Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 |

Для функций (6) функционал полной энергии не зависит Из выражения для E(2) также следует, что при любых от направления q, поэтому можно полагать, что смеZ0 и Z функционал полной энергии на функциях (10) щения происходят вдоль оси z. Разложение по q для с одночастичными ns-состояниями (6) с k = 0 имеет функции (10) имеет вид минимум для q = 0, т. е. для состояний указанного выше вида всегда имеет место ненулевое смещение (r - q) a(r) - b(r)q + c(r)q2, (14) электронных оболочек.

Выражение для E(0) позволяет определить эффективгде ный заряд Z, который минимизирует полную энергию a(r) =(r - q)|q=0 = NZ,krke-Zr, (15) ns2-конфигурации при q = (r - q) 2k + b(r) = Zmin = Zz q=k + = NZ,k(krk-1 - Zrk)e-Zr cos, (16) 2k + 1 (2k + 1)(4k + 3)! - -, k = 0. (18) 2(r - q) 2k + 2 24k+3[(2k + 2)!]c(r) = = NZ,k krk-2 - Zrk-2z q= При k это выражение стремится к Zmin = 2Z0 - 1.

Приведенные в табл. 4 результаты позволяют понять + (k(k - 2)rk-2 - Z(2k - 1)rk-причину различного поведения относительно смещения + Z2rk) cos2 e-Zr, (17) от центра потенциала для электронных оболочек с k = Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Учет межэлектронных корреляций в модели подвижных электронных оболочек и k = 0. Принципиальное отличие одночастичной Таблица 5. Результаты минимизации функционала энергии Ek(Z, q) функции с k = 0 от случая k = 0 состоит в том, что при k = 0 в точке r = 0 функция обращается в k Emin qmin Zmin Emin(q = 0)-Emin Zmin(q = 0)-Zmin нуль (рис. 2). Наиболее чувствительна к этому энергия взаимодействия электронов с центром потенциала. За -2.84766 0.0 1.6875 0 счет данного вклада отличие от нуля в r = 0 волно- 1 -2.22965 0.3437 2.7110 0.2205 -0.2 -1.79140 0.5061 3.2084 0.3463 -0.вой функции с k = 0 порождает резкое повышение 3 -1.48131 0.6385 3.4999 0.3638 -0.полной энергии системы при смещении электронной 4 -1.25036 0.7644 3.6778 0.3424 -0.плотности от центра потенциала, тогда как обращение в нуль в r = 0 волновой функции с k = 0 приводит к существенной ФмягкостиФ взаимодействия с центром потенциала относительно смещений, что выражается в Результаты минимизации функционала E(q, Z) для обращении в нуль квадратичного члена в разложении нескольких первых чисел k (k = 0,... 4) приведены u(q, -q). Случай k = 0 не содержится в выражениях с в табл. 5; поведение функционала полной энергии в k = 0 также для интеграла t(q, -q), описывающем отно k зависимости от q при Z = Zmin показано на рис. 3.

сительное движение электронных оболочек. Интегралы, Для k = 0 происходит смещение атомных оболочек.

связанные только с перекрыванием электронных оболоПонижение энергии по сравнению с минимально возможчек (S(q, -q), c(q, -q), a(q, -q)), описываются единой ной при отсутствии смещений электронных оболочек формулой для случаев k = 0 и k = 0. Суммируя и само смещение составляет довольно значительные указанное выше, можно утверждать, что при k = 0 вы величины (0.22-0.36 a.u. для энергии и 0.34-0.76 a.u.

игрыш в межэлектронном взаимодействии при смещении для qmin). Зависимость параметров, соответствующих электронных оболочек не компенсируется проигрышем в глобальному минимуму функционала полной энергии, энергии вазимодействия с центром потенциала, как это qmin и Zmin от номера k вполне объясняется характером происходит в случае k = 0, когда на центре существует распределения электронной плотности для функций с отличная от нуля электронная плотность.

различными k. Из рис. 2 видно, что с увеличением номеИнтуитивно понятно, что появление ненулевой элекра k одночастичные функции (10) становятся более детронной плотности на центре потенциала должно также локализованными и обеспечивают значение электронной давать выигрыш в энергии. Это позволяет указать наибоплотности в окрестности r = 0. Выигрыш в энергии силее выгодные направления смещения электронных обостемы может происходить за счет уменьшения межэлеклочек в случае анизотропной волновой функции с нулем тронного взаимодействия (уменьшения положительного в r = 0: например, в случае pz-орбитали это должно вклада от t(q, -q), c(q, -q), a(q, -q)) и за счет увелибыть направление оси z; в случае dx2 -орбитали это -yчения взаимодействия электронов с центром потенциала направления x и y и т. д. Поскольку при этом происходит (увеличения отрицательного вклада от u(q, q), u(q, -q)).

сложение выигрышей в энергии взаимодействия между Возрастание qmin с номером k связано с делокализаэлектронами и с центром потенциала, то это может цией k(r) при возрастании k; меньшее перекрывание приводить к достаточно глубоким и удаленным от точки и соответственно меньшее взаимодействие электронов q = 0 минимумам энергетической поверхности E(q, Z).

достигается при больших значениях q. Другой механизм, Это подтверждается приведенными в [4] результатами обеспечивающий уменьшение перекрывания, состоит в численной минимизации функционала полной энергии увеличении параметра Z, что соответствует большей для np2-конфигурации.

3. Вид функционала полной энергии E(q, Z) Общие выражения матричных элементов для электронной конфигурации с = q и = -q получаются из приведенных в табл. 1 при учете, что = 2Zq, = Zq. В выражении u(, ) необходимо совершить предельный переход 0, 0. Записанное через переменную = 2Zq, это выражение принимает вид 2k+2 2k+u(q, -q) =Z (4s + 1)b(s)(k+1)(). (19) 0 s,(2k + 2)! s=При k = 0 выражения для матричных элементов совпа(k) дают с известными для атома гелия и молекулы водорода Рис. 3. Вид функционала полной энергии E(q, Z) для Z = Zmin результатами [5,6]. (табл. 5).

Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 832 Ю.Д. Панов, А.С. Москвин минимизирующие полную энергию. Симметрия распределения электронной плотности со смещениями (Ch) нарушает исходную сферическую симметрию системы, которая может быть восстановлена при учете энергетически эквивалентных конфигураций с другими направлениями вектора смещений.

Функционал полной энергии может обладать континуумом эквивалентных минимумов в пространстве векторов смещений. В этом смысле можно говорить о вариационном вырождении в системе. Существование, форма и другие параметры континуума минимумов зависят от одночастичных состояний и параметров потенциала. В рассмотренном выше случае ns2-конфигурация фиксиРис. 4. Изменение вида одночастичной функции (r) для рована только величина разности векторов смещений k = 1 при изменении параметра Z. Жирная линия на поверхности соответствует радиальному профилю одночастичной одночастичных орбиталей || = | - | = 2q (при (1) функции при Z = Zmin. = q, = -q), т. е. континуум имеет вид сферы в пространстве векторов q. Это обстоятельство восстанавливает сферическую симметрию задачи. По аналогии с описанием коллективного движения в ядрах [1] и Фметодом производящих координатФ в молекулярной спектроскопии [2], из биорбиталей с различными векторами qmin можно построить линейные комбинации Рис. 5. Величина смещения q электронной оболочки, минимизирующего полную энергию, как функция заданного параметра Z. Точки соответствуют минимальным значениям полной энергии для определенного k.

окализации (r). Рис. 4 показывает, как изменяется поведение волновой функции при увеличении параметра Z на примере (r) для k = 1. С ростом Z увеличивается также отрицательный вклад в полную энергию за счет взаимодействия с центром потенциала; однако и положительные вклады, в том числе и кинетическая энергия, возрастают Ч в результате достигается некоторое компромиссное значение. Увеличение этого параметра с k, таким образом, тоже связано с уменьшением локализации (r) при возрастании k. На рис. 5 изображена величина смещения, минимизирующего полную энергию, как функция заданного параметра Z.

4. Динамические смещения электронных оболочек Рис. 6. Распределение двухэлектронной плотности в плоскости z = 0 в состоянии (r1, r2; q, -q), k = 1, Z0 = 2: в На рис. 6 показан вид распределения электронной (1) отсутствии смещений электронных оболочек (Z = Zmin при плотности для k = 1 при отсутствии смещений и со (1) q = -0) (a); со смещениями Z = Zmin, q =(q(1), 0, 0) (b).

смещениями; в обоих случаях взяты волновые функции, min Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Учет межэлектронных корреляций в модели подвижных электронных оболочек вида оболочек на многоатомный кластер. В работе [7] указаны другие способы построения МО на смещенных атомных орбиталях.

f =(r1, r2) = (r1, r2; q, -q) f ()d, (20) Группа симметрии волновой функции (24) является пересечением ядер представлений 0 и G. В отличие где интегрирование ведется по сфере в q-пространстве.

от симметризованных координат колебаний ядер в клаТакая комбинация может иметь более низкую энергию стере вектор q является фиксированным и опредеза счет ФнедиагональныхФ по q элементов функционала ляет некоторое искаженное распределение электронной полной энергии, учитывающих ФвзаимодействиеФ биорплотности; если = A1, то функция (24) не будет биталей. Вариационная процедура с функциями (20) обладать хорошими трансформационными свойствами приводит к интегральному уравнению для функции f () (т. е. принадлежать какому-либо одному неприводимому представлению группы симметрии неискаженного клаd f () [K(q, q ) - EI(q, q )] = 0, (21) стера). Эта ситуация аналогична случаю одного центра, где смещение одного электрона с центра понигде жает симметрию системы до минимально возможной K(q, q ) = (q, -q)||(q, -q ), (аксиальной).

I(q, q ) = (q, -q)|(q, -q ).

Предполагая, что минимальной энергией будет обладать конфигурация, минимизирующая при прочих равУчет симметрии [1,2] дает в случае ns2-конфигурации ных условиях межэлектронное взаимодействие, можно тривиальные решения для (21) по аналогии со случаем одного центра ввести для двухf () = YLM(, ). (22) частичной конфигурации волновую функцию вида Другими словами, для ns2-конфигурации со смещенными (2) 00;(r1, r2; q) =N(1 P12)Tq(1)T-q оболочками можно ввести набор ортогональных состояний 00(r1, 0)00(r2, 0), (25) LM = NLM YLM()(q, -q)d, (23) где N Ч множитель нормировки, P12 Ч оператор преобразующихся по неприводимым представлениям перестановки координат электронов, Tq(i) Ч оператор группы вращений. Такие состояния можно назвать дисимметризованного смещения q, преобразующегося намическими, поскольку они могут быть ответственны по неприводимому представлению и действующий за корреляционный вклад в орбитальный ток. Спектр в пространстве координат i-го электрона. Верхний знак этих состояний может не иметь ничего общего со спексоответствует синглетной волновой функции, нижний Ч тром пространственного ротатора. Отметим также, что триплетной. Трансформационные свойства двухчав состояниях, соответствующих динамическим смещестичной волновой функции (25) определяются значениниям электронных оболочек, электрическая (дипольная, ями =00 []2 для синглета и = квадрупольная) или магнитная восприимчивость могут для триплета.

быть аномально большими, причем их величина будет В заключение отметим основные особенности модеопределяться эффектами межэлектронных корреляций.

и подвижных электронных оболочек. Учет электронных корреляций зачастую требует привлечения слиш5. Метод МО-ЛКАО для смещенных ком большого числа функций нулевого приближения. В атомных орбиталей данной работе показано, что в определенных ситуациях перераспределение электронной плотности в системе В [7] предложено обобщение стандартного МО-ЛКАОможно описать с помощью вариационной процедуры, в метода, которое предполагает включение в вариацикоторой варьируются координаты центра одночастичных онную процедуру для кластера вместо традиционного функций. Физическая наглядность такого вариационного набора молекулярных орбиталей (МО) 00(r, 0), Ч параметра позволяет, в частности, принципиально просимметризованных комбинаций атомных функций, ценсто и без явного привлечения большого числа конфитрированных в точках равновесных положений ядер гураций моделировать отклик системы на анизотропное (q = 0), нового набора смещенных МО типа возмущение. В работе рассмотрены специфические коррелированные состояния, которые могут вносить корре 00(r, q) = Tq 00(r, 0), (24) ляционный вклад в орбитальный ток. Также рассмотрено обобщение МО-ЛКАО-схемы с ограниченным набором где q Ч симметризованная координата смещения атомных оболочек в кластере, а Tq Чоператор сим- одночастичных функций, позволяющее учитывать в кламетризованного смещения. Такой подход является есте- стере дополнительные мультиполь-мультипольные взаиственным обобщением модели смещенных электронных модействия.

5 Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 834 Ю.Д. Панов, А.С. Москвин Список литературы [1] J.J. Griffin, J.A. Wheeler. Phys. Rev. 108, 2, 311 (1957).

[2] L. Lathouwers. Phys. Rev. A18, 5, 2150 (1978).

[3] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. Наука, М.

(1989). 768 с.

[4] A.S. Moskvin, V.A. Korotaev, Yu.D. Panov, M.A. Sidorov.

Physica C282-287, 1735 (1997).

[5] А. Зоммерфельд. Строение атома и спектры. Т. 2. ГИТТЛ, М. (1956). 694 с.

[6] Y. Sugiura. Z. Phys. 45, 5, 484 (1927).

[7] А.С. Москвин. Природа необычного физического поведения медных оксидов. Препринт. УрГУ, Екатеринбург (1995).

179 с.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам