Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 7 Расчет низкополевой подвижности квазидвумерных электронов сверхрешетки GaAs/Al0.36Ga0.64As в области температуры 77 K й C.И. Борисенко Сибирский физико-технический институт им. В.Д. Кузнецова 634050 Томск, Россия (Получена 30 ноября 2001 г. Принята к печати 4 декабря 2001 г.) Проведен расчет продольной и поперечной подвижностей квазидвумерных электронов сверхрешетки GaAs/Al0.36Ga0.64As в области температуры жидкого азота и концентраций электронов от 1013 до 1015 см-3.Учтено рассеяние электронов на полярных оптических фононах, акустических фононах и ионах примеси.
Уравнение Больцмана в линейном приближении по электрическому полю с учетом неупругого характера рассеяния на полярных оптических фононах решалось методом подгонки. Получены аналитические формулы для низкотемпературного продольного и поперчного времени релаксации на оптических фононах. Исследован вопрос о применимости уравнения Больцмана к анализу продольной проводимости в рассматриваемых сверхрешетках.
1. Введение пренебрегалось, так как рассматривались длиннопериодные СР [6]. Решение уравнения Больцмана с учетом Как известно, многие специфические свойства гетеронеупругого характера рассеяния на ПО фононах провоструктур с квазидвумерным электронным газом проявдилось методом подгонки вместо метода итераций [6,7], ляются в области низких температур [1Ц3]. Одной из неустойчивого в области низких температур. Линеаризоважных проблем, которые в связи с этим возникают, ванное уравнение Больцмана, как и в случае объемного является решение вопроса о применимости уравнения полупроводника [8], сводилось к функциональному уравБольцмана для анализа кинетических явлений в этих нению для поперечного и продольного эффективного условиях. В частности, это касается расчета продольной времени релаксации. Численный анализ продольной и проводимости электронов сверхрешеток (СР), в котопоперечной подвижности проводился для сверхрешетки рых ширина основной (нижней) минизоны значительно GaAs/Al0.36Ga0.64As с шириной квантовой ямы a = 8нм меньше средней энергии носителей заряда. В случае и толщиной барьера b = 5 нм в области температур линейной проводимости, согласно общим принципам [4], от 50 до 100 K и концентрации ионов примеси от данный вопрос решается положительно при выполнении до 1015 см-3.
условий / ском поле E имеет вид [6] Первое из условий (1) предполагает слабость рассеяния и большую длину свободного пробега вдоль оси СР, что g(k) =0(k) g(k ) wk k + f ()(wkk - wk k) необходимо для формирования минизоны. Выполнение k второго условия обеспечивает квазидвумерность электронного газа. f + e Ev(k), (2) В данной работе в одноминизонном приближе нии исследована возможность выполнения условий (1) где для наиболее изученных электронных сверхрешеток GaAs/AlxGa1-x As с межподзонными оптическими пере0-1(k) = wkk + f ( )(wk k - wkk ), (3) ходами в области поглощения инфракрасного излучеk ния [1,5]. Для этого с помощью уравнения Больцмана проведен численный анализ эффективного времени ре- - лаксации с учетом внутриминизонного рассеяния элекf () = exp + k0T тронов на полярных оптических (ПО) и акустических (АК) фононах объемного типа и ионах примеси. ВлияЧ равновесная функция распределения ФермиЦДирака, нием конфайнмента фононов на рассеяние электронов = (k), = (k ) Ч энергия электрона, зависящая от E-mail: sib@elefot.tsu.ru волнового вектора, Ч уровень Ферми, отсчитанный 862 C.И. Борисенко от дна нижней минизоны, wkk Ч вероятность перехода () =0() wk k + f ()(wkk - wk k) в единицу времени из состояния с волновым вектором k k в k, v(k) =k/ Ч скорость электрона. f ( ) sin(k z d) Неравновесная добавка к функции распределения ( ) +1, (9) в линейном приближении по напряженности электриче- f () sin(kz d) ского поля искалась в обычном виде где () =x () =y (), () =z (), = k2 /2m. f 0 Следует отметить, что в квазидвумерном приближении g(k) =e i(k)Eivi(k), (4) функции эффективного времени релаксации i и функция i 0 становятся зависящими только от энергии поперечногде i(k) Ч функции, зависящие в общем случае от го движения электрона. волнового вектора, которые будем называть эффекВероятность рассеяния квазидвумерных электронов тивным временем релаксации. Предлагаемое название на полярных оптических фононах в СР с учетом попеоправдано тем, что в области упругого рассеяния эти речного распределения электронов в КЯ можно предстафункции превращаются в истинное время релаксации. вить в виде (см. Приложение I) Уравнения для этих неизвестных функций получаются wkk (q) =w+ (q) +w- (q), (10) обычным образом после подставновки выражения (4) kk kk в уравнение (2): где i(k) =0(k) wk k + f ()(wkk - wk k) e2P2 1 w (q) = Nq + kk k 0V 2 f ( )vi(k ) 2 2 q i(k ) +1, (5) S k z - kz + n [(k ) f ()vi(k) 0 d q2 + n где f () Ч производная от равновесной функции 2n распределения. - (k) ] k -k,qk -kz +. (11) z d qz Энергетический спектр электронов основной минизоны СР с осью z, направленной вдоль оси симметрии СР, В приближении квазидвумерного электронного газа в приближении слабо взаимодействующих квантовых ям с учетом(11) уравнения (8) и (9) после интегрирования (КЯ) описывался известной формулой: по волновому вектору фононов q и продольной компоненты волнового вектора электронов k z приводятся k (k) = + [1 - cos(kz d)], (6) к функциональному виду 2m где k =(kx, ky) Ч волновой вектор, перпендикулярi() =0() G+()i ( + ) +G-()i( - ) +1, i i ный оси z, m Ч поперечная эффективная масса, близ(12) кая по величине к эффективной массе электронов m где 0(), G+() Ч функции поперечной энергии, i полупроводника, составляющего КЯ. Для расчета ширипредставленные с помощью однократных интегралов ны минизоны из решения уравнения КронигаЦПенни по (см. Приложение II), индекс i = или. Структура теории возмущений была получена удобная формула: функциональных уравнений (12) такова, что их численное решение возможно методом подгонки с граничным 16E0 mbE = exp(-sb), (7) условием для искомой функции при высоких энергиях maV, при которых эффективное время релаксации где s = 2mbV /, a и b Ч ширина квантовой ямы переходит в обычное: и барьера СР с периодом решетки d = a + b, ma и -mb Ч эффективная масса электронов в квантовой яме i() =0() 1 - 0() G+() +G-(). (13) i i и барьере высотой V, E0 Ч энергия основного уровня, отсчитанная от дна изолированной КЯ конечной глубиВ области низких значений энергии <, с учены. Формула справедлива при V E0. том того что при k0T отсутствует рассеяние С учетом цилиндрической симметрии СР и вида с излучением фононов (см. Приложение II), величифункции (6) для квазидвумерного электронного газа на i( + ) i(). При этом из уравнений (12) ( следует приближенное низкотемпературное выражение для поперечного и продольного эффективного времени () =0() wk k + f ()(wkk - wk k) 0 релаксации k i() 0() =G+()-1. (14) f ( )kk Для невырожденного электронного газа без учета экра ( ) +1, (8) нировки дальнодействующего поля ПО фононов эта f ()kФизика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Расчет низкополевой подвижности квазидвумерных электронов сверхрешетки GaAs/Al0.36Ga0.64As... ширины КЯ и энергии ПО фононов различие в интенсивности рассеяния между объемным полупроводником и СР ослабевает. При наличии смешанного рассеяния на ПО фононах и других упругих механизмах рассеяния, описываемых временами релаксации j() и j (), функцию 0() в уравнениях (12) необходимо заменить на 0i(), где -1 -0i () =0-1() + ji (). (16) j При учете упругого рассеяния электронов на однозарядных ионах примеси времена релаксации рассчитывались по формулам, полученным обычным образом [9] с помощью вероятности рассеяния, приведенной в Приложении I : 1 U2(x) = CI dx, (17) 2 () (x2 + s )1/2(4 + x2 + s )3/Рис. 1. Зависимости безразмерной функции () от ширины 1 sin2(x/2)U2(x)(4 + 2x2 + 2s ) квантовой ямы сверхрешетки (1) и от энергии продольного = CI dx, 2 оптического фонона (2, 3). 1 Ч = 0.037 мэВ; 2 Ч a = 5нм; () (x2 + s )3/2(4 + x2 + s )3/3 Ч a = 7нм. (18) где -формула с учетом приближенного значения для функции 2 CI = e4NI 2 2m0s, s = s G+() при 0 принимает аналитический вид 2m (см. Приложение II). Эти формулы получены в прибли0() =0 = (), (15) жении хаотических фаз для рассеивающего потенциала где и для однородного распределения ионов примеси по 3/6 2 0e /k0T объему СР или КЯ. В случае упругого рассеяния элек = тронов на акустических (АК) колебаниях расчет вреe2 m мени релаксации в приближении объемного фононного Ч низкотемпературное время релаксации на продольспектра для вероятности рассеяния (см. Приложение I) ных полярных оптических фононах в полупроводниках приводит к единой формуле как для поперечной, так и AIIIBV [9], для продольной релаксации: 2(4 + 2)() = 2 acL () = () = = = 2 AC, (19) 3 mD2k0T Ea c - 4 + 2 8 + 32 + exp(-) - где AC Ч время релаксации электронов на деформационном потенциале акустических фононов в приближеЧ безразмерная функция, зависящая от безразмерного нии упругого рассеяния в объемном полупроводнике [9]. параметра = /Ea, Ea = 2 (2ma2) Чэнергия Согласно формуле (19), в рамках используемых принижнего уровня изолированной бесконечно глубокой ближений время релаксации на акустических фононах КЯ, зависящей от ее ширины a. Из формулы (15) в СР с квазидвумерным электронным газом изотропно, следует, что низкотемпературное время релаксации, не зависит от энергии и прямо пропорционально ширине как и в объемных полупроводниках AIIIBV, является КЯ, что согласуется с ранее полученным результатом изотропным и не зависящим от энергии. На рис. других авторов [11]. представлены зависимости функции () от ширины КЯ и энергии ПО фононов, рассчитанные с параметрами электронного и фононного спектров полупроводника 3. Анализ температурной зависимости GaAs: m = 0.067m0, = 0.037 мэВ. Из рисунка слеподвижности дует, что значение функции () < 1, т. е., согласно теории рассеяния для двумерного электронного газа [10], Продольная и поперечная подвижности электронов интенсивность рассеяния при переходе от трехмерного в СР рассчитывались по формулам, которые получаются электронного газа к двумерному возрастает. С ростом при расчете плотности тока с учетом квазидвумерности Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 864 C.И. Борисенко электронного газа и неравновесной добавки к функции распределения (4) = e /m, = e m, (20) где,, m Ч усредненные по энергии функции эффективного времени поперечной и продольной релаксации, а также продольной эффективной массы электронов основной минизоны: c f = - ()d, n f =[1 - exp(-n/Nc)]-1 - ()d, (21) Рис. 2. Зависимости продольной и поперечной подвижностей 1 c = 1 - exp(-n/Nc), (22) электронов сверхрешетки от их концентрации при a = 8нм, m 4m n PO ion b = 5нм, T = 77 K: 1 Ч + AC, 2 Ч , 1 Ч PO + AC, где c = m (d ) Ч двумерная плотность состояний 2 Ч ion, 3 Ч /( ), 4 Ч /(k0T ). нижней минизоны проводимости, Nc = k0T c Ч эффек2 тивная плотность состояний, m = 2 ( d2) Чпродольная эффективная масса на дне минизоны. Согласно формуле (21), в отсутствие зависимости продольного На рис. 2 для рассматриваемой СР представлены эффективного времени релаксации от энергии имеем: зависимости продольной и поперечной подвижностей =. В случае невырожденного электронного газа от концентрации электронов, рассчитанные при азот(n Nc) выражение для усредненной по энергии про- ной температуре. На этом же рисунке представледольной эффективной массы принимает простой вид ны графики зависимостей от концентрации электронов безразмерных величин ( ) и (k0T ), которые 1 =. (23) согласно условию (1) должны быть много меньше 1. m k0T m Из этих графиков следует, что для данной СР при В работе проведен расчет зависимости продольной n < 1015 см-3 в области полей E < 300 В/см условие и поперечной подвижностей от температуры и конценприменимости уравнения Больцмана (1) приближенно трации ионов примеси для СР с квазидвумерным элеквыполняется. Основным механизмом рассеяния в обтронным газом. Подвижность рассчитывалась с учетом ласти рассматриваемых концентраций электронов явсмешанного рассеяния на ПО и АК фононах и однозаляется рассеяние на фононах. Величина подвижности, рядных ионах примеси, концентрация которых считалась определяемая колебаниями решетки, от рассматриваеравной концентрации электронов. Расчет подвижности мой концентрации электронов практически не зависит, проводился по выше приведенным формулам для компо 4.4 104, 4.0 102 см2/B c, и определяется зиционной СР n-типа GaAs/Al0.36Ga0.64As с параметрами AC в основном рассеянием на АК фононах: 4.7 104, a = 8нм, b = 5 нм. При расчете вероятности рассеяния AC 4.2 102 см2/B c. Парциальные значения подвижи подвижности использованы следующие значения параностей, определяемые рассеянием на ПО фононах, равметров GaAs [12]: PO ны 9.5 105, PO 7.5 103 см2/B c. Значение m = 0.067m0, = 0.037 мэВ, s = 12.7, поперечной подвижности электронов в СР за счет рассеяния на АК фононах существенно отличается от = 10.7, cL = 14.4 1010 H/м2 и Dc = 17.5эВ. подвижности, рассчитанной при тех же условиях [8] PO+AC Объяснение обозначений параметров дано в Прило- AC в объемном GaAs: V 1.5 105, V 1.9 105, жении I. Согласно расчетам энергетического спектра, PO V 1.0 106 см2/B c. Низкое значение продольной методика которого изложена в работе [13], данная СР подвижности СР связано с большим значением средней при T = 77 K имеет в КЯ две минизоны проводимости и продольной эффективной массы ( m = 7.4m0), тогда может быть использована в качестве фотодетектора ИК как средние значения продольного и поперечного эффекизлучения с длиной волны 9 мкм. Для ширины нижней тивного времени релаксации при рассеянии на колебаниминизоны при этой температуре получено значение ях решетки близки по величине ( = 1.7нс). = 1.8 мэВ, которое хорошо описывается формулой (7) На рис. 3 представлены температурные зависимости с параметрами подвижностей в СР, рассчитанные при NI = 1014 см-3. Из графиков зависимостей от температуры величин ma = 0.067m0, mb = 0.097m0, ( ) и /(k0T ), представленых на этом же рисунке, V = 283 мэв, E0 = 43 мэВ. Книги по разным темам