным материалом, что соответствует логике реализации предложенных этапов при работе с началами стереометрии. Однако в следующем параграфе на-^ шей работы мы покажем как тему Многогранники можно раскрыть, проведя её через все этапы формирования мировоззрения учеников. Среди пространственных фигур выделяются многогранники Ч тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а их стороны и вершины пазываются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями многофанпика. Примерами многогранников являются следующие фигуры: куб, параллелепипед, призма, пирамида. Среди пространственных Ж) фигур, не являющихся многогранниками, отметим сферу и шар. Примерами пространственных фигур являются также цилиндр и конус. В дальнейшем рассматриваются и другие пространственные фигуры, в частности, правильные, нолунравильные и звездчатые многогранники. При изложении этого материала учащимся необходимо демонстрировать модели и рисунки представленных фигур. В качестве унражнения по закреплению рассмотренного материала можно предложить подсчитать для перечисленных многогранников количество их вершин, ребер и граней. Многогранники обозначаются перечислением их вершин. Например, куб или параллелепипед обозначаются ABCDA\B\C\D\ (или Л...DO, где ABCD и /4i5iCi)i_ противоположные грани. Аналогично треугольная нирамида с вершиной в точке S и основанием ЛВС обозначается SABC. Формы многих многогранников, которые изучаются в школе, придумал не сам человек, их создала природа в виде кристаллов. Кристаллы Ч природные многогранники. Многие свойства кристаллов, которые учащиеся изучали на уроках физики и химии, объясняются их геометрическим строением. Поэтому свойства многогранников используются в кристаллографии.
Таблица Пазвание Изображение Онисание Пирит Пирит чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба или даже усеченного октаэдра Изучение этой темы способствует дальнейшему продвижению в формировании таких мировоззренческих качеств, как умений найти источники и условия возникновения нространственных фигур, распознавать их, самостоятельно применяя описанные схемы. Очень важно здесь и то, что учащиеся начинают ориентироваться в том, как устроены пространственные тела, как их можно изменять, систематизировать. Основное назначение этапа Ч сформировать у учащихся представления о пространственных фигурах как идеальных объектах, появляющихся и как результат процесса моделирования каких-либо сторон объективной реальности, и как результат развития математической мысли при решении задач.
Работа с пространственными фигурами позволяет ярко и наглядно сформировать умение моделировать простейшие ситуации с помощью имеющихся у школьников математических знаний и исследовать граничные случаи. Данное умение можно сформировать, например, работая с геометрическим конструктором и развертками. Если поверхность многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть её на плоскость так, чтобы все многоугольники, входящие в эту поверхность, лежали в данной плоскости, то полученная фигура называется разверткой многогранника. Например, на рисупке (см. Рис. 8) изображены развертки куба и треугольной пирамиды.
Рис. Ясно, что, имея многогранник, всегда можно построить его развертку. Труднее выяснить вопрос, можно ли, задав на плоскости набор многоугольников, быть уверенным в том, что задана развертка многогранника. Для изготовления модели многогранника из плотной бумаги, картона или другого материала достаточно изготовить его развертку, а затем склеить соответствующие ребра (Приложение 6). Для удобства склейки развертку многогранника изготавливают с клапанами, по которым и производится склейка. При этом выделяются следующие этапы: начертить развертку многогранника с клапанами для склеивания;
вырезать развертку;
согнуть ее по линиям сгиба, предварительно проведя по ним аккуратно лезвием или ножницами;
склеить модель;
можно провести окантовку ребер или окрашивание граней, наклейку на грани многогранника тонкой цветной бумаги и т.п. Помимо изготовления моделей многогранников из разверток, существует другой, более быстрый, способ моделирования с помощью геометрического конструктора, который состоит из следующих компонентов: а) многоугольник о в Ч граней будущих многогранников, сделанных из плотного материала, у которого обрезаны уголки и сделаны отгибающиеся клапаны (рис. 9);
б) резиновых колечекЧ основной кренежной детали конструктора (их можно нарезать, например, из велосипедной камеры, чтобы было одинаковое натяжение).
Рис. Подбирая соответствующим образом многоугольники в качестве граней многогранника и скрепляя их резиновыми колечками, можно получать модели различных многогранников. Для того чтобы колечки лучше держались и не мешали друг другу, и обрезают углы многоугольников. При таком способе изготовлепия модели получаются не такие красивые и прочпые, как клееные, но их просто сделать, к тому же модель можно разбирать и использовать ее детали в других моделях. Грани хорошо иметь разных цветов. Удобно для каждого типа грани выбирать свою окраску. В связи с этим интересной представляется задача окраски граней многогранников таким образом, чтобы число цветов было минимальным и соседние грани разный цвет. Например, тетраэдр можно окрасить в четыре цвета, все его грани должны иметь разную окраску;
треугольную призму Ч тоже можно окрасить в четыре цвета, три цвета на боковые грани и один, четвертый, на основания;
параллелепипед окрашивается в три цвета, одним цветом красятся противоположные грани и т.д. Таким образом, решение задачи доведено до получения математического конструкта. В первую очередь, в виде моделей пространственных фигур получеп продукт деятельности, проверенный на правдоподобность и применимость. Организованная таким образом познавательная деятельность учащихся естественнонаучного профиля обучения позволяет формировать положительный настрой на учение, компетентность, самоопределение. Главный результат этапа можно рассматривать как получение личного произведения культуры, матема тически осуществленного. При этом школьники нриобрели опыт математической познавательно-преобразующей деятельности, опыт математического творчества. Здесь, как и на предыдущих этапах, вполне уместны математические диктанты, нозволяющие проверить понимание предложенного материала ([136], с.6-7). Если учащиеся достаточно свободно могут выделить то, каким образом получены пространственные фигуры, какие при этом аксиомы, свойства используются, то этап можно считать завершенным. 2.4 Переход к последнему этапу позволяет закончить изучение начал стереометрии. Его основное назначение Ч рефлексия и коррекция. В этот момент осуществляется мысленное воспроизводство знаний, полученных в ходе изучения данной темы. Обратно-ноступательное движение мысли учеников, анализирующих свою работу, нозволяет им попять, что они изучили, каким образом это происходило, что мешало, и что способствовало успешному решению поставленных задач. Для объективного контроля за качеством полученных знаний учащимся может быть предложен зачет по теме Аксиомы стереометрии и их свойства, а также контрольная работа ([135], с.41 и [136], с. 137). Здесь же щкольники, ориентированные на естественнонаучный стиль мышления, могут составить отчет о проделанной работе, нанример в виде доклада, презентации и т.п. Представление и защита таких проектов способствуют формированию нриемов доказательных и рациональных рассуждений, что в свою очередь является важным мировоззренческим качеством личности школьника. Па данном этапе учащимися нроисходит осознанное понимание того, как усвоены новые знания о предмете стереометрия и методы его изучения, а также практическая реализация этих знаний (например, в виде работы с геометрическим конструктором). В ходе коррекционно-транслирующего этапа деятельности учащимися приобретен опыт рефлексии, ответственного отнощения к деятельности и по лученным результатам, их эстетической оценки, логической проверки. Исходя из изложенного выше, очевидно, что нолучен скорректированный и обоснованный результат целостного акта учебной деятельности. В реально осушествляемом процессе обучения математике все эти этапы находятся в неразрывном единстве: они и проникают, непрерывно нродолжая друг друга (по используемым средствам, решаемым задачам), и, в то же время, последовательно сменяют друг друга но своей ведушей функции. Такая последовательность задает логику и технологию как отдельных актов, так и их взаимосвязанных цепочек в рамках единого нроцесса изучения стереометрии в классах естественнонаучной направленности. Аналогично можно составить учебные материалы по всем темам курса геометрии старших классов. Остановимся кратко на наиболее значимых из них, с точки зрения исследуемой проблемы. Подход к организации обучения в логике целостных актов мировоззренчески направленной учебной деятельности, характеризуемый четырьмя названными этапами, существенно повышает результативность обучения.
з 3. Многогранники представленные в предыдущем параграфе материалы, разработанные с учетом этапов формирования мировоззрения старшеклассников, показывают пути реализации дальнейших идей. Попимая необходимость создания в обучении математике учебных мировоззренческих ситуаций, ориентированных на развитие естественнонаучного стиля мышления, изучение темы Многогранники позволяет полно реализовать предложенные этапы, так как здесь предполагается последовательное, стуненчатое познание, носящее аналитический характер. Стандарт образования в данной теме предусматривает изучение следующих вопросов ([149], с. 75): Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная нирамида. Симметрии в кубе, в нараллеленипеде, в призме и пирамиде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Сечения многогранников. Построение сечений. Представле н и е о п р а в и л ь н ы х м н о г о г р а н н и к а х (тетраэдр, куб, октаэдр, д о д е к а э д р и и к о с а э д р ) (курсивом в тексте выделен материал, который подлежит изучеиию, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников).
3.1. Заметим, что учащиеся уже знакомы с нонятием многогранника, правилами обозначения и изображения, а также основными свойствами. Для учащихся естественнонаучных классов, ориентированных на рещение серьезных математических задач, подготовительным этапом может являться работа с темой Многогранные углы. Пусть в плоскости к дан многоугольник Л/и точка SЧ вне этой плоскости. Фигура в пространстве, образованная лучами с верщиной в точке S, пересекающими данный многоугольник, называется многогранным углом. Точка S называется вершиной многогранного угла, а лучи, проходящие через верщипы многоугольника,Ч ребрами многогранного угла. Углы, образованные соседними ребрами, называются плоскими углами многогранного угла, а также гранями многогранного угла. В зависимости от числа граней, многогранные углы называются трехгранными, четырехгранными и т.д. (например. Рис. 10). Для плоских углов трехгранного угла имеет место неравенство, аналогичное неравенству треугольника (см. [135], ч. 1, сЛ65-169).
Тр*жгр| нныйугол.
Рассиогрж) ipл Трехгроииьои vi ом (аЬс) M i i u u c i утлош (h). (be) н(ас). мтся |рЁНЯммгре<1 Пншгоутла,акчстарotu-pefipaMH Общая к р ш и в Ля>1 ранные угль двутрвиымиу! iMUH фе\|ряН1Шго утла шн: кюанойточкннж ттрех плис ion ля.
iJ а ИГ Рис. Данный материал позволяет актуализировать уже имеющиеся у школьников знания и применить их в новой, но похожей на изученную ранее, ситуации, и предваряет осмысленное последующее изучение вопросов, связанных с теорией многогранников. 3.2. Переходя к следующему, поисково-мобилизующему этапу, предполагающему создание условий и средств разрешения ситуаций, мы изучаем нонятие выпуклости многогранников и теорему Эйлера. Многогранник называется вынуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. Изучение свойств вынуклых многогранников (таких как: в вынуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками, и всякий выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника) позволяет выбрать адекватный содержанию математический язык. Рассмотрим известные многогранники и заполним следующую таблицу 10, в которой В Ч число верщин, Р Ч число ребер, Г Ч число граней.
Таблица Название многогранника В Р Г Треугольная нирамида 4 4 6 Четырехугольная пирамида 5 8 5 Треугольная призма 6 9 5 Четырехугольная призма 12 8 6 71-угольная пирамида п+ \ 2п л+1 2п п+2 л-угольная призма Зи Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место ра венство В Ч Р + Г = 2, где В Ч число вершин, Р Ч число ребер, Г Ч число граней. Изучение теоремы Эйлера для учащихся естественнонаучных классов наиболее интересно и иродуктивно может быть организовано в виде иоиска иод руководством иреиодавателя такого учебного содержания, который можно ярко представить на занятии (в виде доклада, ирезентации, сообщения и т.п.). Так как приложения теоремы Эйлера широко разработапы в научнопопулярной литературе, то учащиеся могут активно осознать поставленные перед ними цели деятельности и возможности их реализации. Целеиаправленная математическая деятельность учащихся позволяет сформировать и актуализировать установку на подробное изучение этих тем. Исторические сведения о Леонарде Эйлере как одном из величайших математиков мира, ирименение теоремы Эйлера как первой теоремы топологии, теория графов как широко используемый механизм в современной математике, программировании, теории планирования и уиравления, математической лингвистике, экономике, биологии, медицине и т.д. Ч рассмотрение этого материала является для учеников полезнейшей деятельностью, по завершении которой мы переходим к следующему, исполнительско-реализующему этану. 3.3. На этом этапе мы изучаем нравильные многогранники, полуправильные и звездчатые многогранники, кристаллы как нриродные многогранники. Таким образом, происходит дальнейшее формирование умений найти источники и распознавать их, самостоятельно нрименяя описанную схему работы над темой. Основная функция этого этапа при изучении данных тем заключается в примепении изученных свойств многофанников в нознавательнопреобразующей деятельности. Определение. Выпуклый многогранник называется нравильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Действительно, можно сконструировать только пять таких иравильных многогранников Ч Платоновых тел. Это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Первые четыре тела были описаны Платоном (около 420-347 гг. до н.э.), хотя их знали и пифагорейцы за несколько веков до него. Предполагается, что додекаэдр был открыт Гиппархом (после 127 г. до н.э.). Все эти тела встречаются в природе: тетраэдр, куб и октаэдр Ч как элементарные формы кристаллов, а икосаэдр и додекаэдр Ч квазикристаллов;
форму икосаэдра и додекаэдра имеют также некоторые вирусы. Платон, а за ним и многие другие мыслители, включая Кеплера, связывали Платоновы тела с лэлементами всего сущего: тетраэдр Ч с огнем, куб Ч с землей, октаэдр Ч с воздухом, икосаэдр Ч с водой и додекаэдр Ч с космосом ([35]). Важнейшим свойством каждого из Платоновых тел является высокая степень симметрии (см. Рис. 11).
Рис. В таблице (Таблица 9) представлены параметры, полностью характериV^ зующие эти многогранники.
Таблица Характеристики Платоновых тел МногогранЧисло Число грасторон ней. грани. сходящихся m в каждой вергпине, п Число граней, Г Число Число вершин, В Г-Р+ ник ребер, Р В тетраэдр куб октаэдр икосаэдр додекаэдр Понятие правильных многогранников можно ввести, применяя определе 3 4 3 3 3 3 4 5 4 6 8 20 6 13 12 30 4 8 6 12 2 2 2 2 ние, или иснользуя топологию (раздела геометрии, изучающего свойства фигур, не меняющиеся при непрерывных деформациях), или с точки зрения истории геометрии. В результате учащимися очень хорошо запоминается, что тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр Ч те пять правильпых многогранников, к изяществу и тайне которых постоянно обращаются умы талантливых людей нашей нланеты. Яркое нодтверждение этому Ч картина Сальвадора Дали Тайная вечеря(1955 г), где небесный свод изображен в виде додекаэдра. Сальвадора Дали привлекла вечная загадка лаконичной красоты этих объектов.
Рис. Следующая историческая справка наглядно показывает эстетический подход к изучению материала, сочетающийся с большой мировоззренческой значимостью. Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира. В эпоху Возрождения больщой интерес к формам нравильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художпики. Леонардо да Винчи (1452-1519) (живонисец, скульптор, ученый и изобретатель) Ч символ неразрывности искусства и науки, а, следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как вынуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности. Многие авторы отмечают оригинальный способ пространственного изображения многогранников, предложенный Леонардо да Винчи. Приведем репродукцию этого изображения из иллюстрированной Леонардо книги его современника, францисканского монаха и математика Луки Пачоли (1445-1514) Божественная пропорция, изданной в 1509 году. На рисунке (Рис. 13) изображен додекаэдр методом жестких ребер (а) и методом сплошных граней (б).
Рис. Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, также увлекавшимся геометрией, был Альбрехт Дюрер (1471 Ч 1528). В 1512 году Дюрер писал, что все потребности человека настолько пресыщаются преходящими вещами в случае их избытка, что последние вызывают в нем отвращение, исключая одну только жажду знаний... Желание много знать и через это постигнуть сущность всех вещей заложено в нас от природы. Жаждой знаний проникнуто и все искусство той эпохи, крупнейшие представители которой становятся учеными-естествоиспытателями. Идею единства художественного вдохновения и математической теории отражает и его созданная в 1514 г. знаменитая гравюра Меланхолия, воплотившая образ причастного к Божественному наитию существа, окруженного инструментами геометрии (Рис. 14). Присутствие на гравюре многогранника (скорее всего, усеченного ромбоэдра), конечно же, не случайно. В 1525 году Альбрехт Дюрер написал трактат, в котором представил пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы.
Рис. Иоганн Кеплер (1571 Ч 1630) в своей работе Тайна мироздания в 1597 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит нланет Солнечной системы. Геометрия Солнечной системы, но Кеплеру, заключалась в следующем: Земля (имеется в виду орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг нее опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юнитера опишем куб. описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Внисанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название Космического кубка Кенлера( Рис. 15, Рис. 16). Изображение класса нлатоновых тел (Рис. 17) из книги Кеплера Мировая гармония тоже иллюстрирует возможное взаимодействие стихий в пяти правильных многогранниках.
Рис. Работа учеников на данном этане снособствует формированию нредставлений о закономерностях в возникновении и развитии математических конструкций. Для учащихся нонятно, что такие математические объекты, как многогранники, возникли не сами по себе, а в связи с решением некоторой задачи, что они являются отражением в сознании человека отношений и свойств реальных или мыслимых объектов. Заметим, что интересный задачный материал по данным темам подробно представлен в [133], [135], [136]. Процесс моделирования каких-либо сторон реальности позволяет получить при изучении полуправильпых и звездчатых многогранников не только интересные модели этих тел, по и их естественнонаучные приложепия. Так, формализуя свои знания о многогранниках, ученикам будет нолезно изготовить модели правильных многогранников (Рис. 18):
V' \ Тетраэдр Куб / YV \\ VY Г Икосаэдр Додекаэдр Рис. На иснолнительско-реализующем этапе следует также формировать представление о том, что многогранники не возникают и не существуют изолированно друг от друга, что нрименяются они для решения не единичных, а целых групп задач. Поэтому переходим к рассмотрению следуюш:их классов многогранников. Определение. Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, с разным числом сторон), нричем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Кенлер определил классы мпогогранников, в частности тот, который мы называем архимедовыми телами, описал каждый из многогранников того или иного класса (некоторые Ч впервые). В своей книге Мировая гармония (1619 г.) он математически доказал, что класс архимедовых тел исчерпывается тринадцатью многогранниками, и досконально описал каждый из них. Па рисунке Кеплера, иллюстрирующем этот класс (Рис. 19), многогранник за номером 13 открыт им самим, остальные (включая усеченный икосаэдр) были описаны ранее художниками Возрождения. А вот иснользуемый сегодня нами термин лусеченный икосаэдр введен Кеплером.
Рис. Однако заметим, что правильпые п Ч угольные призмы и антипризмы, все ребра которых равны, также являются полуправильными многогранниками. Самые простые из архимедовых тел получаются операцией лусечения (см., нанример, [129]), остальныеЧ многогранники более сложного типа. Поэтому, внутримодельное решепие процесса формализации приходит как изуче ние предложенных многогранников и понимание того, как они устроены. Осознание на данном этане внутриматематических конструкций позволяет зафиксировать основные свойства этих объектов. Заметим, что демонстрация динамических чертежей, созданных в нрограммной среде Живая математика, нозволяет провести не только мысленный экснеримент по работе с данными телами, но и осуществить реальное комньютерное моделирование, носледовательно проводя усечение соответствующих граней (Рис. 20).
Рис. Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые звездчатые многогранники. Правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо но имени ученых описавщих и построивших их (см. Рис. 21).
Рис. Существует четыре типа звездчатых многогранников (см. [19]). Они очень декоративны, что нозволяет широко применять их в ювелирной нро мышленности при изготовлении украшений, а также в архитектуре. Снежинки Ч это звездчатые многогранники, придумапные природой. Большое значение для учащихся естественнонаучных классов имеет возможность узнать, в каких науках и областях знаний применяются те или иные многогранники, так как это позволяет проверить на применимость полученные сведения. Например, существует гипотеза ([39]), по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природпых процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее Ч его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра (20гранника) и додекаэдра (12-гранника). Узлы (62 их вершины и середины рёбер), обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления (Рис. 22).
V Рис. Или, например, данные о том, как происходит накопление информации в молекулярных скоплениях воды. Так как водородные мостики могут образовываться самыми различными способами, то по этой причине вода может быть носителем бесконечного множества информации. Подобные скопления молекул являются памятью воды, потому что она накапливает информацию в своей такой разнообразной структуре. То, что образование подобных cluster не является продуктом случая, можно увидеть по структурам кристаллов льда и спега, которые существуют в бесконечных, но всегда геометрически правильных вариантах. Очередное до Ill казательство силы таких упорядоченных структур удалось получить недавно исследовательской группе по физической химии университета в Пенсильвании, а также исследователям из университета в Беркли, Калифорния. Было открыто, что данные скученные молекулы составляют в воде еще большие геометрически правильные формы. Причем это не произвольные формы, а исключительпо пять тел Платона: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр! Одна единственная молекула воды уже образует крошечный тетраэдр (правильную пирамиду), которые могут соединиться, например, в структуры в форме додекаэдра из двадцати отдельных молекул, это напоминает модель футбольного мяча. В воде возникают таким образом комплексные стабильные структуры, сохраняющиеся даже в водяном паре, т.е. они несут в себе очень большую энергию, и это также можно было бы считать крайне высокой плотностью информации. Порядковое число таких структур воды так же высоко, как и порядковое число кристаллов (структура с максимально высоким упорядочением, которую мы только знаем), потому их также называют жидкими кристаллами или кристаллической водой. Новая волна интереса к правильным многогранникам и родственным им телам в настоящее время связана с той ролью, которую в современной науке играют отображения симметрии. Существенным здесь оказался и чисто прикладной аспект учения о правильных телах и свойственных им системах симметрии, связанный с кристаллографией. Обращает на себя внимание тот факт, что кристаллические структуры подробно изучаются геометрами. Кристаллы Ч природные многогранники. Многие формы многогранников придумал не сам человек, а их создала сама природа в виде кристаллов. Кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца), напомипают отточенный с двух сторон карандаш, т.е. имеют форму шестиугольной призмы, на основания которой поставлены шестиугольные пирамиды. Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра. Испанский шпат, который раздваивает изображение.
имеет форму косого параллелепипеда. Пирит Ч куб или октаэдр, иногда встречается в виде кубооктаэдра. Кристалл граната имеет форму ромбододекаэдра (иногда его называют ромбоидальный или ромбический додекаэдр) Ч двенадцатигранника, гранями которого являются двенадцать равных ромбов. Рассматривая многогранники, необходимо сказать и о телах, найденных выдающимся российским математиком и кристаллографом Е.С. Федоровым в 1881, называемых параллелоэдры (выпуклые) (см. Рис. 23). Параллельным перенесением этих тел можно заполнить всё бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать разбиение пространства (например, куб или правильная 6-угольная призма). Топологически различных сеток рёбер нараллелоэдров пять. Число их грапей Ч 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы многогранник был параллелоэдром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым многогранником одного из пяти указанных топологических типов и чтобы все грани его имели центры симметрии ([183]).
Рис. Для нащего исследования очень интересны высказывания И. Яглома из предисловия к книге М. Веннинджера Модели многогранников ([19]): л... книга будет способствовать развитию пространственного видения: в частности, внимательно изучившему книгу будущему инженеру в дальнейшем не покажутся сложными никакие технические механизмы. Но гораздо более важным кажется мне то, что потенциальный читатель этой книги научится многосторонне воспринимать имеющую огромное общеобразовательное значение идею симметрии Ч и это независимо от того, знаком он с математическим определе нием симметрии или нет. Кроме того, читатель научится раснознавать (и создавать) ту холодную красоту многогранных (или кристаллических) форм, которую с известным основанием можно рассматривать как лирообраз красоты вообще. Кристаллические формы, исключительно нримитивные с точки зрения художника, во всяком случае, несут в себе нечто от эстетической привлекательности нростоты: изучая эти элементарные формы, мы как бы нриближаемся к самим основам ионятия формы;
нытаясь же нонять нринцииы их строения, мы узнаем нечто о природе пространства, о мире, в котором мы живем. В нашем восприятии кристаллических форм есть нечто общее с впечатлением от египетских сфинксов или пирамид (огромная сила эстетического воздействия которых заключена в строгости их очертаний и в простоте) и что-то созвучное нашему отношению к суровости чистой математики. Активное участие каждого ученика позволяет довести решение поставленных задач до конкретного продукта деятельности. И, если учащиеся достаточно свободно могут выделить источники возникновения и внутреннюю природу различных классов многогранников, то данный этап формирования мировоззрения учащихся можно считать завершенным. 3.4. Переходя к коррекционно-транслирующему этапу, мы осуществляем ракоходное движение к началу деятельности. Это нозволяет нам отследить, какие теоретические факты нам потребовались для исследования свойств мьюгогранников, что в данной деятельности было удачным, интересным, а что, наоборот, отвлекало и мешало нри работе. Конечно, целью научного исследования является не размножение всё большего числа форм, а ностроение соответствующей теории, определяющей и классифицирующей различные формы. Но любое научное исследование идёт по индуктивному пути: прежде чем развить общую теорию, необходимо изучить отдельные примеры. При таком нодходе есть надежда уловить общие принципы, которые можно будет положить в основу теории. Вот из них-то путём дедукции и вырастает теория! Многие не подозревают о том, что подобный путь характерен для математики, однако история её изобилует примерами, подтверждающими сказанное ([19]). Для контроля за качеством нолученных знаний учащимся может быть предложен зачет по теме Многогранники, а также контрольная работа ([136], е.145и[135],с.177). Составной частью зачета по данной теме должно быть выполненное практическое и теоретическое исследование, выполненное каждым учеников (возможно, в группе).
Защита этого исследования позволяет получить скорректированный и обоснованный результат, так как нолучены собственные произведения математической культуры (в виде моделей и проектов). Развитие образного комнонента мыщления, щирокое применение межпредметных связей, алгоритмическая направленность обучения Ч все эти особенности преподавания математики в классах естественнонаучного нрофиля при изучении темы Многогранники учтены и реализованы нри последовательной работе с нредложенными этапами по формированию математически направленному мировоззрению учащихся. Усиление прикладной и научной направленности обучения, представленное в данных разработках позволяет достигнуть цели нашего исследования.
з 4. Конические сечения Продолжим раскрывать методику формирования мировоззрения учащихся естественнонаучных классов на уроках геометрии на примере темы Конические сечения. Заметим, что в стандартах общего (полного) средпего образования для нрофильной щколы данная тема нодлежит изучению, но не включается в требования к уровню нодготовки выпускников ([149], с. 81-84). В разделе Тела и новерхности вращения стандартов подлежат изучению следующие понятия и свойства: Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения. Эллипс, гипербола, парабола как сечения конуса. Касательная плоскость к сфере. Сфера, вписанная в многогранник, сфера, описанная около многогранника. Цилиндрические и конические поверхности. Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве с в телескопов-рефлекторов, отражателями. От где применяются света, пучок параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах помещенного параболическими фокусе источника исходит параболического отражателя, параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давлеиие и обьем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении. Исходя из многообразия ирименений, изучение данной темы для учащихся естественнонаучных классов особенно актуально. Создавая при обучении ситуации с мировоззренческим контекстом, мы используем их в качестве иедагогического инструмента для оказания помощи формирующейся личности растущего человека. В соответствии с разработанными нами этапами формирования мировоззрения учащихся классов естественнонаучной следующим направленности изучение указанной темы может проходить образбМ.. Учитывая, что к началу проработки этой темы щкольники знакомы с основными телами вращения (цилиндр, конус, усеченный конус, шар), подготовительный этан целесообразно организовать рассмотрением понятия цилиндрической поверхности и знакомством с иростейшими сечениями цилиндра плоскостью, а также со способом получения синусоиды, использующим эти сечения. Тогда на этом этапе мы заложим основу учебного интереса во взаимосвязи с потребностями личности, определяющую всю последующую деятельность. Актуализация имеющихся у щкольников знаний может быть проведена с помощью таких вопросов: 1. Как образуются цилиндр, конус, усеченный конус, шар? 2. Что представляют собой боковые поверхности цилиндра, конуса? 3. Верно ли утверждепие, что прямая содержит образующую цилиндра, если она имеет с его боковой поверхностью: а) одну общую точку;
б) две общие точки;
в) три общие точки? Ответ, а), б) Нет;
в) да. 4. Верно ли утверждение, что прямая содержит образующую копуса, если она имеет с его боковой поверхностью: а) одну общую точку;
б) две общие точки;
в) три общие точки? Ответ, а) Нет;
б) да, если одна из данных точек является верщиной конуса, нет Ч в противном случае;
в) да. 5. Как вы думаете, какая фигура получится в сечении цилиндра плоскостью, параллельной его основаниям? Тот же вопрос для конуса. Ответ. И в том и в другом случае получится круг. В случае цилиндра сечение будет равно основаниям цилиндра. Заинтересованность учащихся позволяет получить полный ответ на вопрос о том, какой фигурой может являться сечение цилиндра плоскостью? Ответы могут быть такими. В сечении цилиндра плоскостями, параллельными его основаниям, получаются равные круги. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (осевое сечение), дает прямоугольник, две стороны которого служат образующими цилиндра, а две другие Ч диаметрами его оснований. Сечение цилиндра плоскостью, параллельпой его оси, дает прямоугольник, две стороны которого служат образующими цилиндра, а две дру гие Ч равными между собой хордами окружностей основания. Если плоскость сечения не параллельна основаниям цилиндра и пересекает все образующие, т. е. цилиндрическую поверхность, то в сечении получится эллипс. Далее можно предложить для рассмотрения вопрос о построении сечения цилиндра плоскостью, проведенной к плоскости основания под острым углом (см. [180], ч.П, с. 152). Учащимся можно предложить самостоятельно выбрать диаметр и прямую, проходящую через его середину под острым углом к нему, а затем построить соответствующее сечение цилиндра плоскостью. Использование эллипса в проведенных таким образом рассуждениях позволяет естественным образом продемонстрировать вывод уравнения Ч + ^ = а Ъ эллипса и доказательство его фокального свойства (Рис. 24): Внутри эллипса существуют такие точки F\ и Fi, называемые фокусами эллипса, что сумма расстояний от любой точки А эллипса до этих точек есть величина постоянная (см. [171], [180],с.153). Эллипс Эллипс определяется как множество точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек постоянна. Двигайте т. С и следите за \ изменениями фигуры.
А В Рис. Фокальное свойство эллипса позволяет рисовать эллипс на бумаге. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F\ и Fi (Рис. 25), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F\ и Fj называются фокусами эллипса, а отрезки V\ V2 и между точками пересечения эллипса с осями координат Ч большей и ма лой осями. Половины этих отрезков называются соответственно большой и малой нолуосью. Если точки F\ и F2 совнадают, то эллине нревращается в окружность.
Рис. Закренить изученный материал можно, нанрнмер, вынолнив следующие упражнения: 1. Изобразите цилиндр и эллине, являющийся нересечением боковой иоверхности цилиндра плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 45. 2. Боковая новерхность цилиндра нересечена нлоскостью, образующей с осью цилиндра угол 30**. Найдите большую ось эллинса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен R. Ответ. 2R. 3. Докажите, что сумма расстояний от любой точки эллинса до фокусов равна длине большой оси эллинса.
Рис. Решение. В качестве точки А на эллипсе рассмотрим один из концов большой оси АВ (Рис. 26). Тогда AFi+AF2=AF2+F2B=AB. Так как сумма расстояний от любой точки эллинса до фокусов ностоянна, то эта сумма будет равна АВ, т. е. большой оси эллинса. Некоторым ученикам можно предложить для изучения донолнительный материал, например [18]. Изучив сечения цилиндра плоскостью, считаем, что учащимися приобретен опыт ориентировки в теме, т. е. произошло вхождение в ситуацию учебной математической деятельности. Здесь важно, чтобы ученик осознавал свои действия и действие удвоения мира: то, что школьнику непосредственно предъявляется как учебный материал, и то, как он (школьник) воспринимает, выделяет и фиксирует в своей деятельности. Так как в первом приближении на примере цилиндра зафиксирована учебная проблема этого раздела (изучить сечения конуса плоскостью), то можем переходить к следующему этапу. 4.2. Изучая на поисково-мобилизующем этапе конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, удобно рассматривать их как траектории точек на плоскости. Конические сечения Ч это плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (Рис. 27).
V Рис. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравпению второго порядка. Древнегреческими математиками было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна (см. выше);
параболу Ч как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой;
гипербо лу Ч как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна. За исключением вырожденных случаев коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или иараболы. На этом этапе у школьников должны быть сформированы попимание того, как и почему появились конические сечения. Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (IV век до н.э.), ученик Платона и учитель Александра Македонского. Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решепия задачи об удвоении куба. Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конпе IV века до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сечения Аполлония Пергского (около 260-170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлопий отказался от требовапия перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых Ч эллипс, парабола и гипербола. В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус (как на Рис. 27), поэтому впервые стало яспо, что гипербола Ч кривая с двумя ветвями. Со времеп Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс (Рис. 27, а) образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости;
парабола (Рис. 27, б)Ч когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса;
гипербола (Рис. 27, в) Ч когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса. Определение. Коническая поверхность Ч фигура, полученная вращением прямой (образующей) вокруг другой прямой, пересекающей её под острым углом, называемой осью вращения. Если плоскость проходит через верщину конической поверхности, то в сечении может получиться точка, прямая (образующая), две пересекающиеся прямые (две образующие) (Рис. 28).
Рис. Поскольку при работе с копическими сечениями используются эллипс, гипербола и парабола, то изучим эти кривые подробнее. Эллипс мы рассмотрели выше. С некоторыми его интересными свойствами мы познакомимся позже. Рассмотрим гиперболу (см. [29], с. 72) как геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек Fi и i^2- равен фиксированному положительному числу. При построении гиперболы (Рис. 29) точка Р, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F\ и F2, как показано на Рис. 29, а. Расстояния подобраны так, что отрезок PF2 превосходит по длине отрезок PF\ на фиксированную величину, меньшую расстояния F\F2. При этом один конец нити проходит под шпеньком F\ и оба конца нити проходят поверх шпенька F2. (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы {PV\Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F2, а когда точка Р окажется ниже отрезка FxFj, придерживая нить за оба конца и осторожно потравливая (т.е. отпуская) ее. Вторую ветвь гиперболы {P'V2Q') мы вычерчиваем, предварительно поменяв ролями шпеньки Fx и F2.
Асимптота Рис. Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, пазываемые асимптотами гиперболы, строятся как показапо иа Рис. 29, б. Угловые коэффициеиты этих прямых равпы (viV2)/(FiF2), где ViV2Ч отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F1F2, отрезок viV2 называется сопряженной осыо гиперболы, а отрезок Vi V2 Ч ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки Vi, V2, V\, V2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположепие точек vi и V2. Они находятся на одинако B M расстоянии, равном O ^ i \ ^' i^fi^f ' ' о т точки нересечения осей О. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ovi и V2O и гипотенузой F2O. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимнтоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными. Рассмотрим параболу (Рис. 30)как геометрическое место точек, равноудаленных от прямой d и точки F, где прямая d и точка F, не лежащая на этой прямой, заданы на плоскости. Прямая d называется директрисой, а точка F Ч фокусом параболы.
Парабола Парабола определяется как множество точек, одинаково удаленных от точки (фокус) и прямой (директриса) Двигайте т. ^4 и следите за изменениями фигуры.
директриса Рис. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (П-я половина III века), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помош;
ью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI век). Расположим линейку (Рис. 31) так, чтобы ее край совпал с директрисой LL', и приложим к этому краю катет АС чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной АВ в вершине В треугольника, а другой Ч в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке Р к свободному катету АВ чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемеш;
аться вдоль линейки, точка Р будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой LL', так как обш,ая длина нити равна АВ, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета АВ, т.е. РА. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, Ч осью параболы.
Рис. 31 Изучение данных кривых можно было осуществить на более ранних этапах обучения геометрии (например, в 7 классе в соответствии с [29]). Однако чаще всего данный материал изучается имепно в курсе стереометрии естественнонаучных классов. На ноисково-мобилизующем этапе при исследовании этих кривых учителем могут быть задействованы разные методические приемы. Например, структурирование учебного материала. Так как общая схема работы по изучению в указанном случае одинакова, то ученикам можно предложить составить сводную таблицу, систематизирующую имеющиеся знания. Структурный анализ объектов нозволяет сравнить определения, изображения, характеристические свойства, области применения, уравнения и т.д. Рассмотрим для данного конуса коническую поверхность, образованную прямыми, проходящими через верщину конуса и точки окружности основания конуса. Сечения конической новерхности плоскостью можно рассматривать как центральную проекцию окружности основания конуса на эту плоскость. Поэтому если плоскость параллельна плоскости основания и не проходит через вершину конуса, то в сечении конической поверхности получается окружность. Далее нужно рассмотреть построение сечения конуса плоскостью, проходящей через хорду основания и параллельной его высоте;
построепие сечения конуса плоскостью, проходящей через диаметр основания и параллельно его образующей;
построение сечения конуса плоскостью, пересекающей все обра зующие ([134], с. 158-159).Отвечая далее на вопрос о том, какие возможны случаи сечения конической поверхности плоскостью, не проходящей через ее верщину, приступаем к исследованию различных случаев расположения плоскости сечения. Если плоскость образует с осью конуса угол, больший чем угол между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается эллипс. Если плоскость образует с осью конуса угол, равный углу между этой образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается парабола. Если плоскость образует с осью конуса угол, меньщий угла между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается гипербола (Рис. 32).
Рис. Подробное доказательство этих утверждений приведено в [135](ч II, с. 160 -162). Заметим, что для обоснований используется конструкция Данделена. Фокусы и директрисы конического сечения можно наглядно продемонстрировать, если воспользоваться сферами, вписанными в копус и называемыми сферами (шарами) Данделена в честь бельгийского математика и инженера Ж.Данделена (1794-1847), предложившего следующую конструкцию. Пусть коническое сечение образовано пересечением некоторой плоскости р с двухполостным прямым круговым конусом с верщиной в точке О. Впишем в этот конус две сферы S\ и ^2, которые касаются плоскости р в точках F\ и F2 соответ ственно. Если коническое сечение Ч эллине (Рис. 32, а), то обе сферы находятся внутри одной и той же нолости: одна сфера расноложена над нлоскостью р, а другая Ч нод ней. Если р нересекает обе нолости конуса (Рис. 32, б), то две сферы Данделена лежат но одну сторону от плоскости р, но одной сфере в каждой нолости конуса. В этом случае геометрическое место точек Р имеет форму гинерболы с фокусами Fi и F2 и нрямыми Ч линиями нересечения р с pi и Р2 Ч в качестве директрис. Если коническое сечение Ч нарабола, как ноказано на Рис. 32, в, то в конус можно внисать только одну сферу Данделена. Алгоритм учебной деятельности, разработанный учащимися нри изучении кривых, актуален и нри работе с коническими сечениями. Соответствие в подходах изучения позволяет понять модель получаемых конструкций осознанно. Изучение свойств конических сечений очень интересно с методической точки зрения, так как здесь имеется возможность заинтересовать учеников, ориентированных на естественнонаучную деятельность, физическими нриложениями, структурностью материала. Динамическая реализация свойств эллинса, гинерболы и нараболы, их взаимосвязь развивает образное мыщление учеников и их исследовательские способности. Закрепление нредложенного материала можно нровести, отвечая на следующие вопросы. 1. Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной конусообразной колбе? Ответ. Эллинса, нараболы или конуса. 2. Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса. Какую форму имеет освещенный фонариком участок ровной новерхности в зависимости от угла наклона фонарика? Ответ. Эллипса, параболы или конуса. 3. Что представляет собой сечение конической поверхности, параллельное: а) оси;
б) образующей? Ответ, а) Гинербола;
б) нарабола.
4. Через центр основания конуса и середину образующей проведена плоскость. Что представляет собой сечение конуса этой плоскостью? Ответ. Фигура, ограниченная параболой. 6. Высота конуса равна радиусу основания. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, образующей с осью угол: а) 30;
б) 45;
в) 60? Ответ. Фигура, ограниченная: а) гиперболой;
б) параболой;
в) эллипсом. Также ученикам целесообразно предложить по соответствующей теме математический диктант и самостоятельную работу ([136], с. 24, 68). Таким образом, на данном этапе происходит полное осознание цели изучения темы конические сечения. Этап считаем завершенным, так как ученики по требованию учителя и при его помощи распознают различные случаи сечения конической поверхности, в каком случае нолучаются эллипс, парабола, гипербола. При этом школьники могут применить эти свойства к решению практических задач. 4.3. Переход к исполнительско-реализующему этапу в рамках данного раздела удобнее всего работать в режиме проектной деятельности. Это связано с тем, что некоторые свойства рассматриваемых кривых, аналитический подход (алгебраическая классификация, вывод уравпений конических сечений), проективный подход, некоторые специальные построения астрономов и многое другое представляют собой достаточно разнообразный материал. На этом этапе есть возможность осуществить дифференцированный подход, учитывая степень сложности исследуемых фактов (см. ОПриложение 1, [17], [35], [135] и др.). Таким образом, познавательно-преобразующая деятельность учащихся будет направлена на решение задач выбранной подтемы, на проверку гипотез, конструирование математических объектов (изображение сечений или компьютерное моделирование). Следовательно, исходный материал будет преобразован в соответствии с образом конечного результата. В ходе занятий учащимся можно предложить лабораторные работы по построению эллипса, параболы, гиперболы, на изображение конуса и плоско сти, пересекающей коническую поверхность по эллипсу, по параболе. Свойства касательных к рассматриваемым кривым позволяют проиллю f стрировать любопытные факты (см. Таблица 10).
Таблица Эллипс Касательной к эллипсу называется прямая, лежащая в плоскости эллипса и имеющая с ним только одну общую точку Определение Парабола Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не перпендикулярная ее директрисе, называется касательной к параболе Углы между касательной к Углы, образованные касательной к параэллипсу и отрезками, соедиболе с ее осью и отрезком, соединяющем няющими точку касания с точку касания с фокусом, равны фокусами эллипса, равны Если изготовить зеркальную Если изготовить зеркальную поверхповерхность в форме эллип- ность в форме параболоида вращения Ч соида вращения Ч фигуры, фигуры, полученной вращением парабополученной вращением эл- лы вокруг ее оси, и поместить в ее фокус липса вокруг его оси, и по- источник света, то лучи света, отразивместить в один из фокусов шись от зеркальной поверхности, пойдут источник света, то лучи све- параллельным пучком. Наоборот, пучок та, отразившись от зеркаль- лучей, параллельных оси параболоида ной поверхности, соберутся вращения, после отражения от зеркальв другом фокусе (Движение ной поверхности соберется в одной точЗемли вокруг Солнца, Луны ке Ч фокусе (прожекторы, фары, фонаЧ вокруг Земли). ри). Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтерна тивное определение конических сечений в целом (Рис. 33, Рис. 34, Рис. 35). Пусть F Ч заданная точка (фокус), а Z, - заданная прямая (директриса), не проходящая через F,HDP-HDLрасстояния от подвижной точки Р до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек Р, для которых отношение DP/DL является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом е конического сечения. При е < 1 коническое сечение Ч эллипс;
при е > 1 - гипербола;
при е= I - парабола. ЕслиFлежит наL, то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются выро Применение Теорема рожденными коническими сечениями.
Универсальный чертеж конического сечения )ллипс| |Гипег1бЬла| Е| Эксцентриситет= FE ЕЛ =1, Рис. Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса - бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет е в этом случае равен нулю.
Уииверсальиый чертеж коническрго сечеиия Р |Анимация Е | |Гипербола |Парабо.11а FE ЕЛ = 0,S |Расстояния| |Консгрук:дия| FE = l,75cM EA=3,2ScM Рис. Универсальный^чертеж кони< еского сечения / \ |Гвпе[бола| Шарабола I |Анимацня ЕУ,/ \ \ F Е А FE = 2,22cM ЕА=иЗсм t / FE Эксцентрис тет= ЕА='''' |Расстоянвя| ХКонструкция!
/ / \ d \ Рис. На данном этапе, таким образом, мы формируем представление о таких закономерностях как: математические объекты не изолированы друг от друга, они применяются для решения не единичных, а групповых задач, могут совершенствоваться, видоизменяться, уточняться. Этап завершен, так как получен собственный результат математической деятельности (в виде проекта). 4.4. На коррекционно-транслирующем этапе мы отслеживаем динамику изменения наших представлений о данном разделе. Рефлексивная деятельность осуш,ествляется в процессе заш,иты представленного проекта. После этого возможна коррекционная деятельность. Так как нредполагается оформление своих результатов, то использование средств информационных технологий позволяет наиболее эффективно и наглядно представить результат своей учебной математической деятельности. Следовательно, учащимися в данной мировоззренчески значимой ситуации приобретен опыт рефлексии, ответственного отношения к деятельности и полученным результатам, их эстетической оценки и логической проверки. Многообразие аспектов рассматриваемой в данном параграфе темы и её слабая методическая разработанность делают преподавание Конических сечений достаточно сложным процессом. Однако для учителя методическое изу чение этих вопросов позволит существенно повысить профессиональную компетентность, связанную с работой в старшей профильной школе.
з 5. Многогранники в задачах оптимизации Поскольку в ходе изучения геометрии в 10-11 классах профильной школы учашиеся рассматривают многогранники, векторы, их координаты нространстве, а также некоторые приложения, то становится возможным рассмотрение в естественнонаучных классах еще одного важного прикладного раздела Ч задач линейного нрограммирования. Заметим, что в логике предлагаемого поэтапного формирования мировоззрения учащихся подбирается соответствующий учебный материал. Однако в данном параграфе мы остановимся на содержательной части только одного, третьего, исполнительско-реализующего этапа. Решение задач линейного программирования связано с отысканием онтимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств. Это наиболее разработанный и широко применяемый метод математического нрограммирования, так как математические модели очень большого числа экономических и технических задач линейны относительно искомых переменных. Эти типы задач в настоящее время наиболее изучены, для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на комньютере и т.д. Разнообразные задачи линейного программирования принадлежат к трем большим группам: задачи на составление смеси, транспортные задачи и задачи планирования. Знакомство с транспортной задачей позволяет не только продемонстрировать практическое применение геометрических знаний, но и позволит акцентировать внимание учащихся на межпредметных связях. Данный материал снособствует повышению качества знаний общекультурного уровня. Содержа ние задач этого раздела заключается в том, как рационально (онтимально) иснользовать наличные ресурсыЧ транснортные средства, сырье, станочное Хf" оборудование, рабочую силу и т.д. Несмотря на разные содержательные ситуации в этих задачах, математические модели, онисывающие их, ночти одинаковые, и все они решаются методами линейного нрограммирования. Линейное профаммирование возникло в тридцатых годах нрошлого века. Значительную роль в развитии этой науки сыграл известный отечественный математик Л.В. Канторович ([62], [164]). Рассмотрим геометрическую интерпретацию решения данной задачи. Её изучение в соответствии с представленными выше этанами формирования мировоззрения учащихся будет способствовать раскрытию содержания математического знания в их взаимных связях и связях с реальной действительностью. Представим необходимую теорию. Пусть Q Ч выпуклый многоугольник в плоскости а. Прямая I cza называется его опорной прямой, если она содержит хотя бы одну граничную точку этого многоугольника, но не содержит никакой его внутренней точки. Пересечение представляет собой либо вершину, либо сторону многоугольника Q. В любом случае выпуклый многоугольник Q ^. содержится в одной из двух полуплоскостей, определенных прямой / и расположенных по одну сторону от /, Аналогичными свойствами обладают выпуклые многогранники. Плоскость а называется опорной нлоскостью выпуклого многогранника Q, если она содержит хотя бы одну граничную точку этого многогранника, но не содержит никакой внутренней точки. Пересечение может представлять собой вершину многогранника Q, либо ребро, либо его грань. В любом случае выпуклый многогранник Q содержится в одном из двух полупространств, онределен^ ных плоскостью а. Теорема. Пусть QЧ выпуклый многогранник и П- ненулевой вектор. Тогда существует, и притом только одна, опорная плоскость а многогранника Q, обладающая тем свойством, что полупространство с граничной плоскостью a, содержащее Q, имеет У1 своей внешней нормалью. Заметим, что аналогичная теорема справедлива и для многоугольников. Пусть дан выпуклый многогранник Q. Найти точку М(х, у, z), в которой функция l(M)=Ax+By+Cz, рассматриваемая на многограннике Q, достигает своего наибольшего значения. Для решения указанной задачи можно применить теорему. Теорема. Линейная функция, рассматриваемая на вынуклом многограннике Q, достигает своего наибольшего значения либо в одной вершине многогранника Q, либо на некотором его ребре, либо на некоторой грани. В любом случае, существует вершина (хотя бы одна), в которой достигается это наибольшее значение. Заметим, что аналогичная теорема снраведлива для наименьшего значения линейной функции на выпуклом многограннике, а также для линейной функции 1(М)=Ах+Ву на выпуклом многоугольнике. Данная теорема указывает геометрический снособ нахождения вершины, в которой рассматриваемая линейная функция достигает наибольшего (наименьшего) значения. Конечно, в практических задачах выполнить эти геометрические построения (находить опорные плоскости и их пересечения с многогранником) неудобно. Однако можно действовать и алгебраически: найти координаты всех вершин многогранника Q (многоугольника), вычислить значения линейной функции в вершинах и выбрать из этих значений наибольшее (наименьшего) значение функции на всем многограннике Q (многоугольнике 0.
Указанный теоретический материал является донолнительным к основному курсу. Поэтому для учащихся общеобразовательных, гуманитарных классов он несет познавательную, общег^льтурную нагрузку ([135], с. 142). Тогда как для учащихся естественнонаучных классов изучение данного материала снособствует формированию перспективпости и системности мыщления. Подчеркнем, что в этих классах не предполагается получение учащимися полного нредставления о теории линейного нрограммирования, ее основных идеях и методах. Однако они должны овладеть некоторыми элементарными знаниями и умениями, необходимыми для решения нрактических задач. Таким образом, для всех учащихся обязательным будет являться анализ унрощенного варианта транснортной задачи (см.[133], с.142). Задача. Пусть на четыре завода 3\, Зъ Зз, З4 требуется завезти сырье одинакового вида, которое хранится на двух складах Ci и Сг в соответствии с данными, указанными в таблице 11.
Таблица т Наличие сырья, т Потребность в сырье, т С, 3, Сг Зз Зз 34 20 25 8 10 12 15 Расстояние (в км) от складов до заводов указано в таблице 12.
Таблица 3, Зг Зз 34 5 6 4 С, 10 7 3 3 7 Сг Пужно найти самый выгодный вариант неревозок, т.е. вариант, для которого общее число тонно-километров будет наименьшим. Для решения этой задачи в нервую очередь нроанализируем условие и нереведем его на язык математики, то есть составим математическую модель. Обозначим x,y,z Ч количество сырья, которое нужно неревезти со склада С\ на заводы 3i, Зг, Зз. Тогда на четвертый завод с этого склада нужно будет перевезти 2Q-x-y-z тонн сырья, а со второго склада на заводы 3\, Зг, Зз, З4 нужно будет неревезти соответственно 8-x, 10->^, 12-z, x+y+z-5 тонн сырья. Занишем эти данные в виде таблицы 13.
Таблица 3, X Z С, 20-x-y-z 8-л: 10-у 12-Z x+y+z-5 Сг Поскольку все величины, входящие в эту таблицу, должны быть неотри Зг У Зз 3, цательными, имеем следующие неравенства x>0,>'>0,z>0, 8-x>0,10-3;
>0,12-z>0, 20-x-y-z>0, z-5>0.
Полученная система неравенств онределяет многогранник Oi, изображенный на Рис. 36.
Рис. Найдем теперь общее число тонно-километров. Для этого расстояния от складов до заводов умножим на неревозимое количество сырья и нолученные результаты сложим. Общее число тонно-километров будет равно 5x+6y+4z+(20-x-y-z)+3(S-x)+l(l0-y)+3(\2-z)+l(x+y+z-5)=295-x-4y-2z.
Таким образом, задача сводится к отысканию наименьшего значения функции F=295ЧxЧ4y-2z на рассмотренном выше многограннике. Заметим, что для нахождения наименьшего значения этой функции достаточно найти наименьшее значение функции -x-y-2z и затем прибавить к нему 295. В свою достаточно очередь для нахождения наименьшего значения функции -x-4y-2z найти наибольшее значение функции / = x + 4y + 2z и затем умножить его на минус единицу. Найдем наибольшее значение функции / = х + 4у + 2z. Тогда fmax на многограннике.
Так как / рассматриваем как опорную плоскость для указанного многогранника, то для нахождения искомого значения надо вычислить значения функции/в вершинах многогранника и выбрать из них наибольшее. Вычислим значения функции / = x + 4y + 2z в вершинах многофаиника: fM,=52;
f^r^O;
fo=24. Легко видеть, что максимальное значение функции / равно 60. Тогда ^imn=295 Ч 60 = 235. Это значение функция F принимает в точке Мгф, 10,10^. Таким образом, наиболее выгодным вариантом перевозок является вари^щ=4В;
fc,=32;
fc=8;
fB=48;
fA=40;
f^^=20;
f^,=10;
f^r^;
т ант, при котором х= О, у= 10, z= 10. Подставляя эти зпачепия в таблицу 13, получим, что паиболее выгодный вариант перевозок задается таблицей 14.
Таблица 3, 32 10 0 С, 8 0 С2 Заметим, что число независимых переменных Зз 34 10 0 2 15 в нашей задаче было равно трем, и поэтому в процессе решения получился многогранник. Если бы число независимых переменных равнялось двум, то получился бы многоугольник. В реальных задачах число независимых переменных значительно больше трех и для получения геометрической интерпретации этих задач требуется л-мерное пространство и л-мерные многогранники с очень большим п. При решении таких задач используются компьютеры. Таким образом, хотя пространственные свойства окружающего нас мира хорошо описываются геометрическим трехмерным пространством, потребности практической деятельности человека приводят к необходимости рассмотрения пространств большей размерности, которые изучаются в специальном разделе математики, называемом многомерной геометрией. Заметим, что решение подобных задач часто опирается на графический метод. В связи с тем, что одной из особенностей мировоззренчески направленного обучения математике в классах естественнонаучного профиля является развитие фафических умений школьников, рассмотрение указанного материала снособствует формированию снециальных знаний учащихся.
з 6. Использование компьютерных технологий при изучении геометрии в старших классах естественнонаучного профиля обучения Важной составляющей информатизации нащего общества является иснользование современных информационных технологий в образовании. Процесс компьютеризации этой важнейшей сферы человеческой деятельности создаёт цредносылки для широкого внедрения в недагогическую практику нренодавания различных предметов компьютерных технологий обучения. В этом нанравлении ведётся много исследований, которые отражены в работах специалистов в области информатизации образования (И.Н. Антипов, Г.А. Бордовский, А. Борк, Ю.С. Брановский, Я.А. Ваграменко, Е.П. Велихов, Б.С. Гершунский, Г.Д. Глейзер, Д.Х. Джонассен, А.П. Ерщов, С.А. Жданов, В.А. Извозчиков, А.А. Кузнецов, Э.И. Кузнецов, М.П. Лапчик, Ж.-М. Лаборде, В.М. Монахов, Ю.А. Первин, И.В. Роберт, В.А. Трайнев и др.). Однако за два десятилетия, нрошедших с начала массовой компьютеризации школы, не удалось за счёт этого процесса существенно повысить эффективность обучения. В связи с этим Министерство образования РФ (Коллегия от 12.04.99 г.) ещё раз обратило внимание на необходимость лиснользовать информатику как средство обучения на всех уроках естественно-математического цикла. Было принято решение лорганизовать поэтапную подготовку учителей естественно-математического цикла по использованию компьютера в учебном процессе. Проблеме применения компьютерных технологий в преподавании математических дисциплин в средней школе посвящены публикации А.В. Ашкинузе, Б.Б. Беседина, Ю.С. Брановского, Ю.Г. Гузуна, В.А. Далингера, IO.A. Дробышева, И.В. Дробышевой, А.А. Кузнецова, Р.А. Майера, М.Н. Маркжова, И.В.
Роберт, А.В. Якубова и других ([51], [88], [123] и др.). Основное внимание в этих исследованиях уделяется не только вопросам создания программнопедагогических средств учебного назначения с методикой их применения, но и разработке соответствующих комньютерно-ориентированных методик изучения отдельных тем и разделов школьного курса математики. Анализ этих исследований позволяет сделать вывод о том, что использование компьютера в преподавании профильно-ориентированных математических курсов имеет большие возможности и перспективы. Развитие прикладной математики и информатики стало движушей силой технического прогресса. Производство всё в большей степени насыщается математикой и информатикой. Люди, иснользуюшие компьютер, могут автоматизировать свою творческую деятельпость, редактируя тексты, преобразовывая графическую информацию. Постепенно мы понимаем особенности компьютера и его роль как инструмента современных информационных технологий для будущих работников современных фирм, как средство организации учебного процесса, как образовательный инструмент. Информационные технологии как средство обучения, формирующее мировоззрение, позволяют: эффективнее осваивать и систематизировать знания, составляющие основу современных научных представлений;
овладевать умениями работы с различными видами информации с помощью компьютера и других средств информациопных и коммуникационных технологий;
организовывать собственную информационную деятельность и планировать её результаты;
развивать позпавательные интересы, интеллектуальные и творческие способности;
вырабатывать навык использования информационнокоммуникационных технологий при освоении профессиональной деятельности в сферах, востребованных на рынке труда. Исходя из вышесказанного, работа с учащимися классов естественнонаучного профиля обучения при изучепии геометрии должна содержать не только научные и прикладные аспекты, но и быть для них личностно-значимой, со временной, интересной и содержательной, что помогает реализовать компьютер. Таким образом, па этапе развития учащихся от 10 до 16 лет формируются такие компопенты мировоззрения, как лопыт постижения смыслов, знаний, мировоззренческих умений, учебной коммуникативно-организационной деятельности в рамках коллектива, волевые факты. В силу ряда обстоятельств особое значение компьютерные технологии приобретают в процессе геометрической подготовки щкольпиков. Основпые мотивы их использования в курсе геометрии таковы: а) компьютерные методы в последнее время все щире используются в геометрической пауке;
б) применение компьютерных технологий в щкольном курсе геометрии существеппо повыщает качество усвоения учебного материала. Использование компьютера при формировании мировоззрения учащихся классов естественнонаучного профиля существенно помогает при изучении геометрии. Учитывая выщесказанное, разрабатывая методику преподавапия курса стереометрии, необходимо использовать современные компьютерные технологии. Это позволит учепикам осуществлять целенаправленную активную умственную деятельность в соответствии с теми основными этапами, которые были нами рассмотрены выще. За рубежом наибольщей популярностью в процессе геометрической подготовки пользуются два программпых продукта дипамической геометрии ([170]). Один из них (Cabri geometry, [169]) разрабатывается во Франции (Ж.М. Лаборде, Ф. Беллемейн и др.), другой (Geometers Sketchpad, [168])Ч в США (Ж. Кинг, Д. Шер и др.). Эти программпые обеспечения построены на идеологии лоткрытия геометрии и создают предпосылки для компьютерного геометрического эксперимента. Главной особенностью компьютерных чертежей, нолучаемых с помощью этих пакетов, является их динамичность. Взаимопроникающее изучение геометрии и информатики при использовании нредметно-ориентированной среды Живая математика позволяет не только исследовать пекоторые разделы геометрии, по и побуждать учащихся к самостоятельному составлению задач прикладного характера, к обоснованному выбору своей нозиции, к осознанию своих действий, их условий и иснользуе1 мых нри этом средств, что напрямую способствует формированию мировоззренческих качеств личности. Преимущество использования программы Живая математика состоит в том, что использовапие инструментов нрограммы нозволяет вынолнять точный чертеж, производить измерения, а главное Ч дает возможность проследить в динамике изменение свойств некоторой геометрической конфигурации при ее непрерывпом преобразовапии, то есть проверить выполнение некоторого геометрического факта на большом количестве примеров. Следовательно, мы нолучаем динамическую стереометрию. Для нашего исследования большой интерес представляет комплект интерактивных стереочертежей, разработанных но заказу НФПК Дубровским В.Н. (СУН - МГУ). В их основе Ч работа на изображении с возможностью нроизвольного изменения ракурса. В методическом пояснении к комплекту стереочертежей описаны виды практических заданий, существенно использующих указанную возможность ([50], [51], [171]). С нашей точки зрения, использова'^ ние таких стереоальбомов нри работе с нредставленными выше методическими материалами позволяет более эффективно достигать цели нашего исследования, так как в стереочертежах заложена возможность изменения содержания учителем при реализации собственных методических идей. Вычислительные, графические, мультимедийные возможности комньютера, номноженпые на интуицию и опыт педагога, приводят к лучшим результатам, чем использование современных ограниченных схем программируемого обучения. Геометрическое исследование в среде Живой математики состоит в само^ стоятельном выполнении учениками построения некоторой фигуры или конфигурации по полученной инструкции, вынолнении указанных измерений, формулирования предположений, носледующей проверки справедливости предположений нри некотором изменении фигуры и идеи доказательства или его са мостоятельного проведения. Живая математика позволяет создавать красочпые, легко варьируемые и редактируемые чертежи, осуществлять операции над ними, а также производить все необходимые измерения. Созданные здесь чертежи легко использовать при оформлепии проектов, докладов, рефератов и т.п. Программа обеспечивает деятельность учащихся в области анализа, исследования, построений, доказательств, рещения задач, головоломок и даже рисования;
позволяет обпаруживать закономерности в наблюдаемых геометрических явлениях, формулировать теоремы для носледующего доказательства, подтверждать уже доказанные теоремы и развивать их нонимание. Алгоритм использования указанной программы полностью соответствует этапам учебной деятельности, что, как мы показываем, позволяет формировать мировоззрение старшеклассников средствами обучения геометрии. Использование компьютеров и современных мультимедийных устройств учащимися естественнонаучных профилей обесиечивает эффективное применение информационных технологий как средств, обладающих наибольшим личностно развивающим эффектом и формирующих математическое мировоззрение. Предлагаемая программа компьютерпого математического общества В мире многогранников нозволяет не только изучить один из увлекательных разделов геометрии, но и осуществить геометрические исследования в предметно-ориентированной среде Живая математика. Интегрирование содержания разных предметных областей и организация ситуаций при обучении нредмету, включающих учеников в активную деятельность, создает возможность формирования у школьников полезных мировоззренчески значимых качеств. Примерное содержание может быть следующим: 1. С чего всё начиналось? (Начала геометрии. Историческая справка). Знакомство с Живой математикой (ЖМ). Основные возможности программы: точки и отрезки, команды построения;
имена, надниси и измереиия;
измерения и многоугольники;
измерение окружностей, углов и дуг;
таблицы. 2. Параллельное проектирование. Параллельпые проекции плоских фи гур. Изображение нространственных фигур на плоскости. Что такое многогранник? Задачи на ностроение сечений многогранника. Построение сечений многогранника в ЖМ. 3. Центральное проектирование. Изображение нространственных фигур в центральной нроекции. Великие художники Возрождения: Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер. Знакомство с геометрией нростраиства. Божественная пропорция с точки зрения ЖМ. 4. Леонард Эйлер и его знаменитая теорема. Приложения теоремы Эйлера. Понятие топологии. Проблема четырех красок, прогулки по тропинкам и мостам. Основы теории графов. Иллюстрации задач с помощью ЖМ. Идеальные, космические фигурыЧ тела Платона. Кубок Кеплера. Правильные многогранники. Тела Архимеда (равноугольные полуправильпые многогранники) и Кеплера- Пуансона (правильные звездчатые многогранники). Моделирование многогранников. Развертки. Построение разверток. 5. Паркеты из правильных многоугольников. Использование ЖМ для конструирования паркетов. Третья проблема Гильберта. Кристаллы Ч природные многогранники. Симметрия пространственных фигур. Использование ЖМ для нахождения осей и центров симметрии многогранников (преобразования и движения). 6. Конические сечения. Построение эллипса. Построение параболы. Построение гиперболы. Вращение многогранников. Тела вращения. Использование ЖМ при решении задач. 7. Координаты и уравнения в ЖМ. Аналитическое задание пространственных фигур. Многогранники в линейном программировании. Задача о диете. Транспортная задача. Графики в ЖМ. Полярные координаты. Кривые, заданные уравнением в полярных координатах. Сферические координаты. Измерения в ЖМ. Объем и площадь поверхности пространствеппых фигур. В ходе занятий старщеклассники работают в компьютерном классе, оборудованном современными мультимедийными устройствами, что обеспечивает использование информационных технологий как средства обучения, формирующего мировоззрение. Тиничпыми формами использования Живой матемаt" тики на занятиях с учащимися являются: фильм (как демонстрационная форма), задачник (как традиционная форма освоения материала), учебник (как форма работы с новым понятием), проект (как проектная форма работы). Эти формы сочетаются с традиционными формами работы в классе (фронтальной, коллективной и индивидуальной). Пример одной из таких работ, демонстрирующей пошаговое построение икосаэдра в интерактивной среде Живая математика, нредставлен в приложении (Приложение 2). Для того чтобы традиционная система геометрической нодготовки школьников отражала изменения, нроисходящие в системе профильного образования в связи с информатизацией школы, к ней могут быть добавлены следующие цели обучения, реализация которых повышает эффективность учебной деятельности. Формирование научного мировоззрения. Курс геометрии в ряду других математических дисциплин должен содействовать формированию достаточно выХ ^ сокого уровня естественнонаучной подготовки школьников. Должны быть сформированы отчетливое представление о применяемых в геометрии методах, в том числе и компьютерных, актуальный взгляд на геометрию как науку, использующую средства современных информационных технологий. Обеспечение знаний, умений и навыков. Оно должно обеспечить учащимся возможности, необходимые для применения компьютерных средств в геометрических исследованиях, возможность самостоятельной работы с использованием компьютера в качестве эффективного средства познания геометрии. Развитие математического мышления. Изучение курса геометрии в должно обеспечить развитие математического мышления школьников с нрисущими ему качествами: полнотой аргументации;
доминированием логической схемы рассуждений, лаконизмом;
четкой расчлененностью хода рассуждений;
скру пулезпой точпостью символики. Особое внимание следует обратить на использование компьютеров для развития пространственного мышления, в котором восприятие пространственных образов корректируется теоретическими соображениями, знанием фактов геометрической науки. Воспитание интереса к геометрии. Изучение курса геометрии в школе должно обеснечить устойчивый интерес к геометрии, прежде всего как к науке о пространственных формах, развивать пространственную интуицию. Учашихся следует увлечь логической стройностью курса, красотой и изяществом доказательств, неожиданностью решений, возможностью конструировать геометрические образы па экране дисплея. Формирование математической и информационной культуры. Изучение курса геометрии в школе должно обеспечить формирование математической и информационной культуры современного человека. Необходимо добиваться чёткой формулировки основных онределений и положепий теории, логически верного, последовательного и грамотпого изложения своих мыслей. В области информационной надо приучить школьников к мысли, что информатика изучается не только ради преподавапия этой дисциплины в школе, но и для того, чтобы использовать компьютер при изучении других дисциплин, что без соответствуюших умений трудно говорить об информационной культуре. Методы работы, рассмотренные ниже, непосредственно базируются на использовании современных информационных технологий в обучении и позволяют разнообразно организовывать разработанные этапы при прохождении мировоззрепческих учебных ситуаций. 1. Метод иснользовапия компьютера как инструмента, позволяющего зпачительно расширить иллюстративную базу курса геометрии, имея в виду использовапие демонстрационных нрограмм, подготовленных заранее с помощью пакетов или языков профаммирования. К ним относятся не только статические образы геометрических объектов. Более эффективным является показ геометрических объектов в динамике, возможность пошагового построения чертежей, иллюстрация процесса изменения геометрических объектов с изменением значений параметров, возможности визуализации сечений различных геометрических тел, а также геометрических преобразований и многое другое. Очевидно, что этот метод относится к группе объяснительно-иллюстративных методов. 2. Метод использования компьютера для формирования алгоритмической культуры. Учащиеся должны не только овладевать готовыми алгоритмами, но и научиться составлять их. И это другой, более высокий уровень познавательной деятельности. Ведь для того чтобы написать алгоритм, надо решить соответствующую задачу. Поэтому к репродуктивным методам относится только работа с готовыми алгоритмами. 3. Метод использования компьютера при решении вычислительных задач геометрии. Известно, что авторы учебников и задачников, как правило, специально подбирают числовые данные таким образом, чтобы работа с числами не заслоняла от учеников сам процесс решения задачи. Однако, с одной стороны, систематическое использовапие специально подобранных лудобных чисел, придает учебному процессу искусственный характер, а с другой Ч сам такой подбор возможен только в сравнительно простых задачах и при условии, что процесс решения не предполагает их случайных изменений. Снять эту проблему можно, используя компьютерные технологии. То, что при этом необходимо писать программу, вряд ли можно рассматривать как дополнительную ненужную нагрузку. Ведь написание такой программы невозможно без тщательно проработапного алгоритма, что само по себе и является общим решением задачи. Система таких задач может использоваться при работе на частично-поисковом и на исследовательском уровнях. 4. Метод использования компьютера при решении задач на визуализацию геометрических объектов. Известно, что в подавляющем больщинстве решаемых в курсе геометрии задач требуется доказать тот или иной геометрический факт;
построить фигуру;
написать уравнение линии, поверхности;
выяснить взаимное расположение линий;
вычислить длину отрезка, площадь фигуры, объем тела и т.д. Очень редко подобные задачи сопровождаются требованием изобразить соответствующий объект, выяснить особенности его формы и влияние на него параметров. В результате не пополняется в должной мере объем зрительных представлений геометрических объектов и не формируется понимание связи, существующей между аналитическим выражением и соответствующим образом. Исправить это положение опять-таки может использование компьютерных технологий. 5. Метод использования компьютерных технологий в качестве средства создания творческого, эмоционального отнощения к процессу решепия задач. Возможности компьютерной визуализации могут быть использованы для создания творческого, эмоционального отношения к процессу решения задач. Так, например, после того как ученики, нанисав программу, визуализируют изучаемый геометрический объект, им можно нредложить внести в это изображение те или иные изменения (вытянуть, сжать, повернуть и т.д.), самостоятельно выясняя к каким последствиям приводят их действия. Наличие наглядного образа, который в результате ошибочных действий обучаемого может принять причудливую форму, придает решению эмоциональную окраску. 6. Метод использования компьютерных технологий в качестве средства экспериментирования и моделирования. В ряде случаев при решении задач и проверке гипотез бывает полезным прибегать к помощи компьютерного экспериментирования и моделирования. 7. Метод учебных информационно-ориентированных нроектов. Под учебным информационно-ориентированным нроектом по геометрии мы будем понимать специальное учебное задание по компьютерной реализации некоторой среды, состоящей из сложно-организованных геометрических объектов, включающее в себя рещение задач геометрического характера, составление аналитической и информационной моделей, ввод, обработку и вывод на экран дисилея графической информации. В системе учебных проектов применение инструментов нознания реализуется в наиболее полном объеме. Широкое использование комньютерных технологий нредъявляет к учебХ" f никам и учебным пособиям дополнительные требования. Эти требования не сводятся, как может показаться на первый взгляд, лишь к необходимости создания специальных пособий по компьютерной поддержке основного курса. Кроме того, традиционную систему задач в пособиях или задачниках важно нополнить заданиями, ориентированными на использование комньютера. Для проверки эффективности разработанных выше рекомендаций по изучению тем, связанных с решением задач но геометрии в естественнонаучных классах, опираюшихся на выявленные методические особенности обучения математике данных школьников, был нроведен эксперимент, результаты которого освещены ниже.
з 7. Результаты педагогического эксперимента Экспериментальная проверка диссертационных материалов проводилась в ГОУ СОШ Я 1690 Преображенская школа В АО г. Москвы с 1994 по 2005 -^ год и в ЦО К9.3Л5 ЦАО с 2004 по 2005 год. Весь эксперимент был условно разделен на следующие этапы: 1. Констатирующий (1994-1999 гг.). 2. Поисковый (1999-2003 гг.). 3. Обучающий и контролирующий (2003-2005 гг.). На первом этапе проводился эксперимепт, целью которого было изучение: а) теоретических подходов к процессу мировоззренчески нанравленного обучения математике в старщих классах (общеобразовательных и с углубленным изучением математики);
б) практического опыта математического образования учащихся, ориентированных на естественнонаучную деятельность. Па данном этане примепялись следующие методы исследования: изучение и анализ литературы по теме исследования;
изучение опыта работы щколы по проблеме дифференциации обучения;
беседы с учителями и учащимися;
Pages: | 1 | 2 | 3 | Книги, научные публикации