Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 6 Баллистическая проводимость квантовой проволоки при конечных температурах й Н.Т. Баграев, В.К. Иванов, Л.Е. Клячкин, А.М. Маляренко, И.А. Шелых Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Санкт-Петербургский государственный технический университет, 195251 Санкт-Петербург, Россия (Получена 30 декабря 1999 г. Принята к печати 30 декабря 1999 г.) Температурная зависимость баллистической проводимости квантовой проволоки рассчитывается в пренебрежении процессами рассеяния носителей. Вклад в проводимость (G) подзон, для которых Ej- kT, описывается формулой ЛандауэраЦБуттикера G = 2e2/h (e Ч заряд электрона, h Ч постоянная Планка, (T ) Ч химический потенциал, Ej Чдно j-й подзоны размерного квантования, T Ч температура, k Ч постоянная Больцмана). Проводимость остальных подзон падает, и для высоколежащих подзон она экспоненциально мала. Показано исчезновение квантовой лестницы, когда kT приближается к величине энергетического зазора между уровнями размерного квантования. Подобное температурное тушение квантовой лестницы вблизи значений потенциала на затворе, соответствующих скачкообразному изменению баллистической проводимости, наблюдается при исследовании квантованной проводимости кремниевой квантовой проволоки.Баллистическая проводимость одиночной квантовой ский потенциал, определяемый из уравнения проволоки при нулевой температуре в приближении + -1 малых продольных напряжений выражается хорошо из2 Ej+ p2/2m- n = 1 + exp dp вестной формулой ЛандауэраЦБуттикера [1,2] 2 kT j=0e2 G = 2 N(0), (1) 1 h = Ij. (3) где 0 Ч химический потенциал носителей тока при j=0 нулевой температуре, равный фермиевской энергии EF, N(0) Ч число заполненных подзон размерного кван- При произвольной температуре вычисление интегратования, зависящее от положения уровня Ферми отно- лов, входящих в (3), возможно только численно. Интесительно их дна. N может изменяться в условиях при- рес, однако, представляет случай, когда kT достаточно ложенного к проволоке перпендикулярного напряжения мало по сравнению с |Ej - |. В этом случае интегралы Vg, изменяющего концентрацию носителей в проволоке, в (3) могут быть разбиты на два класса:
а следовательно, и величину 0 EF.
Ej - Как следует из (1), проводимость при T = 0 не зави1) 0, kT сит от продольного напряжения V, т. е. вольт-амперная Ej - характеристика (ВАХ) является линейной. В то же 2) < 0. (4) kT время зависимость проводимости от перпендикулярного напряжения на затворе Vg носит разрывный ступенчатый При вычислении интегралов 1-го класса можно пренехарактер [3,4]. Отклонения от формулы (1) могут бречь единицей. При этом распределение Ферми заменянаблюдаться вследствие переброса носителей внешним ется на распределение Больцмана:
продольным полем из одной подзоны размерного кван+ тования в другую [5]. Такой переброс будет наиболее - Ej pвероятен при значениях Vg, соответствующих скачку I(1) = exp exp - dp j kT 2mkT в проводимости, что прогнозирует гладкий характер зависимости G(Vg) и нелинейность ВАХ.
- Ej Представляет интерес вопрос о баллистической про= 2mkT exp. (5) kT водимости квантовой проволоки при конечной температуре, когда число заполненных подзон размерного кванИнтегралы 2-го класса вычисляются согласно стандарттования, строго говоря, не определено, поскольку сущеной процедуре [6]:
ствует конечная зависящая от температуры вероятность нахождения электрона внутри любой из них. Заполнен- + -Ej + p2/2m - ность подзон определяется распределением Ферми:
I(2) = 1 + exp dp j kT n() =, (2) e(-)/kT + 1 + - j -где = Ej + p2/2m (Ej Чдно j-й подзоны размерного = 2m 1 + exp -1/2d. (6) kT квантования), Ч зависящий от температуры химиче7 738 Н.Т. Баграев, В.К. Иванов, Л.Е. Клячкин, А.М. Маляренко, И.А. Шелых переходом носителей между подзонами. Рассмотрим сначала кратко подобный вывод для T = 0. В этом случае пустые подзоны, для которых Ej < 0, не дают вклада в проводимость вообще. Для вычисления проводимости заполненной подзоны рассматриваются два бесконечных одномерных резервуара электронов, разделенных точечным контактом, заменяющим квантовую проволоку. Разность химических потенциалов слева и справа от контакта равна произведению заряда электрона на величину приложенного к проволоке продольного напряжения: 1 -2 = eV. Вклад в ток дают только состояния, энергия которых E лежит в интервале 2 < E < 1.
Таким образом, проводимость равна 2e e G = I/V = vx = 2 px Рис. 1. Расчетная зависимость химического потенциала V m 2 2m e e= pdp = 2. (10) m h 2m(-eV) Используя замену переменной = ( - j)/kT и разложение функции (j + kT )1/2 по степеням с В случае конечной температуры надо учесть, что расточностью до членов 2-го порядка, получаем пределение электронов по энергиям ФразмытоФ, и вклад + в ток с некоторой вероятностью могут давать электроны kT (kT )2 e1/с любой энергией. Вычисляя ток через контакт как I(2) = 8m j + - 2 d j 1/2 3/2j 8j (1 + e-)2 разность токов, текущих слева направо и справа налево, имеем 2(kT ) = 8m( - Ej)1/2 1 -. (7) e 24( - Ej)Gj = p f (p, 1, T )[1 - f (p, 1, T )] m V Таким образом, - f (p, 2, T )[1 - f (p, 2, T )] dp 8m 2(kT )n = ( - Ej)1/2 1 24( - Ej) Ej j=где f (p, , T ) обозначает фермиевское распределение. Если рассмотреть только одну подзону с дном E0 = 0, Таким образом, то при достаточно низкой температуре и высокой концентрации носителей приближенно имеем e Gj = p ( n)2 2(kT )2 -m V 1 + e(Ej-1)/kT ep2/2mkT (n, T) = 1 -. (9) 8m 24- dp Точный вид зависимости (n) для этого случая изобра1 + e(Ej-1+eV )/kT ep2/2mkT жен на рис. 1. Рассмотрим теперь проводимость баллистической 2ekT 1 + e(1-Ej)/kT eeV /kT = ln. (12) квантовой проволоки при заданных температуре, химиhV 1 + e(1-Ej)/kT ческом потенциале, определяемом концентрацией носителей, и спектре размерного квантования {Ej}. Вы- Как видно, при конечной температуре проводимость j=числим вклад в проводимость от подзоны размерного зависит как от концентрации носителей, так и от приквантования с некоторым номером j в пренебрежении ложенного продольного напряжения. В пределе малых Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. Баллистическая проводимость квантовой проволоки при конечных температурах продольных напряжений имеем 2e2 e(1-Ej)/kT Gj =. (13) h 1 + e(1-Ej)/kT Рассмотрим несколько предельных случаев. А) Заполненные подзоны с низко расположенным дном: (1 - Ej)/kT 1. В этом случае можно в формуле (13) пренебречь единицей в знаменателе, и проводимость, таким образом, не отличается от своего значения при нулевой температуре: 2eGj =. (14) h Б) (1 - Ej)/kT 0. Такая ситуация имеет место вблизи областей скачкообразного изменения проводимости. Раскладывая экспоненты в ряд, имеем e2 1 - Ej G = 1 +. (15) h kT Отсюда видно, что, если химический потенциал совпадает с дном подзоны, ее вклад в проводимость вдвое меньше, чем от заполненной подзоны при T = 0. В) Высоколежащие подзоны, свободные при нулевой температуре. Для них (1 - Ej)/kT 0 и 2eРис. 2. Квантованная проводимость при различных значениях Gj = e(1-Ej)/kT 1. (16) h температуры. a Ч расчетные зависимости от химического потенциала при T = 0 (1), 0.1E/k (2), 0.6E/k (3). Вклад таких подзон в проводимость, таким образом, b Ч экспериментальные зависимости от напряжения на затвоэкспоненциально мал. Если концентрация носителей доре Vg при T = 77 (1) и 300 K (2). статочно мала, условие (1 - Ej)/kT < 0 выполняется для всех подзон, в том числе и для наинизшей по энергии. Зависимость концентрации от химического потенциала Это условие поясняет, что имеется в виду под малостью в этом случае может быть выражена в виде некоторого концентрации. Проводимость, таким образом, равна ряда. Будем рассматривать только наинизшую подзону. Имеем e2 + G n = e2 n. (19) h mkT dp n = 1 + e(1-E0)/kT ep2/2mkT Как видно, в отличие от случая T = 0 баллистическая проводимость спадает до нуля при уменьшении концентрации носителей внутри квантовой проволоки. ep /2mkT dp = Учитывая в разложении два первых члена, нетрудно поep2/2mkT + e(1-E0)/kT лучить поправку к проводимости, зависящую от квадрата концентрации, (-1)j+= 2mkT e(1-E0)/kT. (17) j j=1 eG (n + 2n2/2). (20) h Если концентрация настолько мала, что e(1-E0) 1, то В результате проведенного выше рассмотрения завиможно сохранить только первый член разложения. Тогда симости проводимости от химического потенциала для различных значений температуры ((13), рис. 2, a) видно, e(1-E0)/kT n = n 1, что квантовая лестница, наблюдаемая при T = 0, Фраз2mkT мываетсяФ с повышением температуры и исчезает, когда kT становится по порядку величины равным расстоянию =. (18) между уровнями размерного квантования E. 2mkT 7 Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 740 Н.Т. Баграев, В.К. Иванов, Л.Е. Клячкин, А.М. Маляренко, И.А. Шелых Подобное температурное тушение баллистической проводимости при частичном заполнении подзон размерного квантования впервые получено при регистрации квантованной проводимости в зависимости от напряжения, приложенного к кремниевой квантовой проволоке, длина которой меньше длины свободного пробега. Перенос носителей заряда в такой квантовой проволоке не сопровождается джоулевыми потерями вследствие подавления процессов неупругого рассеяния. Поэтому электроны и дырки в условиях одномерного транспорта будут проявлять баллистические свойства [1Ц4]. Получение кремниевых квантовых проволок с баллистическими свойствами стало возможным благодаря совместному использованию методов диффузионной нанотехнологии и формирования самоупорядоченных при- Рис. 3. Температурная зависимость квантованной проводимости: сплошная линия Ч расчет по формуле (13); 1 Чиз экспемесных квантовых ям. Квантовые ямы этого типа форриментальных данных работы [12]; 2 Ч из экспериментальных мируются внутри сверхмелких p+-профилей в процессе данных рис. 2, b. неравновесной диффузии бора на кремниевой поверхности (100) [7Ц9]. Глубина сверхрезкого диффузионного профиля и концентрация бора в нем, измеренные методом вторичной так и легких дырок, которое проявляется в величиионной масс-спектрометрии, составили 10 нм и 1021 см-3 не квантовых ступенек (рис. 2, b). Следует отметить, соответственно. Наличие одиночной квантовой ямы, лочто величина квантовой ступеньки, соответствующей кализованной между сильно легированными примеснызаполнению первой подзоны размерного квантования ми барьерами внутри диффузионного p+-профиля, было (рис. 2, b), несколько меньше предсказанного теорией идентифицировано с помощью угловых зависимостей значения ( 4e2/h), что обусловлено, по-видимому, циклотронного резонанса [7,10]. Благодаря пироэлектриспиновой поляризацией носителей в нулевом магнитном ческим свойствам двумерных барьеров, электрическое поле [11]. поле, приложенное вдоль плоскости квантовой ямы, с Наблюдаемое температурное тушение проводимости одной стороны, создает поперечные ограничения для вблизи квантовых ступенек (рис. 2, b) хорошо согласудвижения носителей тока, а с другой Ч осуществляется с расчетной зависимостью (13) (рис. 2, a), если ет их перенос [8,9]. В зависимости от однородности принять во внимание величину энергетического зазора распределения бора внутри пироэлектрических барьеров между одномерными подзонами для исследуемой квантовнешнее электрическое поле формирует как гладкие, так вой проволоки ( 96 мэВ [9]). Универсальность примеи модулированные квантовые проволоки [8,9]. нения (13) для расчета температурной зависимости проОдним из наиболее важных следствий получения кван- водимости квантовой проволоки подтверждается также товых проволок с баллистическими свойствами является подобием температурного тушения квантовых ступенек, квантованная проводимость, возникающая при измене- которое было обнаружено при изучении двух квантовых нии напряжения на затворе, которое управляет поло- проволок с различными параметрами (рис. 3). жением уровня Ферми относительно подзон размерного Таким образом, полученное выражение для балликвантования и тем самым способно изменять число стической проводимости квантовой проволоки при коносителей тока в квантовой проволоке [2,3]. При этом нечных температурах позволяет описать температурное зависимость G(Vg), где Vg Ч напряжение на затворе, тушение квантовых ступенек, возникающих в проводиимеет ступенчатый характер, поскольку проводимость мости при прохождении уровня Ферми через подзоны квантовой проволоки изменяется скачком каждый раз, размерного квантования. В отличие от случая T = когда уровень Ферми совпадает с одной из подзон раз- предсказывается, что при конечных температурах балмерного квантования (см. рис. 2, a). Такая ступенча- листическая проводимость спадает до нуля при уменьтая зависимость проводимости от Vg была обнаруже- шении концентрации носителей в квантовой проволоке. на при исследовании вышеописанной гладкой кремни- Подобное температурное тушение квантовых ступенек в евой квантовой проволоки (2 2нм2), электростати- зависимости проводимости от напряжения на затворе бычески формируемой в самоупорядоченной кремниевой ло обнаружено при исследовании кремниевой квантовой квантовой яме p-типа (рис. 2, b). Положение уровня проволоки. Показано, что в пределе малых продольных Ферми, определяемое сечением проволоки, концентра- напряжений вклад заполненных подзон в баллистичецией двумерных дырок ( 2.5 109 см-2) и эффектив- скую проводимость описывается формулой Ландауэра - ной длиной одномерного канала ( 4мкм), соответ- Буттикера, тогда как при частичном их заполнении ствовало заполнению одномерных подзон как тяжелых, проводимость падает вдвое. Это приводит к темпераФизика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. Баллистическая проводимость квантовой проволоки при конечных температурах турному тушению квантовых ступенек в зависимости проводимости от положения уровня Ферми, когда kT приближается к величине энергетического зазора между уровнями размерного квантования. Данная работа выполнена при поддержке ФТНС (проект 97-1040), ПТУМНЕ (проект 02.04. 301.89.5.2) и Федеральной программы ФИнтеграцияФ (проект 75 : 2.1). Список литературы [1] R. Landauer. J. Res. Dev., 1, 233 (1957). [2] M. Bttiker. Phys. Rev. Lett., 57, 1761 (1986). [3] D.A. Wharam, T.J. Thornton, R. Newbury et al. J. Phys. C, 21, L209 (1988). [4] B.J. van Wees, H. van Houten, C.W.J. Beenakker, J.G. Williamson, L.P. Kouwenhoven, D. van der Marel, C.T. Foxon. Phys. Книги по разным темам