Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | 3 | уровня k направо дается суммой таких вероятностей, а длительность прыжка по своему смыслу есть обратная величина вероятности прыжка в расчете на единицу 2. Флуктуации вероятностей времени Рассмотрим квантовые переходы под действием переменной разности потенциалов u(t) между конечными = t-1 = pk( t, U)/ t, pk( t, U) pkq( t, U) пунктами. Согласно современной теории квантового q Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 814 Ю.Е. Кузовлев, Ю.В. Медведев, А.М. Гришин хаоса, стохастическое поведение типично для кванто- Итак, действительно имеются основания считать Z(t) вых систем, несмотря на дискретность спектра [39,40]. быстрым (ДбелымУ) шумом, а амплитуды Ч броуновскиПоэтому будем трактовать u(t) как классический слу- ми блужданиями, и можно написать чайный процесс (конечно, в строгой теории u(t) Ч оператор, перепутанный с операторами частиц). При p2 = |Akq|4 2 |Akq|2 = 2 pkq, kq t t достаточно приближенного, по теории возмущений, решения уравнения Шредингера для волновой pkq, pkq pkq. (9) функции электрона. Результат записывается в виде Мы используем удобные кумулянтные скобки Малахова, t x, y xy - x y. Отсюда первое любопытное gkq pkq |Akq|2, Akq exp(iEkqt/ )Z(t) dt, наблюдение Ч на временах больше времени когерентности вероятности переходов оказываются стопроцентно неопределенными. Второе Ч средние значения вероятt ностей растут линейно со временем e Z(t) =exp i(t), (t) = u(t ) dt, (7) pkq t(gkq/ )2 K( ) exp(iEkq/ ) d t. (10) где введен диффузионно накапливающийся случайный набег фазы (t). Если u(t) = 0, формулы (7) сводятся Но наиболее интересна суммарная вероятность прыжк обычным выражениям для вероятностей переходов, в ка. Ее можно представить в форме противном случае они описывают хаотическое парамет t рическое возбуждение или гашение вероятностей сбоем фазы.
pk pkq = (t1 - t2)Z(t1)Z(t2) dt1 dt2, (11) k Введем корреляционную функцию фазы, соответству- q ющее время когерентности квантовых амплитуд и его энергетический эквивалент где введено следующее обозначение для интегрального ядра:
K(t1 - t2) = Z(t1)Z(t2), gkq ( ) = exp(i Ekq/ ).
k q coh = K( ) d, E = 2 /coh, (8) Аналитические свойства этого ядра, обусловленные дискретностью, играют принципиальную роль. В приближегде угловые скобки обозначают усреднение по u(t). нии сплошного спектра оно стало бы функцией, быстро Вообще говоря, в силу мультипликативности шума Z(t) (интегрируемо) и необратимо стремящейся к нулю, для вычисления даже элементарных статистических например, дельта-функцией. На самом деле оно крайне характеристик решения нужна обширная информация нелокально и никогда не затухает, при этом иногда о статистике u(t). Однако если время когерентности возвращаясь к значениям порядка своего значения в много меньше времени наблюдения, то фактор Z(t) под нуле (это свойство Ч не что иное, как выражение интегралом в (7) действует как комплексный белый шум. унитарности квантовой динамики). Если взять для на+ Тогда амплитуды переходов Akq ведут себя в основных глядности эквидистантный спектр, Eq - Ek = nE + k, чертах как (комплексные) броуновские траектории, по- где n Ч целое, то этому знания характеристик (8) вполне достаточно.
Обсудим величину времени когерентности, полагая ( ) = exp(ik/ ) ( - ng). (12) k t ради простоты, что шунтирующее влияние внешней цеn пи на c незначительно. Заметим, что K(t) представляет Очевиден третий важный момент: энергетическая пособой характеристическую функцию (в смысле теории лоса E, доступная для переходов с данного уровня, вероятностей) случайного набега фазы. Эту функцию определяется не длительностью наблюдения, а шумом несложно найти, например, при Ec T, рассматривая (временем когерентности). Поэтому прыжки в дисшум напряжения как гауссов случайный процесс, что даст coh ( /e)(C/T )1/2 g. По-видимому, это мини- кретный спектр происходят так же успешно, как, в сплошной, причем при E >E средняя вероятность мально возможное значение coh. При Ec > T разумнее прыжка pk t/t практически совпадает с той, что статистическая модель, в которой заряд на емкости меняется дискретными порциями и соответственно про- используется обычной кинетикой.
цесс u(t) принимает значения, кратные e/C. В этом Но, конечно, шум не сделает вероятности более случае вычисление K(t) приводит с учетом (6) к оценке определенными. Четвертый момент: из-за дискретности coh c, т. е. время когерентности может быть сравнимо случайна также и суммарная вероятность прыжка. Блас g. годаря возможности рассматривать Z(t) как белый шум Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Эффекты квантовой дискретности и фликкерные флуктуации туннельной проводимости для ее дисперсии получаем 3. Флуктуации проводимости t Рассмотрим флуктуации транспорта заряда через кон pk, pk... (t1 - t2) (t3 - t4) k k такт между клеммами внешней цепи, считая, что тем0 пература не слишком мала, T E, а внешнее напряжение не слишком велико, U < T /e. Теперь символ Q K(t1 - t4)K(t3 - t2) dt1... dt4. (13) будет обозначать случайную величину. Она состоит из двух частей: Q = Qth + Qex, где первое слагаемое Ч Если E > E, последнее выражение оценивается в вклад быстрых тепловых (дробовых) флуктуаций трансболее или менее общем виде. При этом существенны портного тока, обусловленных случайностью мгновений только области t1 t4, t3 t2. Остающийся двумерный переходов. Этот вклад, остающийся и в равновесии (при интеграл содержит вклады от множества дельта-функций U = 0), легко оценить с помощью флуктуационно-дисиз (12), в результате имеем сипационной теоремы: Qth 2TG t. Нас интересует t2 coh 2 E pk, pk K( ) d pk = pk 2 второе слагаемое, которое включает среднюю величину t2g g E транспортного тока и его избыточные флуктуации, вы(14) званные случайностью квантовых вероятностей перехо(мы учли, что ДширинаУ дельта-функций, равная обрат- дов.
ной полной ширине энергетической зоны, заведомо На языке статистики величину Qex следует опременьше, чем coh). Далее будет важна взаимная кор- делить как условное среднее значение Q при фикреляция флуктуаций вероятностей прыжков (инжекция сированных pkq. Из элементарных термодинамических заряда) с различных уровней. Оценивая перекрестный соображений понятно, что это условное среднее имеет коррелятор, можно получить тот же знак, что и U, и исчезает при U = 0. Поэтому его можно представить как результат ДнескомE pk, pk pk pk s(Ek - Ek ), (15) пенсированныхУ прыжков, направленных только в одну 1 2 1 2 1 E сторону (например, слева направо). Данное обстоягде функция тельство позволяет избежать анализ корреляций между противоположными переходами и воспользоваться ре-2 зультатами предыдущего раздела, где такие корреляции S(E) = exp(iE/ ) K( ) d K( ) d не рассматривались (важно, что они не препятствуют описывает корреляцию в зависимости от энергетической никаким низкочастотным флуктуациям транспорта, продистанции E между уровнями. Как следует отсюда, уров- исходящим с сохранением внутреннего статистического ни, попадающие в одну Дполосу когерентности- E, вно- баланса в контакте [23,26,27]). Будем считать, что все сят синфазные вклады во флуктуации переноса заряда. корреляции неявно учтены в статистике шума u(t). Это Эти формулы нуждаются в дополнительном коммен- кажется разумным ввиду отмеченного факта, что детали тарии. Во-первых, они легко могут быть обобщены статистики u(t) несущественны. Кроме того, ничего не на случай нарушения неравенства (6) с учетом ре- теряя, далее можно положить pk( t, U) pk( t, 0).
альной неэквидистантности спектров. Во-вторых, при Для начала пренебрежем взаимными корреляциями E выше. В этом экстремальном случае оценка флуктуа- В такой модели второе слагаемое имеет вид ций зависит от деталей устройства спектров и требует привлечения статистики уровней. Кроме того, при этом Qex = e f (Ek) - f (Ek + eU) pk( t, U), (16) имеет место существенная перенормировка средних k вероятностей (значит, и проводимости и ВАХ) под где f (E) Ч функция распределения Ферми. Подразувлиянием шума (однако нас здесь интересует случай мевается, что уже сделано усреднение по расположенифлуктуаций на фоне приблизительно линейной ВАХ). ям, определяемое фермиевской статистикой заполнения В-третьих, согласно (14), (15), имеет место своего состояний в берегах. Первый множитель под знаком рода соотношение неопределенностей: дисперсии всех суммы имеет смысл вероятности того, что произвольно вероятностей прыжка обратно пропорциональны E, так что уменьшение флуктуаций вероятностей сопровожда- выбранный уровень активен. Если пренебречь еще и ется усилением корреляции между ними, и наоборот. случайностью pk, то (16) сведется к обычной хороВ-четвертых, случайные вклады от различных частей шо известной формуле для среднего туннельного тока времени наблюдения полностью статистически скорре- (подчеркнем, что она полностью учитывает статистику лированы друг с другом, хотя и вызваны независимыми Ферми в обоих берегах). Результат усреднения (16) кусками реализации u(t) (феноменологическая статисти- совпадает с (1). ка подобных случайных потоков событий рассматрива- Рассмотрим дисперсию транспортированного зарялась в [23,26,27]). да и соответствующие флуктуации проводимости Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 816 Ю.Е. Кузовлев, Ю.В. Медведев, А.М. Гришин G = Qex/U t, опуская детали вычислений. При доста- где Ч функция Хевисайда. Далее вместо (16) следует точно малом времени когерентности, когда E >E написать n (ДбольшойУ контакт, густой спектр, сильный шум), с Qex = e pk ( t, U), (21) j учетом (15) дисперсию выражения (16) можно предстаj=вить в форме тем самым переходя к реальным единичным заселеннос 2 E тям активных уровней и вводя в оборот все возможные Qex, Qex G U t E позиции последних. Здесь среднее значение n равно N. Вычислим дисперсию этого выражения, усредняя одно W (E )W (E )S(E - E ) dE dE (17) временно по позициям и по случайным вероятностям прыжков. Поскольку при N 1 результат все равно ( G Ч среднее значение проводимости). Здесь функция должен совпасть с предыдущим, достаточно положить N 1, n = N. Несложные преобразования приводят к W (E) f (E) - f (E + eU) eU - f (E)/E E Qex, Qex e2( t)играет, очевидно, роль ДодночастичнойУ плотности веро E ятностного распределения активного уровня по энергии. N Отсюда для флуктуаций проводимости следует довольно Wi j(E, E )S(E - E ) dE dE, (22) универсальный результат i, j= G, G E G2 (coh При большом времени когерентности, когда E тельно обратно пропорционально U. Например, в случае Как видно, дискретность непосредственно и есть мера экспоненциальной корреляции фазы относительных флуктуаций проводимости. Фактор E не вошел в оценки. Это правильно, если среднее коK( ) =exp -| |/coh, личество активных уровней N eU/E невелико и они X могут расположиться любым способом, в том числе 1 2 E все попасть в одну полосу когерентности E. Однако D(X) = 1 - arctan dE. X E последнее невозможно, если N больше числа уровней в такой полосе E/E. Значит, при eU > E позволиАналогично модифицируется оценка (19). тельные распределения активных уровней по энергии в Можно сказать, что с ростом напряжения увеличивасреднем более равномерны, поэтому флуктуации вероятется эффективное количество статистически независиностей прыжков с них менее скоррелированы, и это момых энергетических каналов туннелирования электрожет привести к подавлению флуктуаций проводимости нов, и относительные флуктуации проводимости убывас ростом напряжения уже при eU T (когда средняя ют обратно пропорционально числу каналов. Таким обпроводимость еще более или менее неизмененна). разом, как масштаб дискретности E, так и параметр E, Из (17) следует, что данный эффект не описывается характеризующий шум обстановки, находят непосредмоделью (16), поскольку формально в ней Ддвухчасственное отражение если не в ВАХ, то в Дшум-амперной тичноеУ (парное) распределение по энергиям имеет факхарактеристикеУ контакта. При этом четкое разделение торизованную форму W (E )W (E ). Чтобы ввести необих функций дает надежду, что они сохранят смысл и в ходимые коррективы, перенумеруем активные уровни в более строгой теории. порядке возрастания энергии. Тогда дистанция между Что касается прозрачности, то она не входит в оценуровнями с номерами j > i не может быть меньше ку относительных флуктуаций проводимости и в этом чем ( j - i)E. Поэтому для каждой пары номеров плане она не есть малый параметр. Она не является имеет место свое парное распределение таковым и в смысле сравнения избыточных флуктуаций Wji(E, E ) W (E )W (E ) |E -E |-| j -i|E, (20) с тепловым(дробовым) шумом. Хотя вклад последнего в Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Эффекты квантовой дискретности и фликкерные флуктуации туннельной проводимости дисперсию транспорта пропорционален первой степени спектра в гранулах (при этом ВАХ была омическая прозрачности, а избыточный вклад Ч ее квадрату, до напряжений, больших примерно в T /E 100 раз). первый растет линейно со временем, а второй Ч квад- Сучетомблизости E и E становится ясно, что в отноратично и поэтому неизбежно доминирует на больших шении данного эффекта изложенная теория полностью временах и низких частотах, тем самым представляя согласуется с экспериментом. Книги по разным темам