Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 8 Расчет подвижности и термоэлектрической эффективности многослойных структур с квантовыми ямами й Д.А. Пшенай-Северин, Ю.И. Равич Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Санкт-Петербургский государственный технический университет, 195251 Санкт-Петербург, Россия (Получена 13 декабря 2001 г. Принята к печати 10 января 2002 г.) Произведен расчет термоэлектрической добротности многослойных структур с квантовыми ямами с учетом изменения времени релаксации носителей по сравнению с объемным образцом. Учитывались механизмы рассеяния на акустических фононах, близкодействующем потенциале примесей и полярного рассеяния в приближении изотропного параболического закона дисперсии носителей. Использованная модель основана на предположении, что фононный спектр в сверхрешетке не отличается от объемного. Кроме того, рассеяние считается упругим и используется приближение времени релаксации для всех трех рассмотренных механизмов рассеяния. Сравнение с расчетом для объемного образца показало, что учет уменьшения времени релаксации в двумерном случае приводит к тому, что выражения для термоэлектрической добротности в обоих случаях совпадают и их величины оказываются равными, если химический потенциал в каждом из случаев выбирается из условия максимума добротности.

1. Введение с экспериментальными данными из работы [2]. В то же время численный расчет добротности в работе [4] Интенсивные теоретические и экспериментальные испоказал, что соответствующего роста Z с уменьшением следования квантово-размерных структур, произведентолщины ям не наблюдается. Это говорит о необные в последние десятилетия, привлекли внимание такходимости с осторожностью делать выводы о росте же и к возможности их использования для увеличения добротности на основании данных о факторе 2n изтермоэлектрической эффективности Z. Исследования в за изменения подвижности носителей в таких струкэтом направлении начались с работ Хикса и Дрессельтурах.

хауз [1], которые показали путем расчета, что можно Поэтому представляется полезным рассмотреть вновь существенно, в 2Ц3 и более раз, увеличить Z путем проблему термоэлектрической эффективности многоприготовления термоэлектрического материала в форме слойных структур с учетом уменьшения подвижности многослойных структур с квантовыми ямами. Основной в простейшей и в то же время реалистичной модевыигрыш в термоэлектрической эффективности достили, позволяющей произвести расчет в аналитической гался за счет увеличения плотности состояний носитеформе при произвольных параметрах полупроводника.

ей тока вблизи краев зон в двумерных системах по Использованная модель основана на допущении, что сравнению с трехмерными. При этом предполагалось, что размерное квантование не приводит к изменению фононный спектр не изменяется существенным обподвижности носителей тока вдоль слоев. В работе [2] разом при переходе к многослойной структуре, т. е.

экспериментально исследовались слоистые структуры, фононы остаются объемными. Кроме того, темперасостоящие из квантовых ям на основе PbTe, разделенных тура считается достаточно высокой по сравнению с барьерами из Pb1-xEux Te. Подвижность носителей в температурой Дебая, так что рассеяние на акустичеквантовых ямах, так же как и в работе [1], считаских и оптических фононах упругое, как и на прилась неизменной по сравнению с объемным образмесных центрах, и во всех рассмотренных случаях цом. Результаты измерений термоэдс и концентраможно пользоваться приближением времени релаксации.

ции носителей n показали, что фактор 2n растет с Мы рассмотрим рассеяние носителй тока на акустиуменьшением толщины квантовых ям a. Из этого был ческих колебаниях, полярное рассеяние на оптических сделан вывод о возможности увеличения Z в таких фононах и рассеяние на близкодействующем потенциструктурах.

але примесных атомов в приближении стандартного Однако, как было отмечено в работах [3,4], тот же (изотропного параболического) закона дисперсии ноэффект увеличения плотности состояний, который обессителей.

печивает повышение концентрации при данном химичеОснованя цель расчета заключается в выяснении воском потенциале, приводит к неизбежному падению попроса Ч может ли в принципе изменение плотности движности, что было подтверждено численным расчетом электронных состояний при размерном квантовании для конкретного полупроводника (PbTe). В работе [4] был проведен численный расчет добротности и факто- приводить к увеличению термоэлектрической эффективра 2n. Зависимость 2n от величины a согласуется ности.

Расчет подвижности и термоэлектрической эффективности многослойных структур... 2. Время релаксации при рассеянии где введено обозначение на акустических фононах a x = qz. (6) В случае достаточно узкого слоя, представляющего Матричный элемент M не зависит от волнового вектора собой квантовую яму для электронов, все электрофонона q и имеет вид ны находятся вблизи дна нижней подзоны размерного квантования. Если потенциальные барьеры достаточно 1k0T высоки, то волновая функция электрона может быть M =, (7) записана в виде 2NM0v2 a 1 где k0 Ч постоянная Больцмана, T Ч абсолютная (r) = sin eik, (1) k температура, а v0 Ч скорость звука. Тогда обратное a z S время релаксации в двумерном (2D) случае дается где k Ч волновой вектор электрона в плоскости ямы, выражением координата r имеет составляющие: Ч в плоскости 2 q + ямы и z Ч в направлении, перпендикулярном плоскости; -2D = - |M|2 |Y (qz )|2 (k + q ) - (k ) k a Ч толщина, а S Ч площадь слоя. В соответствии q с методом деформационного потенциала потенциальная энергия взаимодействия электрона с акустическими ко-|Y (qz )|2 (k - q ) - (k ), лебаниями имеет вид [5] (8) в котором (k ) Ч энергия электрона с волновым вектоiром k, q и k Ч проекции волновых векторов фонона U(r) =1div u(r) = q aqeiqr + ae-iqr, (2) q NM0 q и электрона на вектор, определяющий направление обобщенной силы (вектора электрического поля или где 1 Ч константа деформационного потенциала, градиента температуры).

u(r) Ч смещение точки r кристалла, описывающее Переходя в (8) от суммирования к интегрированию и акустические колебания решетки в континуальном припроводя последнее, получим ближении, N Ч число элементарных ячеек в объеме кристалла, M0 Ч масса элементарной ячейки, q Чвол- -2D = |M|2Vg2DX, (9) новой вектор фонона, а aq Ч комплексные нормальные координаты. Фононы при этом считаются не подвергде g2D = m/(2 ) Ч двумерная плотность электронженными влиянию неоднородностей, вызывающих появных состояний, m Ч эффективная масса электрона, ление квантовых ям для электронов, т. е. это обычные а X Ч величина, получающаяся из (5) интегрированием фононы в трехмерном кристалле объемом V = Sa. Тогда, по qz :

используя (1) и (2), для матричного элемента перехода электрона между состояниями с волновыми вектора- dqz ми k и k в нижней подзоне размерного квантования с X = |Y (qz )|участием акустического фонона с волновым вектором q получим 1 sin x = dx = a-1. (10) Mk k = d3r[ (r)U(r) (r)]. (3) k k a x(1 - x2) V Полученное выражение для 2D совпадает с имеющимПосле интегрирования матричный элемент имеет вид ся в литературе [6Ц8]. Его нужно сравнить с соответствующим временем релаксации для трехмерного (3D) Mk k q = MY(qz ), (4) кристалла:

где знаки (+) и (-) соответствуют переходу электрона в -3D = |M|2Vg3D, (11) состояние k = k +q с поглощением фонона и в состо- яние k = k -q с испусканием фонона соответственно. mk g3D =. (12) Множитель M равен обычному матричному элементу, 22 возникающему в теории деформационного потенциала Сравнение показывает, что в размерно-квантованном в трехмерном случае, а функция Y(qz ) Ч результат слое время релаксации для рассеяния на акустических интегрирования по переменной z :

фононах, пропорциональное малой толщине a, существенно меньше, чем в объемном кристалле:

a 2 eix sin x z Y (qz ) = sin2 z eiq z dx =, (5) 2D 2ka a a x(1 - x2) =. (13) 0 3D Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 976 Д.А. Пшенай-Северин, Ю.И. Равич Далее, после получения аналогичных результатов для Поскольку близкодействующий потенцил отличен от двух других механизмов рассеяния, будет показано, что нуля только в малой области 0 r3 вблизи прифактор (13) полностью компенсирует изменение кинети- месного атома, область интегрирования в (16) можно ческих коэффициентов и термоэлектрической эффектив- заменить на 0. Тогда для всех r r0, поскольку rности, происходящие за счет модификации вида функции имеет величину порядка постоянной решетки, для расплотности состояний при размерном квантовании.

сеяния носителей с малым k будем иметь kr 1. Тогда экспоненты, стоящие под интегралом в (16), близки к единице. Кроме того, при малых k закон дисперсии элек3. Время релаксации при рассеянии тронов слабо отклоняется от параболического, поэтому на близкодействующем потенциале в том же приближении можно считать, что блоховские примесей и дефектов амплитуды uk(r) слабо зависят от k и равны u0(r).

Учитывая это, имеем Изменение плотности состояний благодаря размерному квантованию приводит к увеличению концентрации i e-ir (k -k) Mkk = C, (17) носителей тока при данном химическом потенциале, что V требует повышения концентрации электрически активной примеси. Мы будем считать, что примесные атомы где не зависящая от волновых векторов k и k величирасположены в проводящих слоях, эфективно рассеивая на C равна носители тока. Хотя существует способ уменьшения рассеяния на примесях путем легирования барьеров между C = u(r )U(r )u0(r )d3r. (18) квантовыми ямами [9], так что носители и примеси ока зываются пространственно разделенными, конкретная реализация того или иного механизма рассеяния имеет Таким образом, квадрат матричного элемента, как и в для нас второстепенное значение, поскольку главная случае акустического рассеяния, не зависит от волновых цель работы заключается в решении вопроса о влиянии векторов электрона и равен модификации плотности состояний на явления переноса при различных механизмах рассеяния.

|C|Во многих термоэлектрических материалах, напри- |Mkk |2 =. (19) V мер PbTe [10], кулоновский потенциал ионизированных примесей и точечных дефектов с точки зрения рассеяния Обратное время релаксации для объемного образца малоэффективен, и рассеяние происходит главным обрапри рассеянии на единичной примеси будет иметь зом на внутренней части потенциала примесных атомов.

вид (11), где необходимо заменить |M|2 на величиМожно предположить, что близкодействующий потенци- ну |C|2/V. При независимом рассеянии на примесных ал U(r) имеет радиус дейтвия r0 порядка межатомных атомах, равномерно распределенных по объему образрасстояний.

ца V, время релаксации для рассеяния на одной примеси Для вычисления матричного элемента взаимодействия должно быть домножено на их число NI:

электрона с примесным центром в трехмерном образце объема V используем блоховскую функцию 2 -3D = NI |Mkk |2Vg3D = |C|2nIg3D, (20) (k) = eikruk(r). (14) k V где nI = NI/V Ч концентрация примесей, а g3D, как и раньше, определяется формулой (12).

Матричный элемент перехода электрона из состояния Волновая функция электрона в квантовой яме с учес волновым вектором k в состояние с волновым вектом блоховского множителя имеет вид тором k при рассеянии на близкодействующем потенциале примесного атома, центр которого расположен в 2 точке ri, будет иметь вид (r) = sin z eik uk(r). (21) k a a S Mkk = d3r e-ik ru (r)U(r - ri)eikruk(r). (15) k Матричный элемент перехода для рассеяния на приV V месном атоме, находящемся в узле решетки ri в пределах квантовой ямы, равен Сделав замену переменной r = r + ri и воспользовавшись свойством периодичности блоховской амплитуды a uk(r) =uk(r ), получим 2 z Mk k = d3 dz e-ik sin V a i e-ir (k -k) r S Mkk = d3r e-ik u (r )U(r )eikr uk(r ).

k V z V u (r)U(r - ri)eik sin uk(r). (22) k (16) a Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Расчет подвижности и термоэлектрической эффективности многослойных структур... Проводя вычисления по аналогии с рассмотренным для которого матричный элемент обратно пропорционавыше случаем трехмерного образца в том же приближе- лен волновому вектору оптического фонона.

нии малых волновых векторов электрона, для квадрата Полярные оптические фононы более чувствительны модуля матричного элемента получим к неоднородностям, возникающим в слоистой структуре с квантовыми ямами. Расчеты спектров оптических 4|C|фононов, учитывающие пространственное квантование |Mk k |2 = sin4 z, (23) i V a фононов, производились в ряде работ (см., например, где z Ч составляющая координаты примесного атома ri i обзор [11] и список литературы в нем). Сравнение вдоль оси z.

различных моделей в случае рассеяния носителей в Обратное время релаксации носителей в квантовой квантово-размерных структурах на оптических фононах яме можно найти, используя (23), по формуле показало [12Ц15], что различия в результатах, получен ных с использованием оптических фононных спектров k - k -объемного типа и с использованием спектров, рассчи2D = - d3ri nI |Mk k | k танных в соответствии с более точными моделями, не k V слишком велики. В соответствии с этим будем рассмат ривать рассеяние электронов в слоистой структуре с ((k ) - k ), (24) квантовыми ямами на объемных оптических фононах в континуальном приближении.

где вектор и (k ) имеют тот же смысл, что и в (8), В этом приближении потенциал взаимодействия элека nI Ч объемная концентрация примесных атомов.

тронов с полярными оптическими колебаниями имеет Поскольку зависимость 2D от координаты примесного вид [5] атома входит в (24) только через матричный элемент (23), то, при равномерном распределении незави4e2l симых рассеивающих центров по объему квантовой ямы, U(r) =i [aqeiqr - ae-iqr], (27) q V q интегрирование по координатам примесных атомов даст q вклад в обратное время релаксации в виде множителя, где l Ч предельная частота продольных оптических равного колебаний, a d3ri nI sin4 z = nIS sin4 z dz i i i -1 -a a ()-1 = - 0, V и 0 Ч высокочастотная и статическая диэлектриче= nIV. (25) ские постоянные.

Матричный элемент рассеяния на оптических фоноВ результате, проведя суммирование в (24) по k, нах, учитывающий изменение числа фононов с волнополучим вым вектором q от величины Nq до Nq, имеет вид 2 -2D = |C|2nIg2D a-1. (26) Mk k = Nq, k |U(r)|Nq, k. (28) Сравнение времен релаксации для рассеяния на близкодействующем потенциале в объемном образце (20) и Используя волновую функцию электронов в виде (1), в слоистом образце с квантовыми ямами (26) снова дает получим формулу (13), т. е. отношение времен релаксации 2D и 3D для рассеяния на акустических фононах и близ4e2l + кодействующем потенциале примесей имеет одинаковый Mk k = i N (q)|aq|N(q) Y (qz ) V q вид.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам