Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 6 Исследование коэффициента отражения от полупроводниковой сверхрешетки, помещенной в магнитное поле й А.А. Булгаков, О.В. Шрамкова Институт радиофизики и электроники Национальной академии наук Украины, 310085 Харьков, Украина (Получена 25 мая 1999 г. Принята к печати 18 августа 1999 г.) Изучаются особенности распространения магнитоплазменных волн в структуре, образованной периодическим повторением слоев полупроводника и диэлектрика. Внешнее магнитное поле лежит в плоскости слоев, а распространение волн происходит в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. В работе были проведены расчеты дисперсионных характеристик с учетом конечности скорости распространения света, исследованы свойства коэффициента отражения от рассматриваемой структуры. Показано, что по зависимости коэффициента отражения от частоты, угла падения и магнитного поля можно получить данные о физических параметрах и толщинах слоев, образующих сверхрешетку.1. Введение гармоник может быть положительной или отрицательной в различных зонах пропускания. На это обстоятельство Исследование физических свойств и технологических указывалось Л. Мандельштамом еще в 1945 г. [2].
параметров таких структур, как полупроводниковые Имеется значительное число литературных источнисверхрешетки, представляет значительные эксперимен- ков, связанных с теоретическим и экспериментальным тальные трудности. Одним из путей бесконтактного зон- исследованиями коэффициентов отражения и прохождедирования сверхрешеток является изучение зависимости ния в однородных средах (см., например, [3]). Одним коэффициента отражения (или коэффициента прохожде- из наиболее полных исследований процесса отражения ния) электромагнитной волны от различных внешних ве- плоской волны от диэлектрического пространства можно личин, например частоты, угла падения или постоянного считать работу Ф.И. Федорова [4].
магнитного поля.
Теория отражения от периодической диэлектрической В нашей работе [1] было показано, что зависимость структуры рассматривалась еще в работах А. Ярива и тензора диэлектрической проницаемости от частоты и П. Юха [5]. Однако и в настоящее время имеется магнитного поля приводит в слоистой среде к возник- значительный интерес к таким исследованиям [6].
новению специфической зонной структуры спектра, а также к распространению Фколлективных поверхност2. Постановка задачи. Зонная ных магнитоплазмоновФ. Последние представляют соструктура спектра бой поверхностные волны, распространяющиеся вдоль границ полупроводниковых и диэлектрических слоев.
Рассмотрим отражение и прохождение света через поПоля этих волн ФтуннелируютФ (проникают) через слои лубесконечную слоисто-периодическую структуру, обраи оказываются связанными между собой граничными зованную периодическим повторением слоев полупроусловиями. Воздействие внешнего поля на структуру при водника (толщина d1) и диэлектрика (толщина d2). Наопределенных условиях позволяет возбудить и изучить правим ось 0z перпендикулярно границам слоев. Помеэти свойства сверхрешетки.
стим описанную структуру во внешнее магнитное поле В данной статье получены аналитические формуH0, приложенное в направлении оси 0y. Рассматриваелы и проведены численные расчеты для коэффициенмые в данной работе магнитоплазменные волны распротов отражения (R) и прохождения (T ) при падении страняются в перпендикулярной магнитному полю плосэлектромагнитной волны на полуограниченную слоистокости x0z. Для решения задачи используем уравнения периодическую структуру, образованную слоями полуМаксвелла в слоях полупроводника и диэлектрика, а такпроводника и диэлектрика, помещенную во внешнее же граничные условия для полей на плоскостях раздела магнитное поле. Показано, что зависимости от частоты, слоев, состоящие в равенстве тангенциальных компонент угла падения и величины магнитного поля позволяют магнитного и электрического полей. Для выбранной определить как геометрию, так и свойства слоев, обрагеометрии уравнения Максвелла разделяются на две зующих структуру.
системы: для TE-волн с компонентами полей Ey, Hx, Hz Отметим, что имеется особенность в расчете коэф(обыкновенные волны) и для TM-волн с компонентами фициентов (R) и (T ) для периодической среды. Она полей Ex, Ez, Hy (необыкновенные волны). В работе иссвязана с тем, что групповая скорость пространственных следуются TM-волны, так как внешнее магнитное поле H0 не влияет на свойства TE-волн. Из материальных Fax: 380 (0572) E-mail: bulgakov@ire.kharkov.ua уравнений получаем тензор диэлектрической проницаеИсследование коэффициента отражения от полупроводниковой сверхрешетки, помещенной... периодичности, поэтому воспользуемся теоремой Флоке:
Hy2(d) =Hy1(0)eikd, Ex2(d) =Ex1(0)eikd. (3) Волновое число k Ч так называемое блоховское волновое число Ч является усредненным по периоду структуры поперечным волновым числом вместо поперечных чисел kz1, kz2 отдельных слоев. С помощью теоремы Флоке для определения k получаем соотношение m11 + m cos kd = = cos kz1d1 cos kz2df 12 kz1 2 kz2 2 1 - + - kx 2kz1kz2 f 1 2 1f sin kz1d1 sin kz2d2. (4) Здесь m11 и m22 Ч элементы передаточной матрицы m:
kz12 1 2 kxm11 = cos kz1d1 cos kz2d2 - kz2f 1 1 kz1kz2f Рис. 1. Зонная структура спектра.
1kx sin kz1d1 sin kz2d2 + i sin kz1d1 cos kz2d2, 1kzмости для полупроводника [7]:
kz2f 2( + i) p m22 = cos kz1d1 cos kz2d2 - sin kz1d1 sin kz2dxx = zz = = 0 1 -, 2 kz ( + i)2 - H 1kx 2H p - i sin kz1d1 cos kz2d2.
xz = -zx = = -i0, 1kz ( + i)2 - H где p Ч плазменная частота, 0 Ч решеточная часть Отметим, что для безграничной периодической среды эта диэлектрической проницаемости, H Ч циклотронная формула является дисперсионым уравнением, определячастота, Ч эффективная частота столкновений.
ющим связь между, kx и k.
Для слоев диэлектрика Спектр собственных волн представлен на рис. 1. Рис. получен численным путем по формуле (4) для структуры D2 = 2E2, 2 = const.
со следующими параметрами: первый слой Ч полупроДля плоской волны exp(-it + ikxx + ikzz) в каждом водник типа InSb ( = 17.8, p = 1012 с-1, d1 = 0.02 см;
слое поперечное волновое число имеет вид второй слой Ч диэлектрик (2 = 2), d2 = 0.005 см, H0 = 159.2 103 А/м (2000 Э).1 Предполагается, что 2 2 kz1 = f 1 - kx, kz2 = 2 - kx, (1) эффективная частота столкновений = 0. Видно, c2 cчто спектр имеет зонную структуру. Зоны, в которых где f Ч так называемая фойгтовская проницаемость, происходит распространение волн (разрешенные зоны) расположены между значениями блоховского волнового f = +. (2) числа kd = 2N (на рисунке эти границы отмече ны жирной линией) и kd = (2N + 1) (отмечены В формуле (1) индекс 1 относится к слоям полупроводтонкой линией), N = 0, 1,... и т. д. Прямая линика, а индекс 2 Ч к слоям диэлектрика.
ния 1 Ч световая линия однородного полупространства Для описания слоисто-периодической среды в работе kzg = (/c)2g - kx = 0, g Ч диэлектрическая используется метод передаточной матрицы [8], связывапроницаемость однородного полупространства. Прямая ющей поля в начале и конце периода структуры, линия 2 Ч kz2 = 0, левее этой линии поля во втором слое имеют волноводный характер (kz2 > 0), а правее Чполе Hy1(0) Hy2(d) = m , проникает (ФтуннелируетФ) через второй слой (kz2 < 0).
Ex1(0) Ex2(d) где d Ч период структуры, d = d1 + d2. Поля в пе- Эти же значения использованы и в расчетах, представленных на риодической структуре должны удовлетворять условию остальных рисунках.
Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 714 А.А. Булгаков, О.В. Шрамкова Характерными являются частоты [8] сверхрешетке, а границы зон выходят на асимптоту kz1 = 0, которая в этой области представляет собой H H прямую линию.
01,02 = + + 2, (5) ps 2 где ps = p 01/(01 + 2) Ч частоты поверхност- 3. Коэффициенты отражения ного плазмона на границе полупроводникЦдиэлектрик.
и прохождения Гибридная частота:
Одним из способов исследования спектра периодиче = 2 + H. (6) ской среды является изучение зависимости коэффициp ента отражения электромагнитных волн от параметров Наконец, некоторая ФкритическаяФ частота, смысл котопериодической структуры. Кроме того, энергия прохорой будет понятен далее:
дящей волны позволяет возбуждать собственные волны периодической структуры, например, Фколлективные 2 поверхностные магнитоплазмоныФ Ч волны, которые cr = ps. (7) 01 01 - образуют специфические зоны пропускания в периодической среде. Поэтому остальная часть работы посвящена Рассмотрим области зонной структуры.
теоретическому исследованию свойств коэффициентов 1. < 01. В этой области f < 0, kz1,2 Чмниотражения и прохождения.
мые величины, а в структуре распространяются волны, Задача об отражении от однородных сред хорошо изполя которых убывают по экспоненте от всех границ вестна в литературе [9]. Расчет коэффициента отражения структуры. Эти волны можно назвать Фколлективные от диэлектрического периодического слоя был сделан в поверхностные магнитоплазмоныФ. Из рисунка следует, работе [5]. Однако рассмотрение задачи об отражении от что для всех значений блоховского волнового числа полуограниченной периодической структуры связано с k дисперсионные кривые выходят на горизонтальную определенными трудностями в выборе правильного знака асимптоту = 01, а ширина зоны пропускания с ростом блоховского волнового числа. Известно [9], что отраkxd стремится к нулю. Отметим, что имеется только одна женная и прошедшая волны должны уносить энергию зона пропускания.
от границы раздела. Для отраженной волны нетрудно 2. В области между и 02, если H >cr, возникает вторая зона ФколлективныхФ волн. Если 02 < выбрать решение в виде волны, распространяющейся в глубь однородной среды. В периодической же структуре (H 3. При 01 <02 (H Особенность этой области в том, что диэлектрическая проницаемость f при. Поэтому m11 + m22 m11 + m22 eikd = i 1 стремится к бесконечности и аргумент тригонометри2 ческих функций kz1d1 в дисперсионном уравнении (4). Каждая зона пропускания характеризуется целым чи- = cos kd sin kd. (8) слом полуволн, укладывающихся поперек каждого из слоев, т. е. образование зон пропускания и непропуска- Отсюда следует, что знак блоховского волнового числа, а следовательно, и знак групповой скорости vgr = /k ния определяется условием геометрического резонанса определяются знаком второго слагаемого в этой формуна толщине одного из слоев. Поэтому с ростом kz1d ле. Если sin kd > 0, то плюс соответствует положительчисло зон пропускания и запрещенных зон становится ному значению групповой скорости и потоку энергии также бесконечно большим. В этой области проведена вдоль оси 0z, а минус означает, что энергия приноситкривая 3 kz1 = 0, которая является асимптотической линией для границ всех зон в этой области. Форма линии ся на границу с однородной средой. При sin kd < определяется зависимостью фойгтовской проницаемости положительному направлению потока энергии соответот частоты. С этим обстоятельством связана и форма ствует знак ФЦФ. Следовательно, знак перед корнем зон пропускания, ширина которых стремится к нулю при (или перед sin kd) для волны с групповой скоростью, возрастании kzd, а частота Ч к значению. Это уносящей энергию от границы в глубь периодической свойство спектра магнитоплазменных волн описано в среды, надо выбирать следующим образом. Для первой нашей работе [1]. зоны пропускания (см. рис. 1) Ч плюс, для второй 4. Наконец, при >02, зависимость компонент зоны Ч минус, в третьей Ч плюс, в четвертой Ч тензора диэлектрической проницаемости от магнитного минус и т. д. Именно на эту особенность определения поля уменьшается с ростом частоты, зонная структура коэффициента отражения от периодических структур спектра становится такой же, как в диэлектрической указывал Л. Мандельштам [2]. Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. Исследование коэффициента отражения от полупроводниковой сверхрешетки, помещенной... На плоскости раздела слоев структуры выполняются следующие граничные условия: Ex1(d1) =Ex2(d1), Hy1(d1) =Hy2(d1). Используя приведенные условия, находим коэффициенты отражения и прохождения. Для удобства введем обозначение = m12/[exp(-ikd) - m11], тогда для коэффициента отражения получим kzgc kzgc R = 1 - 1 +, (12) g g а для коэффициента прохождения 4kzgc kzgc T = 1 +, (13) g g Рис. 2. Коэффициент отражения при = 0 (1), 45 (2), 60 (3). kx = 0. где c kzm12 = -i cos kz1d1 sin kz2d Учитывая высказанные соображения, найдем коэффициент отражения как отношение усредненного (по kz1 1 2 kx времени) отраженного от поверхности потока энергии + - sin kz1d1 cos kz2df 1 1 kz1f к падающему потоку, а коэффициент пропускания как отношение усредненного прошедшего потока энергии к 1 kxkzпадающему потоку. + i sin kz1d1 sin kz2d2, 12 kzНапряженность электрического поля в однородной среде удобно представить в виде kx = (/c)g sin, kzg = (/c)g cos, Чугол i Exg = Exg(eikzgz + Ere-ikzgz), (9) падения электромагнитной волны из однородного полупространства. Угол отсчитывается от отрицательного i где Exg и Er Ч амплитуды падающей и отраженной направления оси 0z. волн соответственно. Из уравнений Максвелла найдем Исследование зонной структуры спектра может прововыражение для напряженности магнитного поля в однодиться различными способами: измерение зависимости родном полупространстве: коэффициента отражения R от частоты при постоянных g i значениях магнитного поля H0 = const и угла падения Hyg = Exg(eikzgz - Ere-ikzgz). kzgc = const; имерение R() при H0 = const и = const; наконец, изменение величины коэффициента отражения На интервале 0... d1 структуры представим напряженв зависимости от магнитного поля R(H) при = const ность магнитного поля в виде и = const. Hy1 = A1eikz1z + A2e-ikz1z. (10) Зависимость R() при H = 159.2 103 А/м (2000 Э) и трех значениях угла падения представлена на рис. 2 для Аналогично в области второго слоя структуры при области частот 01 <. Сравнивая этот рисунок z = d1... d2: с рис. 1, видим, что в запрещенных зонах коэффициент Hy2 = B1eikz2z + B2e-ikz2z. (11) отражения принимает значение R = 1. В зонах пропускания зависимость R() немонотонная, но кривые при Подставляя Hy1 и Hy2 в уравнения Максвелла, находим: одинаковых значениях угла падения подобны друг другу. Книги по разным темам