Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 9 О коэффициенте Нернста бинарных композитов в слабом магнитном поле й Б.Я. Балагуров Институт биохимической физики им. Н.М. Эмануэля Российской академии наук, 119991 Москва, Россия (Получена 9 декабря 2002 г. Принята к печати 30 декабря 2002 г.) Рассмотрены термогальваномагнитные свойства двухкомпонентных изотропных композитов в линейном по магнитному полю H и термоэдс приближении. Показано, что эффективный коэффициент Нернста содержит трехпараметрическую функцию, которая может быть выражена через электрическое поле и градиент температуры в среде при H = 0 и = 0. Это позволяет оценить численными методами.

1. Введение трехпараметрическая функция. Решение уравнений постоянного тока методом разложения по степеням H В теории стационарных явлений переноса в неодно- и дало возможность выразить величину через родных средах наиболее, по-видимому, общей является напряженность электрического поля и градиент темзадача о термогальваномагнитных свойствах этих си- пературы в среде при H = 0 и = 0. (Заметим, что стем. Естественно, что она является и наиболее слож- некоторые из этих результатов приведены без вывода ной, так что при ее решении возникают еще большие в кратком сообщении [2]). Отмечено, что табулирование трудности, чем при рассмотрении термоэлектрических численными методами безразмерной проводимости b и или гальваномагнитных свойств неоднородных сред. Тем функции позволит дать в линейном по H и прине менее в случае двумерных изотропных двухком- ближении описание всех основных электрофизических понентных систем для этой задачи может быть дано характеристик изотропных бинарных композитов.

полное решение с помощью преобразований симметрии (см. [1]). Полученные в [1] соотношения изоморфизма 2. Предварительные замечания позволяют выразить эффективные термогальваноманитные характеристики таких систем через свойства комОбсудим сначала постановку задачи и введем необпонент и через безразмерную эффективную проводиходимые обозначения. Для вычисления эффективных мость f, определенную в отсутствие магнитного поля термогальваномагнитных характеристик неоднородной и без учета термоэлектрических эффектов.

среды нужно решить систему уравнений постоянного Преобразование полей и токов, использованное в [1], тока [3] справедливо только для двумерных систем и не переносится на трехмерный (D = 3) случай. Отсутствие при div j = 0. rot E = 0; div q = 0, rot G = 0; G = -T.

D = 3 достаточно общего преобразования симметрии (1) не позволяет в трехмерном случае применить подход Здесь E Ч напряженность электрического поля, j Ч работы [1] и делает сомнительной возможность решить плотность электрического тока, T = T (r) Ч темпераэту задачу какими-либо другими методами без упрощатура среды в точке r, q Ч плотность потока тепла, ющих предположений. Определенные упрощения могут деленная на среднюю температуру образца (см. [1]).

возникнуть при наложении некоторых ограничений на В линейной по E и G задаче материальные уравнения свойства компонент (см. разд. 3). Задача значительно имеют вид облегчается и при часто реализуемых в эксперименте условиях Ч слабом магнитном поле H и малой термо j = (r)E + (r)G, q = (r)E + (r)G;

электрической связи (т. е. при малом термоэлектрическом коэффициенте ).

- =, = T + 2, (2) В настоящей работе рассмотрены термогальваномагнитные свойства изотропных двухкомпонентных сред в где (r), (r) и (r) Ч тензоры проводимости, теплолинейном по магнитному полю H и по термоэлектриче проводности и термоэдс среды, T Ч средняя температускому коэффициенту приближении. С помощью фенора образца.

менологического подхода, использующего следствия из Эффективные характеристики среды определяются некоторых частных преобразований симметрии, установобычным образом:

ена структура холловской составляющей эффективного тензора термоэдс. Показано, что в эффективный коэф j = e E + e G, q = e E + e G ;

фициент Нернста входит одна не вычисляемая в теории -1 E-mail: balagurov@deom.chph.ras.ru e = ee, e = T e + ee, (3) О коэффициенте Нернста бинарных композитов в слабом магнитном поле где... означает усреднение по объему образца V : проводимости только обозначениями, так что = f (p, / ); (8) (...) = (...) dr, (4) e 1 2 V V = +( - ) ; = (p, / ), (9) ae a2 a1 a2 2 при V.

где функции f и Чте же, что и в (6), (7).

Для изотропной системы, помещенной в магнитное Прежде чем перейти к определению тензора e поле H, тензор проводимости имеет вид (или e), рассмотрим следствия из инвариантности x a уравнений (1), (2) относительно некоторых частных -a x =, (5) преобразований полей и токов.

0 0 z где принято, что H направлено по оси z. В целях 3. Преобразования симметрии упрощения последующих формул в (5) введены обозначения x = xx = yy, z = zz и a = xy = -yx соот1. Нетрудно видеть, что уравнения (1) сохраняют ветственно для поперечной, продольной и холловской свой вид при преобразовании симметрии, обобщающем составляющих тензора проводимости. Аналогичный вырассмотренное в [5,6] ражению (5) вид имеют тензоры, и, следовательно, тензоры,. Для двухкомпонентной среды тензоры E = E, j = j + aE + BaG ;

(r), (r), (r) принимают постоянные значения 1,, 1 и 2, 2, 2 в первой и второй компонентах G = G, q = q + aE + DaG. (10) соответственно.

Таким образом, в теории термогальваномагнитных Здесь a, Ba, a, Da Ч независящие от координат анти свойств трехмерных изотропных двухкомпонентных симметричные тензоры: Aa = -Aa и т. д. Для Дштрисред требуется определить девять эффективных харакхованнойУ системы материальные уравнения сохраняют теристик xe, ze, ae,,,, xe, ze, ae. Кажxe ze ae (при Ba = a ) вид (2), причем дая из них является многопараметрической функцией, зависящей от концентрации p и величин 1, 2,,, 1 (r) = (r) - a, (r) = (r) - Ba, (r) = (r) - Da.

1, 2, т. е., как минимум, от девятнадцати аргументов.

(11) В такой общей постановке задача чрезвычайно сложна Аналогичными соотношениями связаны и эффективные и без упрощающих предположений ее решение вряд ли характеристики исходной (e, e, e) и штрихованной возможно. В настоящей работе рассматривается случай (e, e, e) систем H 0, когда малы холловские составляющие ai,, ai ai. Предполагается, кроме того, что малы термоэлек e = e + a, e = e + Ba, e = e + Da. (12) трические эффекты, чему формально отвечает (или 0).

Рассмотрим двухкомпонентную среду и положим В слабом магнитном поле (H 0) величина a ли a = a2, Ba = a2 и Da = a2, где a2, a2, a2 Ч нейна по H, а поправки к x и z Ч квадратичны.

антисимметричные части тензоров 2, 2, 2. Тогда в Поэтому в линейном по H приближении, которым штрихованной системе холловские составляющие втомы в дальнейшем и ограничимся, следует положить рой компоненты равны нулю (a2 = 0, a2 = 0, a2 = 0), x = z =, где Ч скалярная проводимость среды а для первой имеем a1 = a1 - a2, a1 = a1 - a2, при H = 0. Аналогичным образом, при H 0 линейны a1 = a1 - a2. Таким образом, величины e, e и e по H величины, a (и, следовательно, a, a) и в том a зависят от холловских составляющих только в виде же приближении = =, x = z =. В отсутствие x z разностей a1 - a2, a1 - a2 и a1 - a2. Это означает, термоэлектрических эффектов ( = 0, = 0) проводисогласно (12), что в исходной системе величины xe, мость системы при H = 0 можно записать в виде ze, ae - a2, xe, ze, ae - a2, xe, ze, ae - aтакже зависят только от a1 - a2, a1 - a2 и a1 - a2.

e = 1 f (p, 2/1). (6) Заметим, что выражения (7) и (9) удовлетворяют этим Здесь f Ч безразмерная эффективная проводимость требованиям.

среды, p Ч концентрация (доля занимаемого объема) 2. Покажем теперь, что в двух частных случаях задача первой компоненты. Для эффективной холловской соо термогальваномагнитных свойствах может быть решеставляющей ae при H 0 имеем [4,5] на путем сведения к задачам об электропроводности и теплопроводности, вычисленных без учета термоэлекae = a2 +(a1 - a2) ; = (p, 2/1), (7) трических эффектов.

где Ч двухпараметрическая функция, зависящая от Пусть тензор имеет вид свойств среды при H = 0 (см. [4,5]). Задача о теп лопроводности (при = 0) отличается от задачи о (r) = (r), (13) Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 1096 Б.Я. Балагуров где не зависит от координат. С помощью преобразова- 4. Феноменологическое рассмотрение ний (ср. с [6,7]) Как показано в работе [5], в случае задачи о гальвано- магнитных свойствах двухкомпонентных сред структура j = j, E + G = E ; q = j + T q, G = G (14) эффективного тензора проводимости (при H 0) может быть установлена с помощью симметрийных сообраприведем исходную задачу к двум независимым задачам жений. Подобный феноменологический подход оказывается полезен и при изучении термогальваномагнитных div j = 0, rot E = 0, j = (r)E, j = e E ;

свойств неоднородных сред. Рассмотрим сначала термоэдс e при H = 0.

div q = 0, rot G = 0, q = (r)G, q = G, (15) e 1. Для изотропных двухкомпонентных систем величина e в линейном по приближении должна иметь вид откуда следует, что эффективные тензоры проводимости e и теплопроводности e имеют тот же вид, что и при e = 1 + 2. (21) 1 = 0. Подставляя в j = e E выражения для j и E Здесь коэффициенты и зависят только от свойств 1 из (14), получим j = e E + e G, откуда среды при = 0, т. е. являются трехпараметрическими функциями: = (p; 2/1, / ).

i i 2 e = e. (16) Выражение (21) справедливо при любых 1, 2 и поэтому должно удовлетворять условиям, накладываемым К этому же результату приводит и усреднение плотности на e соотношениями (16) и (20) (при соответствующем - потока тепла q = j + T q. Отметим, что из (16) выборе величин 1 и 2). Положив 1 = 2 =, заклюследует чаем, что (21) переходит в e =, если + = 1.

1 1 Поэтому, обозначив через, из (21) получаем e = 1, 1 =.

0 e = 1 - (1 - 2). (22) Рассмотрим теперь случай, когда тензор пропорциВ линейном по приближении из (17) и (20) следует, онален тензору :

- что при i =( /i )T (где i = 1, 2) выражение (22) i должно переходить в e =( /e)T-1. Из этого требоe (r) = (r), (17) вания определяем функцию :

1 e 1 где не зависит от координат. С помощью преобразова = - -. (23) 1 e 1 ний Подстановка (23) в (22) дает окончательно j = j + q, E = E ; q = q, G + E = G (18) 12(1 - 2) 1 e e = 1 + -. (24) 1 - 2 1 e вновь приводит задачу к двум независимым 2 Выражение (24) совпадает с точным результатом, полу div j = 0, rot E = 0, j = (r)E, ченным другим методом в [6] (см. также [8]). В(23), (24) e и Ч эффективные электропроводность и теплопроe (r) = (r) - 2(r), j = e E ; водность, вычисленные без учета термоэлектрических эффектов, так что они даются формулами (6) и (8).

Отметим одну существенную деталь: соотношением (23) div q = 0, rot G = 0, q = (r)G, q = e G.

трехпараметрическая функция (p; 2/1, / ) ре(19) 2 Подстановка в q = e G выражений для q и G дуцируется до уровня двухпараметрических функций f (p, 2/1) и f (p, / ). Именно это обстоятельство 2 из (18) дает q = e E + e G, откуда позволяет дать последовательную теорию критического поведения термоэдс (см. [6,9]).

e = e. (20) 2. Рассмотрим теперь холловскую составляющую тен зора e. В линейном по H и (т. е. ) приближении Согласно (19), величина e может быть получена из величина ae должна иметь вид тензора теплопроводности e, вычисленного без учеae = a2 +(a1 - a2) +(a1 - a2)(1 + 2 ) та термоэлектрических эффектов, заменами 1, 1 2. Тензор электропроводности e определяется с +( - )(1 + 2 ). (25) a1 a2 3 помощью соотношения e = e + 2e.

Несмотря на свою сравнительную простоту, результа- Здесь зависимость ae от ai, ai, записана в соai ты (16) и (20) играют важную конструктивную роль при ответствии с требованиями, вытекающими из преобфеноменологическом анализе (см. разд. 4). разования симметрии (10). В (25) коэффициенты, Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. О коэффициенте Нернста бинарных композитов в слабом магнитном поле,,, зависят только от свойств среды при стандартных задач о проводимости и теплопроводности 1 2 3 H = 0 и = 0, т. е. являются трехпараметрическими среды при H = 0 и = 0. Эффективные термогальванофункциями: = (p; 2/1, / ) и т. д. магнитные характеристики системы ищутся с помощью 2 Согласно (13), (16), при i = i, ai = ai выра- теории возмущений Ч разложением по степеням H жение (25) должно переходить в ae = ae. Из этого и. Подобным методом ранее были рассмотрены гальтребования с учетом (7) получаем ваномагнитные [5] и термоэлектрические [10] свойства неоднородных сред.

+ 1 + 2 =, 1 + 2 = 0. (26) 1 2 3 Обозначим через E()(r), G()(r) и j()(r), q()(r) напря женности полей и плотности токов в среде (в точке r), Далее, из (17) и (20) следует, что при i = /T, i определенные при заданных значениях E(), G(), ai = /T величина ae должна иметь вид ai где индекс означает, что среднее поле направлено ae = /T. В этом случае из (25) и (9) имеем ae вдоль оси. Для этих величин может быть доказан ряд + = 0, + + =. (27) 1 1 2 2 1 3 2 тождеств (ср. с [5,10]) Находя из (26), (27) функции,, и, получаем 1 2 3 E()j() = E() j(), G()q() = G() q() ;

окончательно 1 - 2 [E(), G()] = E(), G(), (30) ae = a2 +(a1 - a2) - (a1 - a2) ( - ) 1 - 2 справедливых при V. В (30) квадратная скобка 12 - означает векторное произведение.

+( - ) ( - ), (28) a1 a1 - 2 1 Согласно (28), для определения неизвестной функции достаточно рассмотреть случай ai = 0, = 0.

ai где величины, определены согласно (7), (9) и счиВоспользуемся этим обстоятельством для упрощения таются известными (основные свойства функции (p, h) задачи. В линейном по H и приближении из тожрассмотрены в [5]). Эффективный коэффициент Нерндеств (30) методом работ [5,10] для ae получаем ста Ne выражается через ae из (28) следующим обравыражение (28) (с ai = 0 и = 0), причем ai зом:

1 ae Ne = -. (29) = [E(), G()]z - [E(), G()]z (1) H e 0 0 0 Отметим, что в работе [2] результат (28) приведен без -вывода. [ E(), G() ]z - [ E(), G() ]z ( = ). (31) 0 0 0 Таким образом, феноменологический подход позволяет найти общий вид величины ae (в линейномпо H и Значок z у квадратных скобок означает, что берется приближении) с точностью до одной новой неизвестной -составляющая векторного произведения. В (31) в веz функции. В выражении (28) в явном виде выделена личинах E0(r) и G0(r) следует положить H = 0 и = 0.

зависимость ae от всех термогальваномагнитных харак- Интегрирование в теристик компонент. Зависимость же ae от основных параметров p, 2/1, / содержится в функциях (1) 2 (...) = (...) dr V и,. К сожалению, в общем случае не удается Vпроизвести редукцию трехпараметрической функции до уровня двухпараметрических. Это обстоятельство не ведется по объему первой компоненты.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам