Книги, научные публикации Pages: | 1 | ... | 2 | 3 | 4 | 5 |

Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права А.Н. Малахов Н.И. Максюков В.А. Никишкин Высшая математика (учебное пособие) Москва 2003 УДК - 517 ББК - 22.11 ...

-- [ Страница 4 ] --

Y 1- x y=+ X 1 1-x (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy, или D 0 1-y (x, y) = dy f (x, y)dx D 0 2. (x-2)2+(y-3)2 Y R= 2 X 3+ 4-(x-2) f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy, или D 3- 4-(x-2) 2+ 4-(y-3) f (x, y)dxdy = dy f (x, y)dx D 2- 4-(y-3) Пример. Переменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла:

1 x 2 2-x 1. (x, y)dy + dxf dx f (x, y)dy = f (x, y)dxdy 0 0 1 0 D Сделаем чертеж области:

X 1 Y 2-y получим (x, y)dxdy = f dy f (x, y)dx.

D 0 5y 1 x 2 1- 4x-x2 - 2. (x, y)dy + dx f dx f (x, y)dy = f (x, y)dxdy 0 0 1 0 D Y X 2 - y 2 2- 2-y f (x, y)dxdy = dy f (x, y)dx D y 1.10.2. Замена переменных в двойном интеграле Пусть имеются две плоскости с выбранными на них прямоугольными декартовыми системами координат XOY и область UOV. Рассмотрим в этих плоскостях две замкнутые области: области D на плоскости XOY и области на плоскости UOV, и предположим, что функции:

x = (U,V) (1) y = (U, V) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками этих областей.

Пусть функции (U,V) и (U,V) непрерывны в области вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда определитель (U, V) (U, V) x x U V U V = (U, V) (U, V) y y U V U V будет непрерывной функцией переменных U и V, определенных в области. Этот функциональный определитель, называемый определителем Якоби или якобианом отображения (1), принято (x, y) обозначать J (U,V) или символом. Абсолютная величина (U,V) Якобиана играет роль коэффициента плоскости UOV при преобразовании ее в плоскость XOY.

Y V D X U Рассмотрим двойной интеграл f (x, y)dxdy D от непрерывной в заданной области D, ограниченной кусочно-гладкой линией.

Поставим своей целью заменить двойной интеграл по переменным х и у (по области D) равным уме двойным интегралом по переменным U и V (по области ).

Эта цель достигается с помощью формулы замены переменной в двойном интеграле:

f (x, y)dxdy = ((U, V),(U,V))J(U,V) dUdV.

D Применим эту формулу при переходе к полярным координатам: x= cos;

y= sin.

Вычислим Якобиан:

cos - sin (x, y) О(,х)= =cos2+sin2=.

(,)= sin - cos В итоге получим формулу перехода к полярным координатам f(x,y)dxdy = f( cos,sin) dd D + -x Пример. Вычислить интеграл Пуассона dx. Для вычисления e -x2 -y рассмотрим двойной интеграл e dxdy, где D четверть круга радиуса D R, расположенная в первом квадранте. Преобразуем его к полярным координатам:

R R 2 2 e- -x2 - y2 - d = e-R (1- ) e dxdy = de d = - 2 D 0 0 Предположим, что R+, т.е. область D расширяясь заполняет весь первый квадрант. По аналогии с несобственным интегралом от функции одной переменной запишем -x2 -y )= e dxdy = lim(1- e-R (*) R 4 0 Примем теперь в качестве области D квадрат 0xa;

0ya, тогда a a a a -x2 -y2 -x2 -y2 -x2 -y e dxdy = dxe dy = e dxe dy D 0 0 0 Т.к. величина определенного интеграла не зависит от обозначения a -x переменной интегрирования, то полученное выражение равно dx.

e Устремляя a получим:

2 a -x2 -y2 -x2 -x e dxdy = lime dx = e dx (**) a 0 0 0 a Сравнивая равенства (*) и (**) получим + -x2 -x2 -x e dx = или e dx = и окончательно e dx =.

4 0 0 1.11. Ряды 1.11.1. Числовые ряды 1.11.1.1. Основные понятия Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел:

U1, U2,..., Un,... (1).

Составленный их этих числе символ (формальное выражение) U1+U2+... + Un+... (2).

называется бесконечным чиловым рядом (или просто рядом). Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

(2а) U n n = где символ заменяет слово УсуммаФ, а индексы внизу и вверху означа ют, что нужно взять сумму чисел Un, когда n пробегает все целочислен ные значения от 1 до. (Впрочем, нумерацию членов ряда иногда быва ет удобнее начинать не с единицы, а с нуля или же с какого - либо нату рального числа, большего единицы).

Числа U1, U2,..., Un,... - называются членами ряда, а член ряда, стоящий на n-ом месте от начала - его общим членом.

Примеры рядов:

1-1+1-1+..., 1 1 1 + + +... + +..., 1 2 2 3 3 4 n(n +1) a+aq+aq2+...+aqn-1+...

Задать ряд - это значит указать правило, закон образования его членов, по которому можно найти любой его член. Ряд можно задать формулой его общего члена. Например, если U =, то тем самым n 2n - определен следующий ряд:

1 1 1+ + +...+ +...

3 5 2n - Выражение (2) является формальным, поскольку сумма бесконечного числа слагаемых не определена. Но поскольку в этом выражении между числами ряда знак суммирования, то подразумевается, что члены ряда как-то складываются. Сумма любого числа слагаемых будет найдена, если их складывать последовательно по одному. Это приводит к мысли поставить в соответствие ряду некоторое число и назвать его суммой ряда. С этой целью вводят понятие частичной суммы ряда.

Определение: Часточной суммой Sn числового ряда (2) называется сумма его первых n слагаемых, т.е.

S1=U1, S2=U1+U2, S3=U1+U2+U3,..., Sn=U1+U2+U3+....+Un.

Определение: Суммой числового ряда называется предел после довательности его частичных сумм, если этот предел существует S = lim Sn.

n Если lim Sn cуществует, то ряд (2) называется сходящимся, если же n lim Sn не существует, то ряд (2) называется расходящимся. В частности, n если lim Sn =, то ряд расходится.

n Примеры:

1. Рассмотрим ряд 1-1+1-1+1-... Найдем его частичные суммы S1=1, S2=0, S3=1, S4=0,... Последовательность его частичных сумм 1,0,1,0.1,0... не имеет предела, следовательно ряд расходится.

2. Рассмотрим ряд 1 1 1 + + +... + +..., 1 2 2 3 3 4 n(n +1) Найдем его частичные суммы:

1 S1 = = 1- ;

1 2 1 1 1 1 1 S2 = + = (1- ) + ( - ) = 1-,...

1 2 2 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = + + +... + = (1- ) + ( - ) + ( - ) +...

1 2 2 3 3 4 n(n +1) 2 2 3 3 1 1 + ( - ) = 1-.

n n +1 n + Так как lim Sn = lim (1- ) = 1, то рассматриваемый ряд сходит n n n + ся: его сумма равна 1.

3. Рассмотрим сумму членов геометрической прогрессии с первым чле ном а и знаменателем q (будем считать а0):

а+aq+aq2+aq3+...+aqn-1+...

Известно, что сумма Sn первых прогрессии определяется по формуле n a - aq a aqn Sn =, или Sn = -.

1- q 1- q 1- q Рассмотрим несколько случаев в зависимости от величины q:

n a aq a n 1. |q|<1. Тогда lim Sn = lim ( - ) = (т.к. lim q = 0 ). Следо n n n 1- q 1- q 1- q a вательно, при |q|<1 ряд сходится и его сумма S =.

1- q 2. |q|>1. Тогда |qn| при n, поэтому Sn, т.е. lim Sn не существу n ет.

3. q=1. В этом случае ряд имеет вид а+а+а+...+а+...

При этом Sn=n*a и lim =, так как а0. Следовательно, ряд расхо n дится.

4. q=-1. Тогда ряд имеет вид а-а+а-а+а-...(-1)n-1а+... Его частичные суммы попеременно ранвы а и 0: S1=a, S2=0, S3=a, S4=0,..., но такая последова тельность не имеет предела, и, следовательно, рассматриваемый ряд расходится.

Итак, ряд составленный из членов геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда знаменатель прогрессии q по абсо лютной величине меньше единицы.

1.11.1.2. Основные теоремы Если в ряде (2) отбросить первые m членов, то получится ряд:

Um+1+Um+2+...+Um+k+...= (3) U n n =m+k называемый остатком ряда (2) после m-ого члена.

1о. Если сходится ряд (2), то сходится и любой из его остатаков (3);

об ратно, их сходимости остатка (3) вытекает сходимость исходного ряда (2).

Фиксируем m и обозначим k-ю частичную сумму ряда (3) через S|k S|k=Um+1+Um+2+...+Um+k Тогда, очевидно, S|k= Sm+k - Sm (4).

Если ряд (2) сходится, так что SnS, то при неограниченном воз растании R -существует конечный предел S|= S - Sm (5) и для суммы S|k, что и означает сходимость ряда (3). Обратно, если дано, что сходится ряд (3), так что S|kS|, то перепишем равенство (4), полагая в нем R=n-m (при n>m), так:

Sn=Sm+S|n-m отсюда можно усмотреть, что при неограниченном возрастании n - частичная сумма Sn имеет предел S=Sm+S| (6), т.е. сходится ряд (2).

Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение вначале его нескольких новых членов не отра жается на сходимости ряда.

Сумму ряда (3), если он сходится, обозначим вместо S| символом m, указывая значком, после какого члена берется остаток. Тогда форму лы (6) и (5) перепишутся следующим образом:

S=Sm+m, m=S-Sm.

Если увеличивать m до бесконечности, то SmS, а m0. Итак:

2о. Если ряд (2) сходится, то сумма m его остатка после m-ого члена с возрастанием m стремиться к нулю.

Упомянем следующие простые свойства сходящихся рядов:

3о. Если члены сходящегося ряда (2) умножить на один и тот же мно житель с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится на с).

В самом деле, частичная сумма S ряда n cU1+cU2+...+cUn+...

очевидно, равна S = cU1+cU2+...+cUn=c(U1+U2+...+Un+=cSn n и имеет пределом cА.

4о. Два сходящихся ряда А=а1+а2+...+an+... и В=в1+в2+...+вn+...

можно почленно складывать (или вычитать), так что ряд (а1в1)+(а2в2)+...+(anвn)+...

также сходится, и его сумма равна, соответственно, АВ.

Если Аn, Вn и Сn означают частичные суммы упомянутых рядов, то, очевидно Сn = (a1 в1) + (а в2)+...+(а вn ) = 2 n = (а1 + а +...+а ) (в1 + в2 +...+вn ) = А Вn.

2 n n Переходя к пределу, найдем, что lim Cn = lim A lim Bn, что и дока n n n n зывает наше утверждение.

В заключение сделаем еще одно замечание.

5o. Общий член Un сходящегося ряда стремится к нулю. Это может быть доказанол совершенно элементарно: ряд Sn (а с ним и Sn-1)имеет конечный предел S, то lim U = lim(Sn - Sn -1) = lim Sn - lim Sn -1 = S - S = 0.

n n n n n Следствие. Если предел общего числа ряда при n не равен нулю, то ряд расходится.

Доказательство проведем отпротивного, т.е. допустим, что ряд сходится. Тогда в силу необходимого признака сходимости должно выполняться условие lim U = 0. Но по условию предел общего члена n n ряда не равен нулю. Это противоречие означает, что предположение о сходимости ряда ошибочно;

следовательно, ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда 10 20 10n + +...+ +...

1001 2001 1000n + Найдем предел общего члена ряда при n 10n 10 lim U = lim = lim = 0.

n n n n 1000n +1 1000 + n Значит, данный ряд расходится.

Однако важно подчеркнуть, что необходимо условие сходимости ряда не является само по себе достаточным для сходимости ряда. Ины ми словами, даже при выполнении его ряд может расходится. Приме ром такого ряда служит ряд 1 1 1 1+ + + +...+ +..., 2 3 4 n который называется гармоническим. Последовательность его частич 1 1 ных сумм S1=1, S2 = 1+ ;

S3 = 1+ +,... монотонно возрастает, по 2 2 скольку члены ряда положительны. Покажем, что она возрастает неог раниченно. Для этого члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + ( + ) + ( + + + ) + ( + + + + + + + )+...

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 В первую включим два члена (3-й и 4-й), во вторую 22=4 члена (с 5-го по 8-й), в третью 23=8 членов (с 9-го по 16-й) и т.д., каждый раз увеличивая вдвое число членов в группе. Таких групп, очевидно, бес конечное множество. Если заменить члены ряда в каждой группе их последними членами, то сумма членов этой группы уменьшится, т.е.

справедливы неравенства 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + > + =, + + + > + + + =,...

3 4 4 4 2 5 6 7 8 8 8 8 8 Таким образом, сумма членов каждой группы больше, а сумма членов, включенных в достаточно большое число групп, как угодно ве лика. Следовательно, последовательность частичных сумм гармониче ского ряда неограниченно возрастает, а ряд расходится, хотя его общий член U = при n стремится к нулю.

n n Заметим, что частичные суммы гармонического ряда возрастают, хотя и медленно. Например подсчитано, что S10007,48, а S100000014,39.

1.11.1.3. Сходимость положительных рядов Пусть ряд = a1 + a +...+a +... будет положительным, т.е. an> a n 2 n n = (n=1,2,3,...).

Тогда очевидно, An+1=An+an+1>An, т.е. Аn оказывается возрастаю щей. На основании теоремы о пределе монотонной последовательно сти, мы непосредственно приходит к следующему основному в теории положительных рядов предложению!

Положительный ряд всегда имеет сумму;

эта сумма будет конеч ной (и, следовательно, ряд - сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной (а ряд - расходящимся) в противном случае.

1.11.1.4. Теоремы сравнения рядов Сходимость или расходимость положительного ряда часто уста навливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого сравнения лежит следующая тео рема.

Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда a = a1 + a +...+a +... (А) n 2 n n = b = b1 + b2 +...+bn +... (В) n n = Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажем, для n>N), вы полняется неравенство: аnbn, то из сходимости ряда (В) вытекает схо димость ряда (А) или - что то же - из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство. На основании того, что отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведении, мы мо жем считать, не нарушая общности, что аnbn при всех значениях n=1,2,3,... Обозначим частные суммы рядов (А) и (В), соответственно, через Аn и Вn, будем иметь: АnBn.

Пусть ряд (В) сходится, тогда его частичные суммы Вn ограниче ны: ВnL (L=const;

n=1,2,3,...).

В силу предыдущего неравенства, и подобно АnL,а это, по той же теореме, влечет за собой сходимость ряда (А).

Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекаю щая из первой:

Теорема 2. Если существует предел (в предположении, что вn0) a n lim = K (0К+) n вn то из схоимости ряда (В), при K<+, вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости первого ряда, при K>0, вытекает расходимость второ го. (Таким образом, при 0<К<+ оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно).

Доказательство. Пусть ряд (В) сходится и К<+. Взяв произволь ное число >0, по самому определению предела, для достаточно боль ших n будем иметь а n < K +, откуда аn<(K+ )вn.

вn В силу 3о одновременно с рядом (В) будет сходится и ряд (К+)вn, полученный умножением его членов на постоянное число К+. Отсюда, по предыдущей теореме, вытекает сходимость ряда (А).

Если же ряд (В) расходится и К>0, то в этом случае обратное от вn ношение имеет конечный предел;

ряд (А) должен быть расходя a n щимся, ибо если бы он сходился, то, по доказанному, сходился бы и ряд (В).

Примеры.

1. Исследовать сходимость ряда 1 1 1 + + +... + +...

1 2 2 22 3 22 n 2n Члены ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда, составленного из членов геометрической прогрессии с общим числом U = :

n 2n 1 (n=1,2,3,...).

n *2n 2n Согласно теореме 1 данный ряд также сходится.

x sin x 2. Ряд sin n (0

в силу lim 1 n = x n n = n ( - расходится).

n n = Трудность применения на практике признаков (теорем 1 и 2) сравнения состоит в необходимости иметь УзапасФ рядов, сходимость (или расходимость) которых известна.

1.11.1.5. Признаки Даламбера и Коши Теорема (признак Даламбера). Пусть для числового ряда с поло жительными членами:

a = a1 + a +...+a +..., a > n 2 n n n = a n + cуществует lim = l, то n a n при l<1 ряд сходится, при l>1 ряд расходится, при l=1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае при знак на вопрос о сходимости ряда ответа не дает).

По определнию предела >0 N=N(), что n>N выполняется не равенство:

a a n +1 n + - l < или l - < l +.

a a n n Выберем N так, чтобы для n>N было l+=q<1, тогда a N + < q;

a < qa ;

a < qa < q2a ;

N+1 N N+2 N +1 N a N m a < q3a ;

...;

a < q a ;

...

N +3 N N +m N Ряд aNq+aNq2+...+aNqm+... сходится, так как знаменатель прогрессии q<1. Тогда по теореме 1 ряд также сходится.

a n n = Для случая q>1 доказательство аналогично, только нужно рас a n + смотреть > l - = q.

a n Пример. Исследовать на сходимость ряд 1 1 1 1+ + + +...+ +...

2! 3! 4! n !

a n ! n + Решение. lim = lim = lim = 0 - ряд сходится.

n n n a (n +1)! n + n Рассмотрим ряд с положительными членами an>0.

a n n = n Признак Коши: Если существует lim a = l, то при l<1 ряд схо n n дится;

l>1 - ряд расходится;

l=1 Ч определить сходимость невозможно.

Доказательство признака Коши аналогично доказательству при знака Даламбера.

n Пример. Исследовать на сходимость ряд.

2n n = Применим признак Коши:

n 1 n n n lim a = lim = lim n = < 1 - ряд сходится.

n n n 2n n 1.11.1.6. Интегральный признак Коши-Маклорена Пусть an числовой ряд с положительными числами.

n= Теорема.

Пусть члены ряда удовлетворяют следующим условиям:

1) составляют монотонную невозрастающую последовательность а0 а1 а2 а3... аn...;

2) можно построить монотонную невозрастающую функцию y = f(x) та кую, что f(0) = a0;

f(1) = a1;

f(2) = a2;

... ;

f(n) = an;

... ;

3) несобственный интеграл f (x)dx - сходится, тогда заданный ряд так же сходится. Если же интеграл расходится, то и ряд расходится.

Доказательство.

Составим частичную сумму Sn = a0 + a1 + a2 +... + an.

Поскольку ai = f(i) 1, то Sn = f(0)1 + f(1)1 + f(2)1 +... + f(n) f(x) f(0) f(1) f(n-1) f(n) f(x) f(2) 0 1 2 3 4 n-1 n Рис. Каждое слагаемое частичной суммы есть площадь прямоугольника с основанием единица и высотой, равной f(i) (Рис. 1). Добавление к час тичной сумме нового члена ряда означает добавление новой площади, а потому Sn Sn+1, то есть последовательность частичных сумм неубы вающая.

Рассмотрим частичную сумму Sn-1 = a0 + a1 +... + an-1 и примем за ai площадь прямоугольника, лежащего справа от f(i), т. е. с большей высо той. Тогда получим сумму площадей прямоугольников, часть площади которых расположена над кривой f(x). Эта площадь равна Sn-an. Рас смотрим сумму а1 + а2 +... + аn = Sn - a0.

Каждое слагаемое этой суммы есть площадь прямоугольника с ос нованием, равным единице, и маленькой высотой. Тогда сумма а1 + а2 +... + аn = Sn - a0 есть сумма площадей прямоугольников, лежащих под кривой f(x). Рассмотрим n f (x)dx = In.

С геометрической точки зрения этот интеграл есть площадь, огра ниченная кривой f(x) при 0 x < n и осью Ох.

Тогда из рис. 1 имеем Sn - a0 Jn Sn - an Sn Jn + a0.

По условию теоремы существует предел n lim Jn = lim f (x)dx = J, n n тогда Sn J+a0. Таким образом, последовательность {Sn} ограничена сверху, а потому имеет предел, значит ряд сходится.

Если lim Jn =, то учитывая, что Sn > Jn+an, откуда следует, что ряд n расходится.

Доказанная теорема называется интегральным признаком Коши Маклорена.

Пример Исследовать на сходимость обощенный гармонический ряд.

p n n= Решение. Члены ряда составляют монотонно убывающую после 1 1 довательность 1 > > >... > >....

p p 2 3p n Следовательно, функцией f(x) будет ;

f (x) =.

pp x x + N dx dx Рассмотрим и p p x x 1 N N N - p+ dx x- p+1 N = x- pdx = = - ;

p x - p + 1 - p + 1 - p + 1 0, p >1;

- p+ lim N = lim = p- N N N, p < 1.

+ N 0, p > 1;

dx dx Тогда = lim = p xn N x, p < 1.

1 Если р=1, то имеем - гармонический ряд, расходимость кото n n= рого доказана ранее.

Ряд сходится при р>1 и расходится при р 1.

p n n= 1.11.2. Знакопеременные ряды Прежде чем рассматривать ряды с членами произвольных знаков, расмотрим их частный случай, а именно ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, такие ряды называются знакочередующимися.

Знакочередующийся ряд, если первый член положителен, можно записать в виде:

U1 - U2 + U3 - U4 +... + (-1)n+1Un +..., где Un>0, n=1, 2, 3,...

1.11.2.1. Признак Лейбница Если члены знакочередующегося ряда U1 - U2 + U3 - U4 +...

монотонно убывают по абсолютной величине, т. е.

U1 U2 U3... Un Un+1...

и общий член ряда стремится к нулю, limUn = 0, то:

n 1) ряд сходится;

2) его сумма не превосходит величины первого члена ряда S = (-1)n-1Un U1 ;

n= 3) модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена (первого члена остатка):

k rn Un+1;

rn = (-1) U и имеет знак своего первого члена.

k k =n + Доказательство.

Построим S2n = U1 - U2 + U3 - U4 +... + U2n-1 - U2n = (U1 - U2) + + (U3 - U4) +... + (U2n-1 - U2n).

Поскольку любая скобка в этой сумме больше нуля, то последова тельность {S2n} возрастающая. Докажем, что она ограниченная. Для это го представим S2n следующим образом:

S2n = U1 - [(U2 - U3) + (U4 - U5) +... + (U2n-2 - U2n-1) + U2n].

Итак, последовательность {S2n}монотонно возрастающая, ограни ченная и, следовательно, сходящаяся. Пусть lim S2n = S.

n Чтобы доказать сходимость ряда, нужно доказать еще, что после довательность частичных сумм нечетного числа членов этого ряда также сходится и имеет предел, равный S.

Так как S2n+1 = S2n + U2n+1 и U2n+1 0 (по условию), то lim S2n+1 = lim S2n + U2n+1 = lim S2n + limU2n-1 = S + 0 = S () n n n n Заметим, что для суммы S ряда (1) справедливо соотношение 0S2n при любом n. Кроме того, S2n>0 (n=1, 2,...), а значит и S>0. Частные суммы нечетных номе ров S2n+1 можно записать в виде:

S2n+1 = U1 - (U2 - U3) -... - (U2n - U2n+1).

Отсюда видно, что последовательность {S2n+1} монотонно убы вающая и что S2n+1

Рассмотрим теперь остаток ряда, умноженны й на (-1)n (-1)n r n= Un+1 - Un+2 +...

Это ряд. По доказанному ряд сходится и его сумма не превосходит пер вого члена, то есть rn < Un+1.

Теорема доказана.

Пример 1 1 1 Ряд 1- + - +... + (-1)n+1 +... сходится по признаку Лейбница.

2 3 4 n Этот ряд отличается от гармонического только знаками членов четных номеров.

Пример 1 1 1 Ряд 1- + - +... + (-1)n+1 +... cходится по при 3 3 5 32 7 33 (2n -1)3n- знаку Лейбница:

1 1 > ;

lim = 0.

(2n - 1)3n-1 (2n + 1)3n n (2n - 1)3n- Если положить его сумму S, приближенно равной сумме первых шести членов этого ряда, то получим ошибку, абсолютная величина ко торой меньше, чем 1 < 0,001, S 0,907.

13 1.11.2.2. Абсолютная и условная сходимость рядов Рассмотрим произвольный знакопеременный ряд U1 + U2 +... + Un +..., (8.1) т. е. ряд с членами произвольных знаков. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (8.1):

|U1| + |U2| +... + |Un| +..., (8.2) Теорема.

Если сходится ряд (8.2), то сходится и ряд (8.1).

Доказательство сразу получается из принципа сходимости : нера венство |Un+1 + Un+2 +... + Un+m| |Un+1| + |Un+2| +... + |Un+m| показывает, что если условие сходимости выполняется для ряда (8.2), то оно тем более выполняется для ряда (8.1).

Можно рассуждать иначе. Из положительных членов ряда (8.1), перенумеровав их по порядку, составим ряд pk = p1 + p2 +K + pk +K ;

(P), k = так же поступим с отрицательными членами и составим ряд из их аб солютных величин q = q1 + q2 +K +qm +K (Q) m m= Сколько бы членов того или другого ряда ни взять, все они содер жатся среди членов сходящегося ряда (8.2), и для всех частичных сумм Рк и Qm выполняется неравенства Рк S*;

Qm S*, так что оба ряда (Р) и (Q) сходятся;

обозначим их суммы соответсвенно, через Р и Q.

Если взять n членов ряда (А), то в их составе окажется k положи тельных и m отрицательных, так что Sn = Pk - Qm. (8.3) Здесь номера k и m зависят от n. Если в ряде (8.1) как положитель ных, так и отрицательных членов бесчисленное множество, то при n одновременно k и m.

Переходя в равенстве (8.3) к пределу, приходим снова к заключе нию о сходимости ряда (8.1), причем его сумма оказывается равной S = P - Q.

Можно сказать, что при сделанных предположениях сумма данно го ряда равна разности между суммой ряда, составленного из одних по ложительных его членов, и суммой ряда, составленного из абсолютных величин отрицательных членов.

Если ряд (8.1) сходится вместе с рядом (8.2), составленным из аб солютных величин его членов, то про ряд (8.1) говорят, что он абсолют но сходится.

Если ряд (8.1) сходится и ряд (8.2) расходится. Тогда ряд (8.1) на зывают условно сходящимся.

Между свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов имеет ся глубокое различие.

Теорема.

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходя щимся при любой перестановке его членов, причем сумма ряда не зави сит от порядка его членов.

Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А, или символ + или -, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А (или + или - ). Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полу ченный после перестановки членов, окажется расходящимся.

На доказательство этой теоремы мы не будем останавливаться.

Приведем пример, показывающий, что сумма условно сходящего ся ряда меняется при перестановке его членов.

Рассмотрим условно сходящийся ряд 1 1 1 1- + - + -... (8.3) 2 3 4 Переставим его члены так, чтобы после одного положительного члена шло два отрицательных. Получим ряд 1 1 1 1 1 1 1 1- - + - - +... + - - +... (8.4) 2 4 3 6 8 2k -1 4k - 2 4k Обозначим через S сумму данного ряда, покажем, что сумма полу ченного ряда равна S. Обозначим через Sn и n частичные суммы ря дов (8.3) и (8.4) и рассмотрим частичную сумму n при n = 3k.

1- 1 1 1 1 = - - - + +...

3k 2 4 3 6 1 1 1 1 1 1... + - - - - - + +...

2k -1 4k - 2 4k 2 4 6 1 1 1 1 1 1 1... + = - 1- + - +... + 2k -1 - = 4k - 2 4k 2 2 3 4 2k 1 1 1 1 1- + - +... + - 1 = = S2k 2 2 3 4 2k -1 2k 1 Следовательно, lim = lim S2k = S.

3k k k 2 Далее замечаем, что 1 lim = lim + = S 3k +1 3k k k 2k + 1 1 1 lim = lim + - = S 3k +2 3k k k 2k + 1 4k + 2 Таким образом, = lim = S.

n Итак, доказано, что в результате перестановки членов ряда его сумма изменилась (она вдвое уменьшилась).

Этот вывод, который на первый взгляд кажется парадоксальным, говорит о том, что бесконечные ряды отличаются по своим свойствам от сумм конечного числа слагаемых.

1.11.3. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды Функциональным рядом называется выражение U1(x) + U2(x) + U3(x) +... + Un(x) +..., члены которого U1(x), U2(x),..., Un(x),... являются функциями от х.

Давая х числовое значение х0, мы получаем числовой ряд U1(x0) + U2(x0) + U3(x0) +... + Un(x0) +..., который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Множество тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от х. Обозначим ее через S(x).

Специальный класс функциональных рядов составляют так назы ваемые степенные ряды вида с0 + с1 х + с2 х2 + с3 х3 +... + сn xn +..., (9.1) где с0, с1, с2,..., сn,... - последовательность действительных чисел, коэф фициенты ряда.

Выясним, какой вид имеет Уобласть сходимостиФ степенного ря да,то есть множество {x} тех значений переменной, для которых ряд (9.1) сходится.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд (9.1) сходится в точке х0 0, то он сходится и притом абсолютно в интервале (- |x0|, |x0| ), то есть при всех значениях х, удовлетворяющих условию |x|<|x0|.

Доказательство.

n Заметим, что вследствие сходимости ряда cnx0 его общий член n= n стремится к нулю: cnx0 0;

поэтому абсолютные величины членов этого ряда, начиная с некоторого n=N меньше любого на перед заданного чис ла >0. Так как имеется конечное число членов ряда с номерами, мень шими N, то абсолютные величины этих членов ограничены некоторым числов М (в качестве М можно взять максимальную абсолютную вели чину членов ряда с этими номерами или, если оно больше). Следова тельно, абсолютные величины всех членов ряда не превосходят числа М.

n cnx0 M (n = 01,2,K ), (9.2), Представим ряд (9.1) в виде 2 n x x x 2 n c0 + c1x0 + c2 x0 +... + cn x0 +...

x0 x0 x и составим ряд из абсолютных величин его членов:

2 n x x x 2 c0 + c1x0 + c2 x0 +... + cn x0 +... (9.3) x0 x0 x Сравним его с рядом, составленным из членов геометрической прогрессии 2 n x x x M + M + M +... + M +.... (9.4) x0 x0 x x Если |x|<|x0|, то для этого ряда = < 1, а поэтому он сходится.

x Так как при любом n имеют места неравенства (9.2), то члены ряда (9.3) не превосходят соответсвующих членов ряда (9.4). Члены этих рядов положительны, и, значит, в силу признака сравнения ряд (9.3) также схо сходится. Следовательно, и ряд (9.1) сходится, и притом абсолютно, при любом |x|<|x0|.

Теорема доказана.

Следствие.

Если степенной ряд расходится при некотором значении х = х1, то он расходится и при всех значениях |x|>|x1|.

Любой степенной ряд сходится при значении х=0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при х=0 и расходятся при остальных зна чениях х. Этот случай может быть иллюстрирован рядом 1 + х + 22 х2 +... + nn xn +... ;

действительно, если х фиксировано и х 0, то начиная с достаточно большого n, будет |nx|>1, откуда вытекает неравенство |nn xn|>1, озна чающее, что общий член ряда не стремится к нулю.

Область сходимости может состоять из всех точек оси Ох, други ми словами, ряд может сходится при всех х.

Пример.

x2 xn Рассмотрим ряд 1+ x + +... + +....

22 nn x Для любого х, начиная с достаточно большого n, будет < 1. Так n n+1 n+1 n+2 n+ x x x x как <, < и т. д., то, начиная с номера n, члены n + 1 n n + 2 n ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геомет рической прогрессии. Следовательно, при любом х ряд сходится.

Область сходимости ряда может состоять более чем из одной точ ки оси Ох, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимо сти.

Например, ряд 1 + х + х2 +... + хn +..., представляющий геометри ческую прогрессию со знаменателем х, сходится при |x|<1 и расходится при |x|1.

Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходи мости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для всех х, по модулю меньших R (|x|R), ряд расходится.

Что касается значений х = R и х = - R, то здесь могут быть различ ные возможности: ряд может сходится в обеих точках, или только в од ной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолют но, так и условно.

Определение.

Радиусом сходимости степенного ряда (9.1) называется такое чис ло R, что для всех х, |x|R, расходится. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Условимся для рядов, расходящихся при всех х, кроме х=0, счи тать R=0, а для рядов, сходящихся при всех х, считать R=.

Теорема.

Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при n от ношения абсолютных величин коэффициентов общего и следующего за ним членов ряда.

Доказательство.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (9.1) |c0| + |c1 x| + |c2 x2| +... + |cn xn| +... (9.5) Un + Найдем отношение для этого ряда:

U n cn+1 xn+ cn+ U n+ = = x, Un cnxn cn а затем предел его при n :

cn+1 cn+ Un+1 lim = lim x = x lim = x.

n Un n cn n cn R Здесь множитель |x| вынесен за знак предела, как не зависящий от n, и введено обозначение cn+1 lim =, (9.6) n cn R если этот предел существует и не равен нулю. Согласно признаку Да ламбера, ряд (9.5) сходится, если, откуда |x| 1, или |x|>R. Однако в этом случае из признака Даламбера сле R дует, что члены ряда (9.5) не стремятся к нулю. Тогда при n не стре мятся к нулю и члены ряда (9.1), а потому и он расходится при значени ях |x|>R. Следовательно, согласно определению, число R - радиус схо димости степенного ряда (9.1). Из соотношения (9.6) получим cn R =, т. е. R = lim. (9.7) n cn+1 cn+ lim n cn Приведем примеры:

x xn 10 Найдем радиус сходимости ряда1+ x + +... + +...

2! n!

cn n + 1 !

( ) n!

R = lim = lim = lim = lim n + 1 =.

( ) n n cn+1 n 1 n n!

n + 1 !

( ) 20 Найти область сходимости степенного ряда x 2!x2 n!xn 1+ + +... + +...

10 102 10n Найдем отношение n + 1 !

( ) cn n! 10n! = : = =.

cn+1 10n 10n+1 n! n + 1 n + ( ) R = lim = 0, т. е. ряд сходится только при х=0 и расходится при ос n n + тальных значениях х.

30 Найти область сходимости степенного ряда:

x2 x3 x4 xn n- x - + - +... + (-1) +...

2 3 4 n 11cn n + 1 Здесь cn =, cn+1 =, т. е. = = 1 + n n + 1 cn+1 nn cn R = lim = lim1 + = 1.

n cn+1 n n Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

1 1 1 n-1 При х=1 имеем ряд 1 - + - +K + (-1 +K, он сходится по тео ) 2 3 4 n реме Лейбница.

1 1 1 При х=-1 имеем ряд -1 - - - -K - -K, который расходится 2 3 4 n как произведение расходящегося гармонического ряда на -1. Следова тельно, областью сходимости служит полуинтервал (-1;

1].

40 Найти область сходимости степенного ряда 2 n x x x 1 + + +K + +K, 32 3n Найдем радиус сходимости ряда 1 1 3n+ R = lim : = lim = lim 3 = 3.

n 3n 3n+1 n 3n n Исследуем сходимость ряда при значениях х= 3. Подставив их в в данный ряд соответственно получим 1 + 1 + 1 +... + 1 + 1 +... ;

1 - 1 + 1 -... + (-1)n +.... Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при n). На обоих концах интервала сходимости данный ряд расхо дится, а область его сходимости (-3;

3).

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предпо ложении, что все коэффиценты членов ряда, начиная с некоторого, от личны от нуля. Применение формулы (9.7) допустимо только в этих слу чаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера, Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором ука занное условие выполняется.

1.11.3.1. Свойства степенных рядов Рассмотрим степенной ряд с0 + с1 х + с2 х2 +... + сn xn +..., (10.1) имеющий радиус сходимости R>0 (R может равняться ). Тогда каждо му значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на ин тервале сходимости. Обозначим ее через S(x). Тогда можно записать ра венство S(x) = c0 + c1 x + c2 x2 +... + cn xn +..., (10.2) понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции S(x) в этой точке. В этом же смыс ле будем говорить, что ряд (10.1) сходится к функции S(x) на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство (10.2) не имеет смыс ла.

Пример.

Найти сумму степенного ряда 1 - х + х2 -... + (-1)n xn +....

Это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q= -x. Следовательно, его сумма есть функция S x =.

( ) 1 + x Ряд сходится, если |x|<1. Поэтому равенство n = 1- x + x2 -... + (-1) xn +...

1+ x справедливо лишь для значений х(-1;

1), хотя функция S x = оп ( ) 1 + x ределена для всех значений х, кроме х= -1.

Можно доказать, что сумма степенного ряда S(x) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке [a, b] внутри интервала сходимости.

Равенство (10.2), справедливое в интервале сходимости степенного ряда, называют разложением S(x) в степенной ряд.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

Теорема 1.

Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно диф ференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны S`(x), S``(x),..., S(n)(x).

Теорема 2.

Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интег рировать в пределах от 0 до х, если х(-R;

R), причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и ис x x x ходный ряд, а суммы их соответственно равны S(x)dx, S x dx dx, K.

( ) 0 0 1.11.3.2. Разложение функций в степенные ряды Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степен ной ряд, т. е. представить в виде f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn +... (11.1) Задача состоит в определении коэффициентов an (n=0, 1, 2,...) ряда (11.1). Для этого продифференцируем равенство (11.1) почленно, после довательно получаем:

f (x) = 1 a1 + 2 a2 x + 3 a3x2 +... + n an xn-1 +...

f (x) = 1 2a2 + 2 3a3x + K(n -1) nan xn-2 + K (11.2) M (n) f (x) = 1 2 3...(n - 2)(n -1) nan +...

Полагая в этих равенствах (11.2) х=0, найдем f(0) = a0, f`(0) = a1, f``(0) = 2! a2, f```(0) = 3! a3,..., f(n)(x) = 1 2 3... (n-2) (n-1) n an=n! an.

(n) f (0), a = f (0), a = f (0),..., a = f (0),...

Тогда a0 = f (0), a1 = 2 3 n 1! 2! 3! n!

Подставляя значения найденных коэффициентов an в равенство (11.2), получим (n) f (0) f (0) f (0) f (0) f (x) = f (0)+ x + x2 + x3 +... + xn +... (11.3) 1! 2! 3! n!

Это разложение функции f(x) в ряд называется рядом Маклорена.

Примеры.

1. Разложить в ряд Маклорена функцию ех.

Найдем производные (ех)(n) = ex, поэтому при х=0 имеем f(0) = f`(0) =... = f(n)(0) =... = 1. Подставляя эти значения в формулу (11.3) получим искомое разложение x x2 xn ex = 1+ + +... + +... (11.4) 1! 2! n!

Этот ряд сходится на всей числовой прямой R=.

2. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = sin x.

f(x) = sin x, f`(x) = cos x, f``(x) = - sin x, f```(x) = -cos x, fIV(x) = sin x.

Так как производная четвертого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последова тельности. Найдем значения функции и ее производных при х=0:

f(0)=0, f`(0)=1, f``(0)=0, f```(0)= -1, fIV(0)=0,....

Поэтому ряд Маклорена для функции f(x) = sin x имеет вид x x3 x5 x2n- n- sin x = - + -... + (-1) +... (11.5) 1! 3! 5! (2n -1)!

Аналогично x2 x4 x6 x2(n-1) n- cos x = 1- + - +... + (-1) +...

2! 4! 6! (2(n -1))!

Можно доказать, что ряды (11.5) и (11.6) сходятся на всей число вой прямой.

1.12. Дифференциальные уравнения Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется выражение вида f(x,y,y',y'',...,y(n))=0 или f(x,y,dy,d y,...,dny)=0, dx dx2 dxn то есть уравнение, содержащее неизвестную, а следовательно искомую функцию y=y(x) под знаком производной или дифференциала n-го по рядка и других порядков k

dy Пример. y'=f(x,y), =f(x,y) dx Исходя из определения дифференциального уравнения следует, что его порядок равен порядку старшей производной, содержащейся в нем.

Степенью дифференциального уравнения называется степень старшей производной, содержащейся в нем.

Пример. (y''')2+(y')3=x4 - это дифференциальное уравнение третьего порядка, второй степени.

Решением дифференциального уравнения называется любая функ ция, которая будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тожде ство.

x2 x Пример. y'=x y= - решение, y= +с - тоже.

2 Процедура отыскания решения, называется интегрированием дифференциального уравнения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах.

Пример. Уравнение y'+y2=x интегрируется при =-4n(2n-1), где n-целое и =-, во всех остальных случаях не интегрируется.

1.12.1. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравне ний Пусть y=y(x) есть решение уравнения y'=f(x,y). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой y=y(x) имеет в каждой лежащей на ней точке М(x,y) угловой коэффициент k=f(x,y). Таким образом, нахождение решений y=y(x) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке некоторой области на плоскости задано "направление", требуется найти все кривые, которые в любой своей точке М имеют направление, заранее сопоставленное в этой точ ке. Если функция f(x,y) непрерывна, то это направление меняется при перемещении точки М непрерывно, и можно на глядно изобразить поле направлений, проводя в y достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей рассматриваемой облас ти точек короткие черточки с заданными для этих точек направлением.

x с= с= На рис. 1 это выполнено для уравнения y'=y2. Рисунок позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решения - инте гральные кривые. Вычисление показывает, что с=0 с= решение данного уравнения есть уравнение Рис. y=. На рис. 1 вычерчены интегральные кривые, соответствующие с-x значениям параметра с=0 и с=1.

1.12.2. Общий и частный интегралы. Общее и частное решения Рассмотрим некоторую функцию y=(х,с), где с есть некоторый параметр или произвольная постоянная. Найдем дифференциальное уравнение, которому эта функция удовлетворяет. С этой целью возьмем производную от функции y, получим y'='(х,с).

Если в этой операции будет исключено с, т.е. получается y'=(x), то это и будет дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, а y=(х,с) является его решением;

очевидно, в этом случае зависимость y от с линейна, т.е.

y=(х)+c.

Но допустим, что в '(х,с) содержится с. Тогда выражение y'='(х,с) нельзя назвать дифференциальным уравнением (ввиду неопределенно сти с) до тех пор, пока из выражения y'='(х,с) не исключим с.

Для этого разрешим уравнение y=(х,с) относительно с: с=(х,с).

Это возможно, если функция (х,с) имеет отличную от нуля производ ную по с (по теореме о существовании обратной функции), т.е.

с(xy)= 0.

, c Пусть это условие выполнено, тогда, подставив с=(х,с) в выра жение y'='(х,с), получим y'='(х,(х,с)) - искомое дифференциальное уравнение, решением которого будет y=(х,с). Итак, функция, завися щая от одной произвольной постоянной y=(х,с), тогда является общим решением дифференциального уравнения, когда выполнено условие:

0. Слово "общее" означает, что все частные функции, удовлетво c ряющие уравнению y'='(х,(х,с)) могут быть получены из функции y=(х,с) приданием с определенных значений.

Пусть дана неявная функция одной переменной (х,y,с)=0, содер жащая одну произвольную переменную. Найдем дифференциальное уравнение, для которого эта неявная функция будет решением. Для это го продифференцируем (х,y,с)=0. Получим (x,y,c)+ y(x,y,c)=0. Раз xy решая (х,y,с)=0 относительно с=(x,y) и вставляя его в уравнение (x,y,c)+ y(x,y,c)=0, получим искомое дифференциальное уравнение xy (x,y,(x,y))+ y(x,y,(x,y))= xy Решение дифференциального уравнения первого порядка, запи санное в виде (х,y,с)=0, зависящее от произвольной постоянной, явля ется общим интегралом. Рассмотрим теперь неявную функцию от одной переменной и n произвольных постоянных (х,y,с1,с2,...,сn)=0 (*) Получим дифференциальное уравнение, для которого эта функция будет решением. Допустим, что (х,y,с1,с2,...,сn) имеет производные по пере менным x, y, n-го порядка. Дифференцируя (х,y,с1,с2,...,сn)=0 n раз, по лучим + y = x y 2 2 + 2 y + y + ( y )2 = 0 (**) 2 xy y x y n (n) +... + y = y xn Рассмотрим совместно выражения (*) и (**). Объявим в этих вы ражениях неизвестными с1,с2,...,сn. Тогда (*) и (**) составляют систему n+1 уравнений, из которых можно исключить n произвольных постоян ных. В результате получим уравнение n-го порядка F(х,y,y',y'',...,y(n))=0.

Выражение (*) является общим интегралом этого уравнения.

Функция (*) называется общим интегралом уравнения тогда, когда по сле n-кратного дифференцирования образуется система конечных урав нений (*) и (**), допускающая существование единственного решения для постоянных с1,с2,...,сn. Если (*) можно разрешить относительно y=(х,с1,с2,...,сn), то получим общее решение уравнения.

Частным интегралом или частным решением дифференциаль ного уравнения называется общий интеграл или общее решение, для ко торых указаны конкретные значения произвольных постоянных. Для оп ределения произвольных постоянных необходимо задать столько усло вий, сколько постоянных. Эти условия включают задание значения функции и ее производных в определенной точке. Так для уравнения n го порядка необходимо задать (n-1) y(x0)= y = y0, y(x0)= y = y0,..., y(n-1)(x0)= y(n-1) = y x=xo x=xo x=xo Числа x0,y0, y0,..., y(n-1) называются начальными значениями, эти ра венства - начальными условиями.

1.12.3. Теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений первого и n-го порядка Если дифференциальное уравнение разрешить относительно его старшей производной, то полученное уравнение называется разрешен ным относительно старшей производной. Рассмотрим уравнение первого порядка y'=f(x,y). (1.1) y Пусть функция f(x,y) определена в некото рой открытой области D плоскости xoy (Рис. 1) и y=(x) есть решение уравнения (1). Тогда область D x М(x0,y0) определения функции y=(x) должна принадле 0 жать области D и быть в ней дифференцируемой.

y=(x) Пусть в D дана точка М с координатами x0, y0, та кая, что y(x0)=y0. Ставится задача: найти условия, Рис. налагаемые на функцию f(x,y), при которых урав нение (1) имеет решение, удовлетворяющее на чальному условию y(x0)=y0. Такая задача называется задачей Коши.

Решение этой задачи определяется следующей теоремой.

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна в области f D вместе со своей частной производной по неизвестной функции y,, y то для всякой точки М(x0,y0), принадлежащей области D в некоторой ок рестности точки М, существует единственное решение y=(x) уравне ния(1), удовлетворяющее начальному условию y = y0=(x0).

x=xo Геометрически это означает, что при выполнении условий теоре мы через каждую внутреннюю точку области D проходит единственная интегральная кривая.

Сформулируем теперь теорему для уравнения n-го порядка, раз решенного относительно старшей производной y(n)=f(х,y,y',y'',...,y(n-1)) (1.2) с начальными условиями (n-1) y = y0, y = y0,..., y(n-1) x=xo = y0 (1.3) x=xo x=xo Теорема. Если функция f(х,y,y',y'',...,y(n-1)), зависящая от n+1 пе ременных: х,y,y',y'',...,y(n-1) определена и непрерывна в некоторой (n+1) мерной открытой области D вместе со своими производными f f f f ;

;

... ;

, то для всякой точки М(x0,y0, y0, y0..., y(n-1) ), принад, y y y y(n -1) лежащей области D в некоторой окрестности точки М, существует един ственное решение y=(x) уравнения (1.2), удовлетворяющее начальным условиям (1.3), причем y0= (х0), y0= (х0),..., y(n-1)= (n -1)(х0).

Условия, накладываемые в теоремах на правые части уравнений (1.1) и (1.2), достаточны как для существования, так и для единственно сти решений уравнений. Для существования решения достаточно по требовать ограниченности производных fy, fy,..., fy в открытой области (n -1) D. Теоремы примем без доказательств.

1.12.4. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений первого порядка Рассмотрим уравнение первого порядка, разрешенное относи тельно первой производной:

y'=f(x,y);

x'=q(x,y), (2.1) где неизвестной является функция y(x) (либо x(y)), а известной является dy dx функция f(x,y) (либо q(x,y)). Учитывая, чтоy=, а x=, и полагая dx dy P(x,y) возможным представить f(x,y) или q(x,y) в виде -, уравнение (2.1) Qx,y) ( можно записать в симметричной форме P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (2.2) Если в этом уравнении P(x,y) и Q(x,y) можно представить в виде P(x,y)=N(x)R(y) и Q(x,y)=M(x)K(y), то уравнение (2.2) записывается как N(x)R(y)dx+M(x)K(y)dy=0 (2.3) Это уравнение называется уравнением с разделяющимися пе ременными. Метод его решения: разделив (2.3) на произведение M(x)K(y) получим N(x)dx+ K(y)dy= (2.4) M(x) R(y) Уравнение (2.4) называется уравнением с разделенными пере менными. Операция деления уравнения (2.3) на произведение М(х)R(y) называется разделением переменных. Интегрируя (2.4), получим об щий интеграл N(x) K(y) M(x)dx+R(y)dy=c исходного уравнения. При делении (2.3) на произведение М(х)R(y), можно потерять некоторые решения, которые получаются из уравнения М(х)R(y)= Определяя из этого уравнения решения y=(x), следует проверить, явля ется ли оно решением уравнения (2.3). Если не является, его следует от бросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий инте грал. Если входит, то оно есть частное решение, а если не входит, то это решение называется особым.

Пример. Решить уравнение y(x+1)dx+(y-1)xdy=0.

Решение. Разделим уравнение на произведение xy, получим:

x+1dx+ y+1dy=0;

dx+ +dy+ dy dx =0.

x y x y Интегрируя получим общий интеграл x+ln|x|+y+ln|y|=c;

ln|xy|+x+y=c.

В этом уравнении М(х)R(y) имеет вид xy=0. Его решения x=0, y= является решениями исходного уравнения, но не входит в общий инте грал. Следовательно, решения x=0, y=0 является особыми.

1.12.5. Однородные уравнения Функция f(x,y) называется однородной степени m, если для любых x, y и t0 выполняется равенство f(tx,ty)=tmf(x,y).

Если функции M(x,y) и N(x,y) однородные одной и той же степени m, то дифференциальное уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется dy однородным. Оно приводится к виду =(y) и решается подстановкой dx x y dy du dx =u или y=ux, =xdu +u. Тогда xdu +u =f(u) или =. Следова x dx dx dx f(u)-u x du x du f(u)-u тельно, ln = f(u)-u (c0) или x=ce, где с0 - произвольная посто c янная.

Пример. (x2+y2)dx+xydy=0. Данное уравнение является однород ным, так как функции M(x,y)= x2+y2, N(x,y)=xy однородные степени m=2. Сделаем замену y=ux, dy=udx+xdu. Тогда уравнение перепишется так: (x2+u2x2)dx+x2u(udx+xdu)=0 или (1+2u2)dx+uxdu=0.

Разделяя переменные, получим dx udu x c =-, ln =-1ln(1+2u2), x=.

x c 1+2u 1+ 2u y c4x2, 2y2 +x2 = c4, y= c4 x Так как у нас u =, то x4 = -.

x x2 +2y2 x2 2x dy Рассмотрим более общее уравнение чем =f(y), а именно dx x dy y =xn -1f( ) (2.5) dx xn dy Его можно решить подстановкой y=xnu, =nxn -1u +xn du;

тогда dx dx nxn -1u +xn du =xn -1f(u) dx xn du =xn -1(f(u)-nu) dx du dx = f(u)-nu x du x f(u)-nu ln = f(udu (c0), x=ce, c )-nu где с0 - произвольная постоянная.

Пример. y'=Axn+Bym (2.6) m y y=xn(A +By )=xn(A +B( )m).

n xn xm Это уравнение есть частный случай (2.5), если n +1=n (2.7) m Уравнение (2.6) при n=-2 и m=2 (условие (2.7) выполнено) имеет вид dy =Ax-2 +By dx du f(u)-nu и его решение может быть найдено по формуле x=ce, решения уравнения (2.5), где f(u)=A+Bu2, n=-2+1=-1.

Полученное уравнение есть частный случай уравнения Рикатти y'= By2+R(x), которое интегрируется в квадратурах только в исключительных случаях.

Мы доказали, что при R(x)=Ax-2 уравнение Рикатти решается в квадра турах. Отметим, что при R(x)=const уравнение Рикатти является урав 4k нением с разделяющимися переменными. Если R(x)=Ax и =k =- 2k - (k - целое), то подстановка 1 x, k =x2y(x)+ z=x +3 (n 1) (z) B приводит уравнение Рикатти к виду AB k =- 2 - z -1.

k +3 k + Последовательно применяя эту подстановку, можно исходное уравнение свести к случаю 0=0 (R(x)=const).

k + k Если же n1, то подстановка =z2(z)+ z, z= x- -1 приводит y(x) A уравнение к виду A B k =- z2 + z +1.

k +1 k + Применяя эту подстановку необходимое число раз, мы сведем уравнение Рикатти к случаю 0=0. Во всех других случаях уравнение Рикатти не решается в квадратурах.

Пример. Решить уравнение xydy-(x4+y2)dx=0. Имеем y y dy x4 +y2 x4(1+(x2)2) 1+(x2) = = =x dx xy y x3 y x2 x Это уравнение есть частный случай уравнения (2.5) при n= f(u)=(1+u2)/u.

1.12.6. Уравнения, приводимые к уравнениям с однородной функцией Общий вид таких уравнений следующий dy ax+by+c =f() (3.1) dx a1x+b1y+c Рассмотрим несколько случаев 1. Если с=с1=0, то имеем уравнение с однородной функцией и его можно y решить методом, изложенным ранее. Если u =, то уравнение преобра x a +bu зуется в уравнение ux+u =f( ), которое является уравнением с раз a1+b1u деляющимися переменными.

2. Пусть с, с10. Положим x=x1+h;

y=y1+k, (3.2) dy dy где h и k - постоянные. Учитывая, что dx=dx1 и dy=dy1;

= можно dx dx записать dy1 ax1+by1+ah +bk +c =f() dx1 a1x1+b1y1+a1h +b1k +c ah +bk +c= Подберем h и k так, чтобы (3.3) { a1h +b1k +c1= Тогда уравнение (3.1) переходит в уравнение dy1 ax1+by =f(), dx1 a1x1+b1y которое решается подстановкой y1=x1u.

3. Изложенный метод не подходит, если определитель системы (3.3) a b = a1 b a1 b Рассмотрим этот случай, обозначив = =;

a1=a;

b1=b, уравнение (3.1) a b запишется в виде dy ax+by+с =f( ).

dx (ax+by)+с Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой z=ax+by.

Приведенные операции геометрически означают следующее: чис ax+by+c литель и знаменатель в функции f() можно рассматривать как a1x+b1y+c левые части уравнений прямых в плоскости, которые либо пересекают a b ся (определитель не равен нулю): 0, либо параллельны (определи a1 b тель равен нулю). Подстановка(2.3) геометрически означает параллель ный перенос системы координат, что позволяет перенести начало коор динат в точку пересечения прямых.

Пример. (2x-y+3)dx+(x+y-1)dy= Запишем уравнение в форме (3.1) dy -2x+y- = (3.4) dx x+y- -2 Здесь а=-2;

b=1;

с=-3;

а1=1;

b1=1;

с1=-1. Определитель =-30. Сле 1 довательно уравнение (3.4) относится к случаю 2. Введем новые пере менные x1 и y1 так, что x=x1+h;

y=y1+k. Теперь запишем уравнение (3.4) в виде dy1 -2x1+y1-2h +k - = (3.5) dx1 x1+y1+h +k - -2h Система (3.3) для уравнения (3.5) следующая: h +k+k -3=0. Отсюда { -1= -2x1+y h =-2;

k=. Уравнение (3.5) можно записать в виде dy1 = (3.6) 3 3 dx1 x1+y dy1 -2x1+y Положим y1=ux1, тогда =du x1+u;

=u-2. Подставим полученные dx1 dx1 x1+y1 u+ результаты в (3.6):

dux1+u=u- dx1 u+ dx du u+ Разделим переменные dx x1=u-2-u ;

du=-. Найдем u+1 x u2+ u +1 u du 1 u u +2du =u +2du +u +2 =1ln u2 +2 + 2arctg y- 1 u 3=3y- Следовательно, 1ln u2 +2 + arctg +ln xc =0, но u=y1=y-k=.

( ) 2 x1 x-h 3x+ 2 x+ После объединения первого и последнего логарифмов получим общий интеграл уравнения (3.4) 2 1 3y - ln c(x + ) (3y - 5)2(3x + 2)-2 + 2 + arctg = 2 (3x + 2) 1.12.7. Уравнения в полных дифференциалах Выражение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy называется полным (точным) дифференциалом, если существует функция u(x,y) двух переменных, для которой du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. (4.1) Уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, (4.2) в котором левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x,y), называется уравнением в полных дифференциалах.

Если левая часть уравнения есть полный дифференциал функции u(x,y), то (4.2) можно записать du=0. Решением этого уравнения является u(x,y)=с.

Для существования решения y=y(x) уравнения (4.2), соответст вующего начальным значениям x0, y0, необходимо по u(x,y) иметь воз можность определить неявную функцию y(x). Для этого необходимо u при х=x0, y=y0. Учитывая равенства du=udx+udy и (4.1), имеем x x y Р(xy)=u;

Q(xy)=u. (4.3),, x y Для того, чтобы выражение (4.1), где P(x,y) и Q(x,y) - непрерывные Q P функции двух переменных, вместе с частными производными и в x y их общей части области определения D, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия Q=P. (4.4) x y Докажем необходимость. Пусть (4.4) - полный дифференциал. То гда дифференцируя (4.3) и вспомнив, что смешанные частные производ 2u 2u ные и равны между собой, получим (4.4).

xy yx Докажем достаточность. Дано (4.3) и (4.4), то есть дана система дифференциальных уравнений (4.3) с условием (4.4), из которой подле жит найти функцию u(x,y). Если в первом уравнении системы (4.3) за фиксировать y и проинтегрировать уравнение по х, то получим x u= (4.5) P(x,y)dx+(y).

x Здесь произвольная постоянная с=(y) зависит от y. В решении (4.5) не известна лишь (y). Для определения (y) продифференцируем (4.5) по y:

x u= (4.6) Pdx+(y).

y y x Используя второе уравнение (4.3) и (4.4), (4.6) можно записать так:

x x x Qx,y)= ( Qdx+(y), но Qdx=Q(x,y) =Q(x,y)-Q(x0,y), x x x x0 x поэтому Qx,y)=Qx,y)-Qx0,y)+(y) или (y)=Q(x0,y).

( ( ( Это дифференциальное уравнение относительно неизвестной функ ции (y). Решив его, имеем одно значение функции:

y (y)=,y)dy.

Q(x y y x Таким образом, u= (4.7) P(x,y)dx+Q(x,y)dy.

x0 y Здесь x0, y0 - координаты произвольной точки области определения u(x,y).

Из (4.6) следует du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy, то есть достаточность доказана.

y x Выражение (4.7) с учетом u(x,y)=с дает u(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy=c.

x0 y При решении дифференциальных уравнений вида (4.2) вначале проверяют выполнение условия (4.4). Затем из любого уравнения (4.3) отыскивают u(x,y). Дифференцируя полученное для u(x,y) выражение и используя другое уравнение (4.3) определяют (y) ((х)), а с ней и функ цию u(x,y). Решение получают в виде u(x,y)=с.

Пример. Решить уравнение (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0.

P=12xy;

Решение. P(x,y)=3x2+6xy2;

y Q=12xy;

Qx,y)=6x2y+4y3;

( x u(x,y)= y+4y3)dy=3x2y2+y4+(x) (6x u=6xy2+(x) 6xy2+(x)=3x2+6xy x (x)=3x2 (x)=x3 u(x,y)=3x2y2+y4+x Решением уравнения является x3+3x2y2+y4=c.

1.12.8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Уравнение dy+р(x)y=f(x) (a

Если f(x)=0, то уравнение dy+р(x)y=0 (5.2) dx называется линейным однородно, а в связи с этим уравнение (5.1) назы вают линейным неоднородным.

Однородное линейное уравнение имеет решение y(x)=0. Оно явля ется уравнением с разделяющимися переменными, решим его:

dy dy y р(x)dx =-р(x)y;

=-р(x)dx (y0);

ln =- (5.3) р(x)dx (c0);

y=ce dx y c Если в (5.3) разрешить постоянной с принимать нулевое значение, то формула (5.3) дает и решение y(x)=0.

Уравнение (5.1) обычно решают методом Бернулли. Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций u(x) dy du dv и v(x). Пусть y=uv, тогда = v+ u и уравнение (5.1) примет вид dx dx dx du dv du v+ u+p(x)uv=f(x) или v +udv +p(x)v=f(x) (5.4) dx dx dx dx Выберем функцию v(x) так, чтобы в уравнении (5.4) выражение в dv скобках обратилось в нуль: +p(x)v=0.

dx Относительно v(x) имеем линейное однородное уравнение, следо вательно, по формуле (5.3) можем положить v=e- р(x)dx. При такой функции du v, подстановка ее в уравнение (5.4) дает v =f(x), откуда du=f(x)dx.

dx v(x) f(x) p(x)dx u= v(x)dx+с =(f(x)e )dx+c.

Следовательно, общее решение уравнения (5.1) запишется в виде y= uv=ce- p(x)dx +e- p(x)dx +p(x)dx f(x)e dx, где с - произвольная постоянная.

2x 2x Пример. Решить уравнение y- y = x x2 +1. Здесь р(х)=- ;

x2 +1 x2+ f(x)= x x2 +1. Положим y=uv, y'=u'v+uv'. Подставляя выражения для y и y' в данное уравнение получим:

2x vu+u(v- v)=x x2+1 () x2+ 2x v- v=0.

x2+ После разделения переменных: dv=2xdx. Отсюда ln| v |=ln(x2+1) или v x2+ v= x2+1. Подставим найденное значение v в равенство(*), получим (x2+1)du=x x2+1.

dx Отсюда, разделяя переменные и интегрируя:

xdx xdx du= u= = x2+1+c.

x2+1 x2+ Теперь можно записать общее решение данного дифференциаль ного уравнения: y=( x2+1+c)(x2+1).

1.12.9. Уравнение Бернулли Уравнение Бернулли имеет вид y'+p(x)y=ynf(x), где n - любое ве щественное число.

Если n равно нулю или единице, то мы получим линейное диф ференциальное уравнение. Если n0, 1, то замена z=y1-n приводит нас снова к линейному уравнению относительно функции z(x).

Уравнение Бернулли можно сразу решать методом Бернулли, по лагая y=u(x)v(x). Следует отметить, что при n>0 функция y(x)0 являет ся решением уравнения Бернулли.

Пример. Решить уравнение y+y=x2y4.

x Сделаем замену z=y1-4=y-3, z'=-3y-4y'. Поделив исходное уравнение на y4:

y-4y+ =x2. Подставим в него значения для z и z', сделав необходимые xy преобразования, получим уравнение z-3z=-3x2, которое является линей x ным.

Приведем также решение непосредственно методом Бернулли.

Полагая y=uv, получим uv+uv+uv=x2u4v4;

u(v+v)+uv=x2u4v4 () x x dv+v=0;

dv=-dx;

lnv= -lnx;

v=. Подставив v в (*) получим dx x dx x x du=u4;

1 x u1=xu4 1 ;

du=dx;

- 1 =-1+c;

u3=3(1+cx);

u=3 3(1+cx) и окон x dx x x x4 x2 u4 x2 3u чательно y=13 x.

x 3(1+cx) 1.12.10. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 10 Уравнение вида y (n) = f(x) решается последовательным n-кратным ин тегрированием правой части. При каждом интегрировании получается одно произвольное постоянное, а в окончательном результате - n произ вольных постоянных.

Пример. Решить уравнения:

1) y = x Последовательно интегрируя получим:

63 y = dx;

y = - + c1;

y = - + c1dx;

x3 x2 x 33 c1x y = + c1x + c2;

y = + c1x + c2 dx;

y = 3ln x + + c2x + c3.

x x 2) y = 4 cos2x;

y = 4 cos2xdx = 2sin 2x + c1;

y = - cos2x + c1x + c2.

20. Если в уравнение не входит искомая y, то есть она имеет вид F x,y(k ),y(k +1),K,y(n) = 0, то порядок уравнения можно понизить, взяв за () новую неизвестную функцию низшую из производных, входящую в уравнение, т.е. сделав замену y(k ) = z.

Пример 1. Уравнение вида y = f(x,y) не содержит явным образом ис комой функции y.

dy dy Решение. Обозначим производную y = через Р, т.е. положим = P.

dx dx d2y dP Тогда y = =.

dx2 dx Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка dP = f x,P ( ) dx относительно неизвестной функции Р от х. Проинтегрировав это урав нение, найдем его общее решение:

P = P x,c1, ( ) dy а затем из соотношения = P получим общий интеграл исходного dx уравнения:

y = P x,c1 dx + c2.

( ) Пример 2. Решить уравнение x3y + x2y = 1.

dy d2y dP Положим y = = P, тогда y = = и мы получаем диффе dx dx2 dx ренциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции Р от х:

dP x3 + x2P = 1.

dx Поделив уравнение на х3 получим dP P + = dx x x линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Представим функцию Р в виде P = u v, тогда dP du dv = v + u.

dx dx dx Подставляя их в уравнение получим du dv uv v + u + =.

dx dx x x du dv v Далее v + u + = dx dx x x dv v dv dx + = 0;

lnv= - ln x v = = dx x v x x 1 du 1 dx отсюда = или du =, u = - + c x dx x3 x2 x 1 c1 dy 1 c P = - + ;

= - + x2 x dx x2 x y = + c1 ln x + c2.

x 30. Если в уравнение не входит независимое переменное х, т.е. уравнение имеет вид F y,y,y,K,y(n) = 0, то порядок уравнения можно понизить, () взяв за новое независимое переменное y, а за неизвестную функцию y = P(y).

Пример. Решить уравнение y y + (y)2 = 0.

В уравнение не входит х. Полагаем y = P(y). Тогда d(y) dP(y) dP dy y = == = P P.

dx dx dy dx Подставляя y = P и y = P P в уравнение, получим:

dP y P P + P2 = 0 или y P + P2 = 0, dy откуда dP dy c yPdP = -P2dy, = -, P = P y y или dy c1 y =, ydy = c1dx, = c1x + c2.

dx y 1.12.11. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Определение. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее производных y,y,y,K,y(n-1),y(n), т.е. имеет вид a0y(n) + a1y(n-1) +K+any = f(x), где a0,a1,a2,K,an и f (x) - заданные функции от х или постоянные, причем а00 для всех значений х из той области, в которой мы рассматриваем уравнение. В дальнейшем мы будем предполагать, что функции a0,a1,a2,K,an - постоянные, а f (x) непрерывна на всех значениях х, при чем коэффициент а0=1 (если он не равен 1, мы можем все члены уравне ния поделить на него). Функция f (x), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если f (x)не тождественна нулю, то уравнение называется неодно родным или уравнением с правой частью. Если же f (x)0, то уравнение имеет вид y(n) + a1y(n-1) +K+any = и называется линейным однородным или уравнением без правой части (левая часть этого уравнения является однородной функцией первой сте пени относительно y,y,y,y,K,y(n-1),y(n) ).

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений.

Рассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядка Ly] = y(n) + a1(x)y(n-1) +K+an(x)y = 0.

[ Выражение Ly] = y(n) + a1(x)y(n-1) +K+an(x)y [ называется линейным дифференциальным оператором от функции у.

С помощью линейного дифференциального оператора дифферен циальное уравнение запишется так L[y]=0.

Рассмотрим свойства которыми обладает линейный дифференци альный оператор 1. L[cy]=cL[y] это справедливо для любой постоянной в том числе и комплексной.

2. L[y1+y2]=L[y1]+L[y2] Теорема 1. Если у1(х) есть решение дифференциального уравнения L[y]=0, то с1у1(х) тоже решение уравнения L[y]=0, где с1 - произвольная постоянная.

Доказательство.

( ( Lc1 y1] = c1y1n) + c1a1(x)y1n-1)+K+c1an (x)y1 = c1Ly1] [ [ но L[y1]=0, тогда с1 L[y1]=0 и L[с1y1]=0.

Теорема 2. Если у1 и у2 - частные решения уравнения L[y]=0, то с1у1+с2у2 - также решения этого уравнения, где с1, с2 - произвольные по стоянные.

Доказательство. Подставив с1у1+с2у2 получим L[c1y1 + c2y2] = (c1y1 + c2y2)(n) + a1(c1y1 + c2y2)(n-1) +K+an(c1y1 + c2y2) = = c1Ly1] + c2Ly2] = 0;

Lc1y1 + c2y2] = 0;

[ [ [ то есть с1у1+с2у2 также является решением.

Теорема 3. Если функции у1(х);

у2(х);

Е ;

уn(х) - частные решения урав нения L[y]=0, то их линейная комбинация, т.е. у=с1у1+с2у2+Е+cnyn, так же является решением.

Какие же условия следует наложить на функции у1(х), у2(х), Е, уn(х), чтобы их линейная комбинация с произвольными постоянными являлась общим решением уравнения L[y]=0. Для этого введем понятие линейно независимой системы функций.

Система функций у1(х);

у2(х);

Е ;

уn(х) определенных на множест ве Х, называется линейно зависимой, если существуют такие, не все равные нулю, действительные числа 1, 2, Е, n, что линейная комбинация 1y1 + 2y2 +K+nyn = 0 для всех х из Х.

Функции у1(х), у2(х), Е, уn(х) называются линейно зависимыми на Х, если из тождества 1y1 + 2y2 +K+nyn следует, что 1=2=Е=n=0.

Назовем определителем Вронского для системы функций у1(х), у2(х), Е, уn(х), определенных на Х, следующий функциональный опре делитель n-го порядка:

y1(x) y2(x) K yn(x) y1(x) y (x) K y (x) 2 n Wx) = Wy1,K,yn) =.

( ( LLLLLLLLLLLL ( y1n-1)(x) y(n-1) (x) K y(n-1)(x) 2 n Мы предполагаем, что функции у1, у2, Е, уn на множестве Х непрерыв ны и имеют все производные до порядка n-1 включительно. Это функ циональный определитель.

Теорема. Если функции у1, у2, Е, уn линейно зависимы на множестве Х, то определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если решения у1(х), у2(х), Е, уn(х) линейно однородного урав нения L[y]=0 являются линейно независимыми на множестве Х, где ко эффициенты уравнения непрерывны, то определитель Вронского на этом множестве Х нигде не обращается в нуль.

Примем эти две теоремы без доказательств, также без доказатель ства примем следующие утверждения:

1. Если у1, у2, Е, уn - система из n линейно независимых частных реше ний линейного однородного дифференциального уравнения n-го поряд ка, то y = c1y1 + c2y2 +K+cnyn есть общее решение этого уравнения.

2. Максимальное число линейно независимых частных решений линей ного однородного уравнения L[y]=0 с непрерывными на множестве Х коэффициентами равно порядку уравнения.

3. Независимо от начальных условий все другие решения уравнения L[y]=0 являются линейной комбинацией линейно независимый частных решений.

Таким образом, для решения линейного однородного уравнения n го порядка необходимо найти n линейно независимых частных решений.

Общее решение уравнения получится как линейная комбинация этих ча стных решений.

Назовем фундаментальной системой решений линейного диффе ренциального уравнения L[y]=0 любые n линейно независимых частных решений.

Будем искать частные решения уравнения L[y]=0 или y(n) + a1y(n-1) +K+an-1y + any = 0 в виде y = ex, где - неизвестно.

Подставляя y = ex в уравнение получим:

nex + a1n-1ex +K+an-1ex + anex = учитывая, что ex 0, то деля уравнение на ex получим n + a1n-1+K+an-1 + an = 0.

Полученное уравнение называется характеристическим. Среди корней характеристического уравнения 1, 2, Е, n могут встретиться следую щие:

1. Все корни характеристического уравнения 1, 2, Е, n действитель ные и различные. Тогда функциональную систему образуют функции линейно независимые на (-;

1 2 n y1 = e x, y2 = e x, Е, yn = e x, линейная независимость этой системы следует из неравенства нулю определителя Вронского 12 n e x e x K e x 1 1 K 12 n 1e x 2e x K ne x 1 2 n, Wx) == e + +K+ = 1 2 K n ( LLLLLLLLL n -1 n -1 K n - 1 2 n 12 n n -1e x n -1e x K n -1e x 1 2 n поэтому общее решение будет:

12 n y = c1e x + c2e x +K+cne x.

Пример. Решить уравнение y - 7y + 6y = 0.

Составим характеристическое уравнение 2 - 7 + 6 = 0.

1=1 2=6 у1=ех у2=е6х.

Общее решение будет y = c1ex + c2e6x.

2. Среди корней характеристического уравнения, кроме действительных, есть и комплексноЦсопряженные, но нет кратных.

Пусть 1, 2, Е, m - действительные корни, а e = e ei ;

(2l=m+1, m+2, Е, n), где i2=-1.

Тогда действительным корням отвечают частные решения вида k yk = e x, k = 1,2,K,m, а паре комплексно-сопряженных корней e e i e e ye = e( +e i)x;

ye+1 = e( -e i)x или e e e e ye = e x e xi;

ye+1 = e x e- xi.

По формуле Эйлера ei = cos + i sin, имеем e e i x = cosex + i sinex;

e e- i x = cosex - i sinex;

ee ye = e x cosex + ie x sinex;

ee ye+1 = e x cosex - ie x sinex.

Докажем следующую лемму.

Лемма. Если функция y = v(x) + iu(x) является решением линейного дифференциального уравнения n-го порядка, то v(x) и u(x), также явля ются решением уравнения.

Доказательство. По условию дано:

L[y]=0;

L[v(x)] + iL[u(x)]=0.

Это равенство возможно, если L[v]=0,L[u]=0. На основании этой леммы примем за частные решения уравнения:

ee ye = e x cosex ye+1 = e x sinex.

Система частных решений:

1 2 m e x,e x,K,e x, m +1 m +1 m + 2 m + e x cosm+1x, e x sinm+1x, e x cosm+ 2x, e x sinm+ 2x,K, x x m+ n m + n n - m m + n K, e cosm+ nx, e sinm+ nx так как m + = как легко доказать, образует линейно независимую систему функций.

Общее решение в этом случае будет представлять линейную комбина цию указанных функций.

3. Среди корней характеристического уравнения есть кратные корни.

Пусть i - действительный корень кратности m, тогда этому корню отвечает m частных решений вида ii i i e x, x e x, x2e x,K,xm-1e x.

Если среди корней характеристического уравнения имеются комплекс ные корни, тогда каждой паре комплексно-сопряженных корней (2) (1) = + i = - i кратности m соответствует 2mчастных решений:

ex cosx, x ex cosx,K, xm-1ex cosx, ex sinx, x ex sinx,K, xm-1ex sinx.

Можно доказать, что найденные таким образом частные решения у1, у2, Е, уn составляют систему линейно независимых функций, то есть фундаментальную систему. Общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами запишется так:

n yoo = ci yi.

i= Примеры.

1. Найти общее решение уравнения у IV- у = 0.

Решение.

Составляем характеристическое уравнение 4-1=0.

Корни характеристического уравнения будут:

1=1, 2=-1, 3=i, 4=-i.

Частные решения:

у1=ех, у2=е-х, у3=соsx, y4=sinx.

Общее решение:

yoo=c1ex+c2e-x+c3cosx+c4sinx, где с1, с2, с3, с4 - произвольные постоянные.

2. Найти общее решение уравнения y - 3y + 3y - y = 0.

Решение.

Составляем характеристическое уравнение:

3-32+3-1=0 или (-1)3=0.

Корни характеристического уравнения:

1=2=3=1.

Частные решения:

у1=ех, у2=хех, у3=х2ех.

Составляют фундаментальную систему, и следовательно, общее реше ние будет:

yoo = c1ex + c2xex + c3x2ex или yoo = (c1 + c2x + c3x2 )ex.

1.12.12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение L[y]=f(x), где f(x) непрерывная функция. Однородное уравнение соответствующее неоднородному уравнению будет L[y]=0.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть y(x) - частное решение уравнения L[y]=f(x), а уоо - об щее решение уравнения L[y]=0, то общее решение уравнения L[y]=f(x) равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего ре шения однородного уравнения уон = уоо + y.

Эта теорема о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения.

Применение следующей теоремы позволяет упростить процесс отыскания частных решений неоднородных уравнений.

Теорема. Если правая часть уравнения L[y]=f(x) есть сумма нескольких функций, то частное решение уравнения равно сумме частных решений, отвечающих каждой функции в отдельности.

Доказательство. Пусть f(x) = f1(x) + f2(x), а частные решения уравнений L[y] = f1(x);

L[y] = f2(x) соответственно y1(x) и y2 (x). Тогда L[y1(x)] = f1(x), L[y2(x)] = f2(x);

L[y] = L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2] = f1(x) + f2(x);

y = y1 + y2.

Как мы убедились раньше, задача отыскания общего решения не однородного уравнения L[y] = f(x) сводится к отысканию общего реше ния однородного уравнения L[y] = 0 и частного решения неоднородного уравнения y.

Приведем без доказательства метод, позволяющий определить об щее решение неоднородного уравнения по общему решению однородно го уравнения.

Метод вариации постоянных 1. Решить однородное уравнение L[y] = 0 записать его общее решение y = c1y1 + c2y2 +K+cnyn ;

(*) 2. Записать общее решение неоднородного уравнения в форме общего решения, но с переменными коэффициентами y = c1(x)y1 + c2 (x)y2 +K+cn (x)yn ;

3. Построить систему уравнений c1(x)y1 + c (x)y2 +K+c (x)yn = 2 n c1(x)y1 + c (x)y +K+c (x)y = 2 2 n n ЕЕЕЕЕЕ ( c1(x)y1n-2) + c (x)y(n-2) +K+c (x)y(n-2) = 2 2 n n ( c1(x)y1n-1) + c (x)y(n-1) +K+c (x)y(n-1) = f(x) 2 2 n n и решить ее;

4. Полученное решение подставить в (*).

Пример.

Решить уравнение y + y = 0 < x <.

sinx Для соответствующего однородного уравнения y + y = 0 общее реше ние имеет вид y = c1 cosx + c2 sin x.

Запишем его в виде y = c1(x) cosx + c2 (x)sin x. (**) Составляем для данного случая систему c1(x) cosx + c (x) sin x = - c1(x) sin x + c (x) cosx =.

sin x Решаем эту систему cosx c1(x) = -1 c (x) =.

sin x Найдем с1(х) и с2(х) из уравнений dc1(x) dc2 (x) cosx = -1 = dx dx sin x cosx c1(x) = -x + c1 c2 (x) = dx = ln sin x + c2.

sin x Подставляя найденные с1(х) и с2(х) в (**) получим y = (-x + c1) cosx + (ln sin x + c2 ) sin x.

1.12.13. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью Пусть дано уравнение L[y] = f(x). Если f(x) имеет специальный вид, то, пользуясь методом вариации произвольного постоянного, мож но доказать, что частное решение может быть также найдено методом неопределенных коэффициентов.

Пусть f (x) = Um(x) ex cosx или f(x) = Vm(x) ex sinx, где Um(x) и Vm(x) - многочлены степени m (при m=0 Um(x) и Vm(x) об ращаются в постоянные), и некоторые действительные постоянные.

Если =0, то f(x) = Um(x)ex и, в частности, при m=0 f(x) = a ex (a - const).

При =0 имеем f(x) = Um(x) cosx или f(x) = Vm(x) sinx.

Если =0 и =0, то f(x) = Um(x) и, в частности, при m=0 f(x)=a (a - const).

Тогда если +i не является корнем характеристического уравне ния n + a1n-1+K+an-1 + an = 0, то уравнение L[y] = f(x) заведомо имеет частное решение вида y = ex (Pm(x)cosx + Qm(x) sinx), где Pm(x) и Qm(x) - некоторые многочлены степени не выше m.

Если же +i является корнем характеристического уравнения кратности r, то уравнение L[y] = f(x) заведомо имеет частное решение вида y = xr ex(Pm(x)cosx + Qm(x)sinx), где Pm(x) и Qm(x) - многочлены степени не выше чем m.

Пример. Решить уравнение y - y = 2ex - x2.

Решение.

2-1=0 1=1 2=-1.

Общее решение однородного уравнения будет yoo = c1ex + c2e- x.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

y = A x ee + Bx2 + Cx + D ;

y = A(ex + xex ) + 2Bx + C;

y = 2Aex + Axex + 2B.

Подставляя в исходное уравнение получим:

2Aex + Axex + 2B - Axex - Bx2 - Cx - D = 2ex - x2.

Приравнивая коэффициенты при подобных членах в обеих частях уравнения получим:

2A = 2 A = - B = -1 B = - C = 0 C = 2B - D = 0 D = y = xex + x2 + 2;

y = c1ex + c2e-x + xex + x2 + 2.

2. Решение типовых задач контрольных работ Задание 1. Написать уравнение прямой, проходящей через две извест ные точки А(2;

3) и В(6;

-2) и вычислить длину отрезка АВ.

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две известные точки М1(x1,y1) М2(x2,y2) имеет вид:

x - x1 y - y = x2 - x1 y2 - y поэтому уравнение прямой (АВ) примет вид:

x - 2 y - = или 5x + 4y - 22 = 6- 2 -2- Расстояние между точками М1 и М2 определяется по формуле:

2 = x2 - x1 + y2 - y ( ) ( ) 1 поэтому длина отрезка АВ:

АВ = 6- 2 + 3 = 41.

( ) (-2- ) Задание 2. Написать уравнение высоты (BN) и вычислить ее длину в треугольнике А(6;

0), В(2;

-3), С(-4;

9).

Решение: Уравнение пучка прямых, проходящих через точку М(x0,y0) имеет вид : y-y0=k(x-x0).

Угловой коэффициент прямой (BN) найдем из того условия, что (ВN)(АС). Условие перпендикулярности двух прямых, имеющих угло вые коэффициенты k1, k2:

k1 =- (п ри k2 0).

k Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки М1(x1;

y1) и y2 - y М2(x2;

y2) - k(M M ) = (п ри x1 x2 ) ;

1 x - x 9 т.о., k = = - AC ( ) -10 k = и уравнение (BN), следовательно, имеет вид :

BN ( ) y + 3 = x - 2 или 10x - 9y - 47 = ( ) Для вычисления высоты BN воспользуемся формулой, определяющей расстояние d точки М0(x0;

y0) до прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0:

Ax0 + By0 + C d = A +B Нам нужно определить расстояние точки В(2;

-3) до прямой, идущей че рез точки А(6;

0) и С(-4;

9).

Уравнение: (АС) y - 9 x + = 0- 9 6+ 9x +10y - 54 = 92 +10 (- ) BN = =.

92 +102 Задание 3. Вычислить в радианах величину внутреннего угла В в тре угольнике А(4;

-1), В(-4;

-5), С(1;

10).

Решение: Для определения угла В воспользуемся формулой тангенса угла между двумя прямыми, имеющими угло y C k1 - k вые коэффициенты k1 и k2: tg=, где k 1+ k1k x - угловой коэффициент той прямой, которая по A ворачивается до совмещения со второй против B часовой стрелки.

Рис. В нашем случае такой прямой является (ВА) (см. рис.2) yB - yA -5 +1 k = = = BA xB - xA -4 - 4 yB - yC -5- k = = = BC xB - xC -4 - 3 k - k BC BA tgB = = = 1+ k k BC BA 1+ =.

Задание 4. Написать уравнение (ВК) биссектрисы внутреннего угла треугольника с вершинами А(4;

-1), В(-4;

-5), С(1;

5).

y C Решение: Воспользуемся уравнениями бис К сектрис углов, образованных пересечением x двух прямых, заданных уравнениями:

A B Рис. A1x + B1y + C1 = 0 и A x + B2y + C2 = Уравнения таких биссектрис имеют вид:

A1x + B1y + C1 A x + B2y + C = 2 2 A1 + B1 A + B 2 Точка М(x;

y), координаты которой удовлетворяют этому условию, равноудалена от двух данных прямых, т.к. в левой и правой части равен ства записаны расстояния ее до этих прямых.

В нашем случае уравнения прямых (АВ) и (ВС) имеют вид:

y + 5 x + 4 (АВ): = или x - 2y - 6 = 0 или y = x - -1+ 5 4 + 4 y - 5 x - (BC): = или 2x - y + 3 = 0 или y = 2x + -5- 5 -4 - Уравнения двух биссектрис угла В (внутреннего и внешнего) име ют вид:

x - 2y - 6 2x - y + =, что равносильно уравнениям:

1+ 4 4 + x-2y-6=2x-y+3 или y=-x-9 (1) x-2y-6=-(2x-y+3) или x-y-1=0(2) и y=x-1(2) Из уравнений (1), (2) угловые коэффициенты этих биссектрис k=-1, k= Искомый угловой коэффициент должен удовлетворять неравенст ву:

k(BA)< k(BK)

Задание 5. Составить уравнение линии, каждая точка которой вдвое дальше от прямой y+2=0, чем от точки F(-3;

1).

Решение: Пусть точка М(x,y) обладает указанными свойствами:

M (x,y) y 2 F = d, где d - расстояние точки М до F(-3,4) заданной прямой.

d MF = x + 3 + y - x ( ) ( ) x+2= y+ d = = y + 0+ Рис. Координаты x, y точки М должны удовлетворять следующему уравне нию:

2 x + 3 + y -1 = y + ( ) ( ) После возведения в квадрат и соответствующих преобразований получим уравнение:

4x2 + 24x + 3y2 - 12y + 36=0 или 4(x2 +6x +9 - 9) + 3(y2 -4y +4 -4) - 36 = ----------- ------------ 4(x + 3)2 + 3(y-2)2 - 48 + 36 = x + 3 y ( ) ( - ) + = 3 Это уравнение эллипса с осями симметрии, параллельными коор динатным осям с центром в точке С(-3;

2) и полуосями a = 3, b = y 0 x Рис. Задание 6. Составить уравнение гиперболы, симметричной относитель но координатных осей, с фокусами на оси Ox, если уравнения ее асим 3 птот y = x, а расстояние между директрисами -12.

4 x2 y Решение: Уравнение такой гиперболы имеет вид - = 1 и для его a b записи необходимо вычислить величины a и b. Так как уравнения асим a птот гиперболы имеют вид y = x, то для имеем соотношение:

b b = (1) a 2a Так как расстояние между директрисами равно, где - эксцен триситет, то :

2a = 12 (2) с Кроме того, = c = a + b2, поэтому условие (2) можно запи a сать так: 2a a = Для a и b получим следующую систему:

b a = b = a 4 2a2 64 2a2 = = a2 + b2 a2 + a a=8, b=6 и уравнение гиперболы:

x2 y - = 1.

64 Задание 7. Даны вершины пирамиды: А1 (2;

-1;

1), А2 (5;

4), А3 (3;

-1), А4 (4;

3). Написать уравнение высоты А4К, вычислить ее длину, вычис лить объем пирамиды и площадь грани А1 А2 А3.

Решение: Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(x0 ;

y0 ;

z0) параллельно вектору l m;

p имеет вид:

{ } x - x0 y - y0 z - z = =.

m n p Поэтому канонические уравнения прямой, проходящей через точ ку А4 (4;

3) имеют вид:

x - 4 y -1 z - = =, где вектор {m;

p}- направляющий, т.е. парал m n p лельный искомой плоскости.

Т.к. (А4 К) плоскости (А1 А2 А3), то нормальный вектор этой плоскости будет направляющим для искомой прямой. Уравнение плос кости, проходящей через точки А1 (2;

-1;

1), А2 (5;

4), А3 (3;

-1) можно записать как условие компланарности векторов А1А, А1А, А1М, где 2 М(x;

z) - любая точка плоскости.

А1А = ;

;

{ } А1А = 13;

- ;

{ } А1М = x - 2;

y +1;

z - {} Необходимым и достаточным условием компланарности этих век торов является равенство нулю их смешанного произведения:

А1А А1А А1М = 0.

2 Или в координатной форме:

x - 2 y +1 z - 3 6 3 = 1 3 - x ( - ) (-21 y +1 + z -1 3 = 0 или )-( ) (- ) ( ) 7x - 3y - z -16 = 0.

Нормальный вектор плоскости (А1 А2 А3) N = 7;

-3;

-1, а канониче { } ские уравнения высоты (А4К):

x - 4 y -1 z - = =.

7 -3 - Для вычисления длины высоты (А4 К) воспользуемся формулой.

Расстояние d точки М0 (x0;

y0;

z0) до плоскости Ax+By+Cz+D= Ax0 + By0 + Cz0 + D d = A + B2 + C 74 - 31-13-16 AK = = 49 + 9 + Площадь грани А1 А2 А3 можно вычислить по формуле:

SA A2A3 = A1A A1A, 2 где А1А А1А - векторное произведение векторов.

2 i j k A1A A1A = 3 6 3 = 9;

{-21;

} 2 1 3 - А1А2 А1А3 = 212 + 92 + 32 = 3 7+ 3+1 = 3 SA A2A3 = Объем пирамиды вычислим по формуле:

VA A2A3A4 = A1A A1A A1A, г де A1A A1A A1A - смешанное 2 3 4 2 3 произведение векторов.

А1А = 2;

{ } 3 6 3 1 2 А1А А1А А1А = 1 3 -2 = 32 1 3 -2 = 6 = - () (- ) 2 3 2 2 2 1 1 VA A2A3A4 = 6 = (- ) Задание 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две па раллельные прямые:

x -1 y + 6 z x+ 4 y +1 z - = = и = =.

2 3 0 2 3 Решение: Из канонических уравнений M1(1;

-6;

0) прямых видно, что первая идет через M(x,y,z) точку М1 (1;

-6;

0), а вторая - через М2 ( 4;

-1;

3), и обе прямые имеют направлен ный вектор l = 2;

0. Пусть точка М(x;

{ } y;

z) принадлежит искомой плоскости, M (-4;

-1;

3) тогда вектора М1М, М1М, l должны быть компланарны, т.е. М1М М1М l = 0, что в 2 координатной форме записывается равенством:

x + 4 y +1 z - 5 -5 -3 = 0, 2 3 что и является уравнением заданной плоскости. Раскрывая определитель и приводя подобные члены получим: 9x-6y+25z -45=0.

x3 + 4x2 + Задание 9. Найти lim x 2x3 + x Решение. При х числитель и знаменатель этой дроби являются бес конечно большими функциями, такое отношение, условно обозначаемое символом, представляет собой неопределенность, для раскрытия ко торой нужно провести преобразования.

Разделим числитель и знаменатель почленно на наивысшую в дан ной дроби степень х (на х3):

4 1 + + x3 + 4x2 + x x3 lim = lim = x x 2x3 + x 2 + x 4 5 Замечание.,, представляют собой бесконечно малые функции x x3 x при х, т.е. их пределы равны 0.

x2 +1 - Задание 10. Найти lim x x + 3 - При х0 числитель и знаменатель дроби являются бесконечно ма лыми функциями, такое отношение, условно обозначаемое символом, представляет собой неопределенность, для ее раскрытия сделаем следующие преобразования:

x2 +1 -1 x2 +1 +1 x + 3 + ( ) ()( ) x2 +1 - lim = lim = x0 x x + 3 - x + 3 - 3 x + 3 + 3 x2 +1 + ()() () x2 +1-1 x + 3 + 3 x2 x + 3 + 302 () () () = lim = lim = = x0 x x + ( - 3 x2 +1 +1 x x2 +1 + ) ()() 3x2 - 9x + Задание 11. Найти lim x x2 + 2x - Для раскрытия такого вида неопределенности сделаем следующие преобразования:

3x2 - 9x + 6 3(x -1)(x - 2) 3(x - 2) 3 (-1) - lim = lim = lim = = x x2 + 2x - 3x1 (x -1)(x + 3)x1 x + 3 4 sin 4x + sin 2x Задание 12. Найти lim x 6x Для раскрытия неопределенности проведем следующие преобразо вания:

sin 4x + sin 2x 2sin 3x cosx sin 3x lim = lim = lim lim cosx = 11 = x0 x0 x0 x 6x 3x 2 3x При вычислении заданного предела мы воспользуемся следующим ре зультатом, называемым Упервым замечательным пределомФ:

sin lim = При этом под подразумевается любая бесконечно малая функция.

sin(x -1) Например: lim можно вычислить, используя этот же ре x 2x - зультат. Заменим х-1=t. При х1 новая переменная t sin(x -1) sin t lim = lim = x1 x 2x - 2 2 t Задание 13.

Найти:

x а) lim(1+ 3x) x 2x 3x + б) lim x 3x + Решение:

И в первом и во втором случае мы имеем дело с неопределенностью ви да [1], так как:

а) lim(1+ 3x) = 1, lim = x0 x x 3 + 3x + x б) lim = lim = 1, lim 2x = x x x 3x + 3 + x Для раскрытия такого вида неопределенностей можно воспользоваться следующей формулой:

lim U (x)-1 V(x) ( ) V(x) xa lim U(x) = 1 = e ( ) ( ) xa Вычислим первый предел, пользуясь этой формулой:

1 1 3x lim (1+3x-1) lim x0 x x x x lim(1+ 3x) = e = e = e x Для вычисления второго предела воспользуемся непосредственно ре зультатом, называемым Увторым замечательным пределомФ:

t lim(1+ ) = e или lim1+ = e 0 t t где е - некоторое число, равное пределу числовой последовательности n 1+ xn = e 2,72.

n Для вычисления заданного предела сделаем следующие преобразования:

2x 2x 2x 3x +1 3x + 2 -1 - lim = lim = lim1+ = x x x 3x + 2 3x + 2 3x + -2x 3x+2 -1 3x+ 2x 3x+ -1 3x+2 -1 -1 - = lim1+ = lim1+ = e x x 3x + 3x + Выражение, выделенное в квадратные скобки при х имеет пределом -2x - е, а показатель степени при х имеет пределом, в чем не 3x + 2 трудно убедится, разделив числитель и знаменатель на х.

Задание 14. Найти lim x ln(x + 2) - ln(x - 4) [] x+ В данном случае второй сомножитель представляет собой неопределен ность, обозначаемую символом [ Ч ], поэтому и произведение явля ется неопределенностью. Для ее раскрытия проведем такие преобразо вания x x + lim x ln(x + 2) - ln(x - 4) = lim ln = [] x x - x 6x x-4 6 x- x- x 6 x-4 6 = lim ln1+ = lim ln1+ = x x - - xx x- 6x = lim ln1+ = 6 ln e = x x - 4 x - -1, x < Задание 15. Дана функция: y = -cosx, 0 x 2 + x, x > исследовать ее непрерывность и схематически построить график.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если lim f(x) = f(x0) xx Любая элементарная функция непрерывна в своей области опреде ления. Заданная нам функция у непрерывна в следующих интервалах:

(-;

0);

(0;

) и ( ;

+ ), т.к. в каждом из них задана элементарная функ 2 ция: постоянная (-1), простейшая элементарная (-cosx), линейная ( + х).

Но в точках перехода от одной функции к другой, т.е. в точках x1=0 и x2= функция, хотя и определена, но может иметь разрыв, т.е. в этих точках могут быть нарушены условия непрерывности. Исследуем непрерывность функции у в точке х1=0:

lim y = lim (-1) = - x0+0 x0+ lim y = lim (-cosx) = - x0+0 x0+ y(0) = -cos0 = - так как три полученных результата совпадают, условие непрерывности выполняется и у непрерывна в точке x1=0.

Исследуем непрерывность функции в точке х2= lim y = lim (-cosx) = x -0 x - 2 lim y = lim + x = x +0 x + 2 Несовпадение полученных результатов уже говорит о невыполнении ус ловий непрерывности, и в точке х2= функция имеет разрыв.

На рис. 8 схематически Y 0 X Рис. показан график функции у.

Задание 16. Найти производную функции y=cos(x2) Решение: При вычислении производных пользуются таблицей произ водных основных элементарных функций и теоремой дифференцирова ния сложной функции:

пусть y=f(u) дифференцируема в точке u0, u=f(x) дифференцируема в точке х0, причем (х0)=u0, тогда сложная функция y=f((х)) дифферен цируема в точке х0 и y(x0) = f (u0) (x0) или y = y u.

x u x В нашем случае u=x2, y=cosu, y = cosu x2 = - sin u 2x = - sin x2 2x.

u x ( ) ( ) ( ) Задание 17. Найти производную функции y=lnsinax Решение: y=lnu, u=sinv, v=ax, x x тогда y = ln u sin v a = cosv a ln a = uv x ( ) ( ) ( ) u x x x x = cosa a ln a = a ln a ctga.

x sina Как видно из приведенных примеров, следует начинать дифференциро вание с УвнешнейФ элементарной функции, последовательно приближа ясь к УвнутреннейФ.

Задание 18. Найти производные функций:

а). y = tg23x б). y = ln 1+ ex + e4x в). y = e2x arctgx Решение:

2 2 - 13 3 а). tg23x = tg3x = tg3x = ( ) ( )cos2 3x tg3x cos2 3x () б). ln 1+ ex + e4x = ln 1+ ex + e4x = () () 1 1 ex + 4e4x = ex + e4x 4 = () 2 1+ ex + e4x 21+ ex + e4x) ( в). (e2x arctgx3) = (e2x) arctgx3 + e2x (arctgx3) = 1 3x = e2x 2 arctgx3 + e2x 3x2 = e2x 2 arctgx3 + 1 + (x3)2 1+ x Задание 19. Найти производную функции, заданной неявно:

x4+y2x+y7=0.

Решение. Правило вычисления производной функции, заданной неявно, заключается в том, что дифференцируют левую и правую часть равенст ва в предположении, что у есть функция от х:

x4 + y2x + y7 = (0) () 4x3 + 2y yx + y2 1+ 7y6y = Выражая из последнего равенства у, получим:

y2 + 4x y = - 2xy + 7y dy d2y Задание 20. Найти и для функции, заданной параметрически:

dx dx x = cost y = sin t Решение: Известна теорема о производной функции, заданной параметрически: пусть x=f(t) дифференцируема и f (t) dy (t) y=(t) - дифференцируемая функция, тогда производная = или dx f (t) dy y(t) =. При выполнении этого действия производная функции y(x) dx x(t) также выражена через параметр t.

y(t) = sin t = cost ;

x(t) = - sin t ( ) dy cost = = -ctgt dx - sin t d2y Для отыскания производной второго порядка можно использовать dx dy тот же подход для функции заданной параметрически:

dx dy (t) dy = dx = -ctgt f (t) а в нашем случае dx x = f(t) x = cost dy t d2y d dy dx тогда = = dx dx x dx2 t В нашем случае:

) d2y (-ctgt = = - dx2 cost sin t ( ) Можно использовать и готовую формулу для вычисления производной d2y второго порядка функции dx x = f(t) y = (t) d2y (t) f (t) - f (t) (t) = dx f (t) ( ) Задание 21.

Провести полное исследование функции и построить ее график.

f(x) = x + ln(x2 -1) Решение.

Исследование функции будем проводить по следующей схеме:

1.) Найдем область определения функции и точки пересечения ее графи ка с осями координат;

2.) Выясним четность (или нечетность) функции (если она задана на симметричном промежутке);

3.) Выясним периодичность функции;

4.) Исследуем функцию на непрерывность, найдем точки разрыва и вы ясним характер разрывов;

5.) Найдем асимптоты графика функции;

6.) Исследуем функцию на экстремум, найдем интервалы монотонности функции;

7.) Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графи ка функции.

Исследуем функцию f(x) = x + ln(x2 -1) по приведенной схеме.

1.) Функция определена при всех значениях х, для которых х2-1>0 или х>1, т.е. при - < x < -1 и +1 < x < + C осью ОХ график функции пересекается в точке (х 1,25;

0).

С осью ОУ график функции не пересекается.

2.) Функция не является ни четной, ни нечетной.

3.) Функция не является периодической.

4.) На интервале (-;

-1) и (+1;

+) функция непрерывна.

5.) Вертикальные асимптоты:

lim f(x) = lim + ln(x2 -1) = [x ] x-1-0 x-1- lim f(x) = lim + ln(x2 -1) = -;

x = -1 и x = [x ] x-1+0 x-1+ Ч две вертикальные асимптоты.

Ищем наклонные асимптоты:

f(x) x + ln(x2 -1) k = lim = lim = 1;

b = lim ln(x2 -1) = x x x x x Следовательно, ни наклонных, ни горизонтальных асимптот нет.

2x 6.) Находим производную данной функции: f (x) = 1+. Производная x2 - существует и конечна во всех точках области определения функции.

Следовательно, стационарные точки могут быть лишь в УнуляхФ произ водной:

x2 -1+ 2x f (x) = ;

f (x) = 0 при x1 = -1- 2, x2 = -1+ x2 - В точке x2=-1+ 2 функция не определена. Следовательно, имеется толь ко одна критическая точка х1=-1- 2, принадлежащая области определе ния функции.

В интервале (-;

-1- 2 ) производная f (x) > 0, а в интервале (-1- 2 ;

-1) f (x) < 0. Следовательно, точка х=-1- 2 точка максимума и f(-1- 2) = -1- 2 + ln(2 + 2 2) -0,84. В интервале (-;

-1- 2 ) функция воз растает, а в интервале (-1- 2 ;

-1) - убывает. В интервале (1, ) произ водная f (x) > 0 и, следовательно, функция возрастает.

2(x2 +1) 7.) Находим вторую производную функции f (x) = (x2 -1) Значение f (x) < 0 на всей области определения функции. Следовательно, кривая везде выпукла и точек перегиба не имеет.

Внесем теперь результаты исследования в таблицу, а затем построим график (рис. 9) функции.

Замечание:

Таблицу можно заполнять постепенно, по мере исследования функции.

-1;

x (-;

-1- 2) -1- 2 (-1- 2;

-1) - y + 0 Ч + y Ч Ч Ч Ч y вып. мax. -0,84 вып. верт. верт. вып.

ас. ас.

Y -1- -1 1 1,25 X Рис. Задание 22. Найти частные производные функции z = (x + 2y) e-xy Решение: Если переменная z зависит от двух и более независимых пе ременных x, y,......., u, v, то z=f(x, y,..., u, v) называют функцией не скольких независимых переменных. Важнейшим понятием в теории функций нескольких переменных является понятие частной производ ной. Частная производная функции z по данной переменной, например z f по у, обозначается одним из символов z,, (не путать с обозначе y y y dy df нием производной для функции одной переменной y,, ) и вычис dx dy ляется в предположении, что все остальные переменные являются за фиксированными, т.е. их следует рассматривать как константы. Рас смотрим пример нахождения частных производных от заданной функ ции нескольких переменных (в частности, двух) переменных.

z = (x + 2y) e-xy z = + 2y) e-xy = e-xy + (x + 2y) e-xy (-y) = e-xy (1- xy - 2y2), [(x ] x x z = + 2y) e-xy = 2e-xy + (x + 2y) e-xy(-x) = e-xy (2 - x2 - 2xy).

[(x ] y y Задание 23. Вычислить интеграл 2 + 33 x2 + 5 x dx x Решение: Преобразуем подынтегральную функцию:

3 - 2 + 33 x2 + 5 x 2 = 2 x + 3 x + x x Далее представляем интеграл алгебраической суммы в виде суммы интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегра лов, и, пользуясь таблицей интегралов, получим:

3 - 2 + 33 x2 + 5 x dx 2 dx = 2 x dx + 3 x dx + 5 = x x 3 - +1 - + 2 x x = + 3 + 5ln x + c = - +186 x + 5ln x + c 3 x - +1 - + 2 Проверка:

1 2 - +186 x + 5ln x + c = - 4x +18x + 5ln x + c = x 1 1 2 2 -1 - - 1 - 4 1 x- 2 6 3 3 +18 x + 5 = x + 3x + 5x = - 2 6 x 2 + 33 x2 + 5 x x Задание 24.

sin xdx Вычислить интеграл 1+ 2cosx Решение:

Первый способ. Полагая 1+ 2cosx = t, - 2sin xdx = dt, получим 1 sin xdx 1 dt 1 2 = - = - t dt = - 2t + c = - t + c = - 1+ 2cosx + c 2 2 1+ 2cosx t sin xdx Второй способ.

1+ 2cosx Умножая и деля на Ц2 и замечая, что - 2sin xdx = d(1+ 2cosx), получим sin xdx 1 d(1+ 2cosx) = - = (1+ cosx) d(1+ cosx) = 2 1+ 2cosx 1+ cosx - + 1 (1+ 2cosx) = - + c = -(1+ 2cosx)2 + c = - 1+ 2cosx + c - + 2sin x sin x Проверка: (- 1+ 2cosx + c) = = 2 1+ cosx 1+ 2cosx x + Задание 25. Вычислить интеграл dx x2 + 2x + Для вычисления интеграла от функции, содержащей квадратный трехчлен, надо выделить полный квадрат их квадратного трехчлена, за менить переменную, в результате чего получим табличные интегралы.

Выделяя полный квадрат в знаменателе, имеем:

x + 2x + 3 = (x +1) + 2. Далее, заменяя x +1 = t, dx = dt, получим:

(x +1)dx (x +1)dx tdt 1 d(t2 + 2) = = = = ln(t2 + 2)+ c = x2 + 2x + 3 t2 + 2 t2 + 2 (x +1) + = ln(x2 + 2x + 3)+ c 1 1 2x + 2 x + Проверка: ln(x2 + 2x + 3)+ c = = 2 x2 + 2x + 3 x2 + 2x + Задание 26. Вычислить интеграл x ln xdx.

Решение: При вычислении этого интеграла надо применить метод интегрирования по частям. Положив ln x = u, dv = xdx, найдем:

1 1 du = dx;

v = xdx = x dx = x. Подставляя в формулу 3 x udv = u v - vdu, получим 2 2 2 dx 3 x ln xdx = x ln x - x 3 3 x 2 2 2 4 2 x3 ln x - x dx = x3 ln x - x3 + c = x3 ln x - + c 3 3 3 9 3 2 ln 2 2 x3 ln x - ln + x3 x = + c = ( x3) x - - 3 3 3 3 Проверка: 2 3 2 1 2 ln = x ln x - x + x = x ln x 2 x x - + x 3 3 x 3 При интегрировании по частям важен выбор функции u и v. В ка честве u выбирается та часть подынтегрального выражения, которая су щественно упрощается при дифференцировании. За dv - та часть подын тегрального выражения вместе с dx, которая может быть проинтегриро вана.

Задание 27.

dx Вычислить интеграл x3 + Решение:

Имеем (x3 +1)= (x +1)(x2 - x +1). Разложим рациональную дробь.

1 = (x +1)(x2 - x +1) на простейшие дроби, имея в виду, что квад (x +1) ратный трехчлен x2 - x +1 не имеет действительных корней:

1 A Bx + C = + x3 +1 x +1 - x + x Отыщем методом неопределенных коэффициентов постоянные А, В, С. Умножая на х3 + 1 обе части равенства, получим:

1 = A(x2 - x +1)+ (Bx + C)(x +1) = (A + B)x2 + (- A + B + C)x + A + C Это равенство тождественно по х тогда и только тогда, когда вы полнены равенства (равны коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях):

При х2 А + В = При х1 ЦА + В + С = При х0 А + С = (свободный член) Полученная система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными имеет следующее решение:

1 1 A = B = - C = 3 3 1 (x - 2) 3 Итак, = -. Интегрируя, получим:

x3 +1 x +1 - x + x (2x - 4)dx dx 1 dx (x - 2)dx 1 = - = 3 x +1 x3 +1 3(x2 - x +1)= ln x +1 - 3 - x + x 1 1 2x -1- 3 1 1 2x -1 1 dx ln x +1 - dx = ln x +1 - dx + = 3 6 - x +1 3 6 - x +1 x2 x x - 1 + 2 x 1 1 = ln x +1 - ln(x2 - x +1)+ arctg 3 3 4 Проверка:

d 1 1 1 2x - ln x -1 - ln(x2 - x +1)+ arctg + c = dx 3 3 1 1 x 1 2x -1 1 3 3 - = - - = 3(x +1) - x +1)+ 3 -1) 6(x2 x +1 - x+ |1 4 + 4x2 - 4x x (2x 1+ = x3 + xdx Задание 28. Вычислить интеграл x - x Решение: Подстановка x = tk, где k - общее наименьшее кратное показателей всех радикалов, под которыми х входит в подынтегральную функцию, приводит к интегралу от рациональной дроби.

В нашем примере х входит в подынтегральную функцию под ра дикалами с показателями 2 и 3. Следовательно, делаем подстановку x = t6, dx = 6t5dt.

Тогда:

xdx t3 t4 t4 -1+1 t4 -1 dt = 6t5dt = dt = 6 dt = 6 dt + 6 = - t2 -1 t2 -1 t2 -1 t2 - x - x2 t6 t (t2 -1)(t2 +1)dt - 6 dt dt = 6 = 6 (t2 +1)dt + 6 = t2 -1 t2 -1 t2 - t3 1 t -1 t -1 x - = 6 + 6t + 6 ln + c = 2t3 + 6t + 3ln + c = 2 x + 63 x + 3ln + c 3 2 t +1 t + x + Задание 29.

dx Вычислить интеграл a2 + b2 cos2 x Решение: Т.к. при изменении знаков sinx и cosx подынтегральное выражение не меняет знака, применим подстановку dx tgx = t, = dt, cos2 x = cos2 x 1+ t Интегрируя, получим:

dx dx dt = a2 + b2 cos2 x cos2 x(a2 sec2 x + b2)= (a2(1+ t2)+ b2)= dt 1 dt = = a2t2 +(a2 + b2)= a2 a2 + b t2 + a 1 a a t = arctg + C = a2 a2 + b a2 + b 1 a tgx = arctg + C a a2 + b2 a2 + b Проверка:

d 1 a tgx 1 arctg + C = dx a a2 + b2 a2 + b2 a a2 + b2 1+ a2tg2x a2 + b a a2 = = (a cos2 x a2 + b2 + b2)(a2 + b2 + a2tg2x)cos2 x a2 + b2 cos2 x dx Задание 30. Вычислить интеграл 4sin x + 3cosx + Решение: Поскольку подынтегральная функция рационально за висит от sinx и cosх, то применим универсальную подстановку x 2t 1- t2 2dt tg = t;

sin x = ;

cosx = ;

dx = 2 1+ t2 1+ t2 1+ t Интегрируя, получим:

dx 2dt = = 4sin x + 3cosx + 2t 1- t (1+ t2)4 + 3 + 1+ t2 1+ t dt dt - = 2 = = 2t2 + 8t + 8 t + (t + 2) = - + C.

x tg + Проверка:

d 1 - + C = = x x x x dx tg - 2 tg2 + 4tg + 4 cos 2 2 2 1 = = x x x x 2sin2 + 8sin cos + 8cos2 4sin x + 3cosx + 2 2 2 Задание 31. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = х и параболой у = 2 - х2.

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой:

y = x y = 2 - x Y X -2 х - 2 + х2 = х1 = Ц2;

х2 = Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры, огра b ниченной двумя кривыми: S = (f2(x)- f1(x))dx a При а = Ц2, b = 1, f2(x) = 2 - x2, f1(x) = x Получим:

x3 x2 S = (2 - x2 - x)dx = - - = 2x 3 - - 1 1 8 = - - - - 4 + - 2 = = 4, 3 2 3 Ответ: кв. ед.

Задание 32. Вычислить объем тела, образованного вращением фи гуры, ограниченной линиями 2y = x2, 2x + 2y - 3 = 0 вокруг оси ОХ.

Решение: Ограниченная линиями Y A - 3;

y = x2 2 и 2x + 2y - 3 = 0 фигура, при вращении вокруг оси ОХ образует тело, объем которого можно найти B1;

2 как разность объемов V1 и V2, об X разованных вращением вокруг оси A 0 B ОХ трапецией А1АВВ1 и А1АОВВ1.

x - 2 x 1 3 3 3 2 V1 = y2 = - x dx = x - - d x = = 2 2 2 3 - 3 - x1 -3 1 x5 1 V2 = y2dx = x4dx = = 4 4 5 - 3 -3 - 91 61 Искомый объем V = V1 - V2 = - = 3 5 Задание 33. Вычислить несобственный интеграл или установить arctgx его расходимость dx 1+ x b Решение: Определение (x)dx называется предел f (x)dx f lim b 1 a b arctgx arctgx dx dx = dx = arctgxd(arctgx) = т.к.d(arctgx) = = lim lim 1+ x2 b 1+ x2 b 1+ x 1 1 b arctg2x arctg2b arctg21 2 2 = = = - = lim lim 2 b 2 1 b 2 8 32 Задание 34.

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения: (x2 + 2xy)dx + xydy = Решение: Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 называется одно родным, если Р(х, у) и Q (х, у) - однородные функции одного измерения.

Функция f (x, у) называется однородной измерения m, если f(x, y) = mf(x, y). Однородное уравнение может быть приведено к виду y y'= f подстановка y = tx преобразует это уравнение в уравнение с раз x деляющимися переменными.

В данном уравнении P(x, y) = x2 + 2xy;

Q(x, y) = xy. Обе функции од нородные 2-го измерения. Введем подстановку y = tx dy = xdt + tdx. Тогда уравнение принимает вид:

(x2 + 2x2t)dx + tx2(xdt + tdx) = или (x2 + 2x2t + t2x2)dx + t x3dt = Разделяя переменные и интегрируя, находим:

dx tdt dx tdt - = 0 + = C 2 x x (t +1) (t +1) преобразуем второй интеграл:

t +1- ln x + dt = C (t +1) или ln x + ln t +1 + = C t + Возвращаясь к прежней неизвестной функции у, находим оконча тельный ответ:

x ln x + y + = C (общий интеграл) x + y Задание 35. Найти общее решение или общий интеграл диффе ренциального уравнения y'cos2 x + y = tgx Решение: Уравнение вида y'+P(x)y = Q(x) называется линейным, ес ли у и уТ входят в первых степенях. Если Q(x) 0, то уравнение называ ется линейным неоднородным, а при Q(x) = 0 - линейным однородным.

Общее решение однородного уравнения получается разделением пере менных в уравнении y'+P(x)y = 0. Нам надо уравнение y'cos2 x + y = tgx, раз y tgx делим на cos2 x, тогда получим, что y'+ =, а соответствующее cos2 x cos2 x y однородное уравнение y + = 0. Разделяем в этом уравнении пере cos2 x менные dy y = -, dx cos2 x dy dx = - и интегрируем ln y = -tgx + ln c, тогда у = c e-tgx. Полагаем y cos2 x теперь, что С- функция от х, т.е. С=С(х) и найдем эту функцию, исполь зуя правую часть уравнения у=С(х) e-tgx y = C (x ) e-tgx + C(x ) e-tgx cos2 x Подставляем теперь в уравнение, тогда получаем C (x )e-tgx - C(x )e-tgx C(x )e-tgx tgx + = cos2 x cos2 x cos2 x после приведения подобных членов получаем:

tgx С (x )e-tgx = cos2 x разделяя переменные получаем:

dC(x ) etgx tgx etgx tgxdx = ;

dC(x )= dx cos2 x cos2 x dC(x )= etgx tgx dtgx ;

C(x )= tgx etgx - etgx + C (C1 - произвольная постоянная) подставляем теперь полученное значение для С(х) в выражение для об щего решения и получаем:

-tgx у = (tgx etgx - etgx + C1)e-tgx или y = tgx + Ce -1это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения 1-го порядка можно интегрировать также методом Бернулли, который заключается в следующем. Полагая у=UV, где U=U(х) и V=V(х), преобразуем исходное уравнение у' +Р(х)у = Q(х) к виду:

U V + UV + P(x )U V = Q(x ) или U[V' + Р(х)V] + VU ' = Q(х) выберем теперь V таким образом, чтобы - ( x )dx P V'+Р(х)V =0, т.е. V=e, Q(x ) тогда V U = Q(x ) или U = V P ( x )dx P ( x )dx U = Q(x ) e или U = c + ) e dx.

Q(x Теперь найдем общее решение - ( x )dx Q(x )eP ( x )dx dx + c P y =U (x ) V (x ) = e Для нашего примера будем иметь:

y tgx y + = cos2 x cos2 x y =U V ;

y =U V +V U 1 tgx U V +V U + U V = cos2 x cos2 x 1 tgx V U + V +V U = cos2 x cos2 x V + V = 0 тогда V = e-tgx cos2 x подставляем это значение в уравнение и получаем:

tgx tgx e-tgx U = тогда U = etgx cos2 x cos2 x U = tgx etgx - etgx + c tgx и y =U V = (tgxe - etgx + c)e-tgx = tgx -1 + c e-tgx, т.е. общее решение уравнения y = tgx -1 + c e-tgx.

Задание 36.

Найти частное решение дифференциального уравнения y + y - 2y = cos x - 3sin x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=1;

у'(0)=2.

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравне нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами y + a1y + a2 y = f (x ), правая часть которого имеет вид ex [Pn (x )cos x + Qm (x )sin x] (или сумму функций такого типа). Здесь и постоянные, Pn (x ) и Qm (x ) - много члены от х степеней n и m соответственно.

Общее решение этого уравнения будем искать как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е.

y + a1y + a2 y = 0 и частного решения данного неоднородного уравнения. Составим для уравнения y + a1y + a2 y = 0 характеристическое уравнение k + a1k + a2 =0, тогда возможны три случая:

1 I). k1 и k2 - действительные и различные, тогда y00 = c1ek x + c2ek x k1x II). k1 и k2 - действительные и равные, тогда y00 = c1ek x + c2 xe III). k1 и k2 - комплексные и сопряженные k1,2 = + i, тогда y00 = c1ex cos x + c2ex sin x для нашего случая имеем:

k + k - 2 = 0 (первый случаи) k1 = -2 k2 = т.е. y00 = c1e-2 x + c2ex.

Частное решение уравнения y + a1y + a2 y = f (x ) для заданного вида правой части следует искать в виде r yч,н, = x ex [Pe (x )cos bx + Qe (x )sin bx] где r- равно показателю кратности корня d bi (если он совпадает с кор нем характеристического уравнения) и r=0, если d bi не совпадает с i, Pe( x ), Qe (x ) - полные многочлены степени 1=mах{m,n}, с неопре деленными коэффициентами. Если правая часть равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания ча стного решения такого уравнения надо найти частные решения, соответ ствующие отдельным слагаемым правой части и взять их сумму. В на шем случае m=n=0 и, следовательно 1=0, тогда yч.н. = A cos x + B cos x (d=0, b=1 т.е. d bi = i что не совпадает с корнями характеристического многочлена).

yч.н. = A sin x + B cos x yч.н. = -A cos x - B sin x подставим в исходное уравнение и получим:

yч.н. + yч.н. - 2yч.н. = (B - 3A)cos x + (-3B - A)sin x cos x - 3sin x B - 3A = Отсюда т.е. А=0, В= 3B + A = Следовательно, общее решение данного уравнения будет y = c1e-2 x + c2ex + sin x.

Найдем теперь c1 и c2, используя начальные условия:

c e0 + c2e0 + sin 0 =1 c1 + c2 = - 2c1e0 + c2e0 + cos 0 = - 2c1 + c2 = Отсюда c1=0, c2 =1 и y = ex + sin x - будет частным решением дифферен циального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоян ными коэффициентами, когда правая часть его имеет вид :

f (x ) = ex [Pn (x )cos x + Qm (x )sin x] (или является суммой функций такого вида), и - постоянные Qm (x ) и Pn (x ) многочлены степеней m и n. А само уравнение:

(n) ( n-1) ( n-2 ) y + a1y + a2 y +... + an y = f (x ) (1) Общее решение уравнения (1) будем искать как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Для определения общего решения однородного уравнения y00 составим характеристическое уравнение, соответствующее данному линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами, т.е.

n n-1 n- k + a1k + a2k +... + an = Оно является уравнением n-ой степени и имеет n корней. Среди корней могут быть вещественные и комплексные, различные и кратные.

Задание 37.

Найти область сходимости ряда:

2 3 n 4x 8x 2n x 2x + + +... + 3 5 2n - n n+ 2n x 2n+1 x Применим признак Даламбера: U = ;

U =. Найдем n n+ 2n -1 2n + U n+ lim, пусть этот предел равен 1(x ), тогда при тех х, для которых n U n 1(x ) <1, ряд сходится, при тех х, для которых 1(x ) >1, ряд расходится, а при тех х, для которых 1(x ) =1, следует провести дополнительные иссле дования.

2 n+1 n+ 2 (2n -1) x n 1(x ) = lim = 2 x lim = 2 x n n n n 2 (2n +1)x 2 + n 1 т.е. при x ряд сходится, при x ряд расходится. Исследуем сходи- 2 мость ряда на границах промежутка, т.е. для тех х, при которых x =.

Если х =, то получаем ряд 1 1 1 1 + + + +... + +...

3 5 7 2n - Этот числовой ряд расходится. Его можно сравнить с гармоническим 1 рядом 1 + +... + 2 n n lim = 2 по теореме о сравнении числовых рядов мы получаем, что n 2n - исследуемый ряд расходится, т.к. гармонический ряд расходится, а n n= предел отношения n-ых членов рядов при n равен константе, от 1 личной от 0. Т.е. при х = ряд расходится. При х = - получаем 2 знакочередующийся ряд 1 1 1 (-1)n -1 + - + +... + +...

3 5 7 2n - По теореме Лейбница этот ряд условно сходится. Действительно:

I). ряд знакочередующийся;

II). U1 U...U U... (убывающий) 2 n n+ III). limU = n n 1 Таким образом заданный ряд сходится, если - x < 2 Задание b Вычислить определенный интеграл f (x )dx с точностью до 0,001, раз a ложив подынтегральную функцию в степенной ряд и почленно интегри 0, ln(1 + x ) руя этот ряд: dx x Решение. Заменим в подынтегральном выражении 1n(1+х) его разложе ние в степенной ряд 1 1 2 3 x 0,1 0,1 - x + x - x +...

ln(1 + x ) 2 3 dx = dx x x 0 Разделим почленно на х и проинтегрируем, тогда 0,1 0, 2 3 0, ln(1 + x ) 1 1 1 x x x 2 dx = - x + x - x +...dx = x - + - +... = 1 2 3 x 4 9 16 0 1 = 0,1 - 0,01 + 0,001 0, 4 Докажем теперь, что выполнена требуемая точность.

1 Рассмотрим первый отброшенный член 0,001 = < 0, 9 В силу следствия из теоремы Лейбница (если числовой знакочередую щийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то модуль сум мы остатка не превосходит модуля первого отброшенного члена).

Модуль суммы всех отбрасываемых членов не больше, т.е. вычис ления проведены с заданной точностью.

3. Задания для контрольных работ 1-10. Даны вершины А(Х1;

Y1), В(Х2;

Y2), С(Х3;

Y3) треугольника АВС.

Требуется найти:

а) уравнение стороны АС б) уравнение высоты, проведенной из вершины В в) длину высоты, проведенной из вершины А г) величина (в радианах) угла В д) уравнение биссектрисы угла В.

1. А(5;

3), В(-11;

-9), С(-4;

15).

2. А(-7;

2), В(5;

-3), С(8;

1).

3. А(1;

-15), В(6;

-3), С(2;

0).

4. А(-8;

3), В(4;

-2), С(7;

2).

5. А(6;

3), В(-10;

-9), С(-3;

15).

6. А(-9;

6), В(3;

1), С(6;

5).

7. А(20;

5), В(-4;

12), С(-8;

9).

8. А(-3;

-7), В(2;

5), С(-2;

8).

9. А(10;

1), В(-6;

13), С(1;

-11).

10. А(0;

-9), В(5;

3), С(1;

6).

11. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;

-2) вдвое меньше, чем от прямой Х+1=0.

12. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;

-2) вдвое больше, чем от прямой Х+1=0.

13. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(3;

1) и от прямой Y+5=0.

14. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(3;

4) в два раза больше, чем от точки В(6;

7).

15. Составить уравнение геометрического места точек, являющихся центрами окружностей, проходящих через точку А(3;

2) и касающихся оси ОХ.

16. Составить уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точку А(-4;

2) и касающихся оси OY.

17. Составит уравнение линии, сумма расстояния точек которой от то чек А(2;

4) и В(-4;

4) равна 8.

18. Составить уравнение линии, сумма расстояния точек которой от то чек А(2;

-2) и В(2;

4) равна 8.

19. Составить уравнение линии, каждая точка которой вдвое ближе к точке А(-4;

3), чем к точке В(1;

-2).

20. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой Х+6=0 и от начала координат.

21. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, если большая ось его равна 8, а рас стояние между директрисами равно 16.

22. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен 3/5.

23. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, если малая его ось равна 24, а рас стояние между фокусами равно 10.

24. Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно ко ординатных осей, с фокусами на оси ОХ, если уравнение ассим 3x птот:y = , а расстояние между фокусами равно 20.

25. Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно ко ординатных осей, с фокусами на оси ОХ, если действительная ее ось равна 16, а эксцентриситет равен 5/4.

26. Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно ко ординатных осей, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между фоку сами равно 6, а эксцентриситет равен 3/2.

27. Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно ко ординатных осей, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между дирек трисами равно 32/5, а мнимая ось равна 6.

28. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ, с вершиной в начале координат, проходящей через точку А(-1;

3).

29. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY, с вершиной в начале координат, проходящей через точку А(1;

1).

30. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY, с вершиной в начале координат, проходящей через точку А(4;

8).

31-40. Даны вершины А1(X1;

Y1;

Z1), А2(X2;

Y2;

Z2), А3(X3;

Y3;

Z3), А4(X4;

Y4;

Z4). Средствами векторной алгебры найти:

а) длину ребра А1 А б) угол между ребрами А1 А2 и А1 А в) площадь грани А1А2А г) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины А д) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А е) объем пирамиды А1А2А3А 31. А1(7;

3), А2(3;

-1), А3(3;

5), А4(4;

-2).

32. А1(1;

-1;

6), А2(2;

-2), А3(-3;

3), А4(4;

5).

33. А1(3;

1), А2(6;

4), А3(3;

-6;

10), А4(7;

4).

34. А1(1;

3), А2(6;

4), А3(6;

1), А4(0;

6).

35. А1(4;

5), А2(10;

3), А3(-3;

4), А4(6;

-2;

2).

36. А1(-1;

5), А2(-4;

4), А3(2;

5), А4(-1;

-2;

2).

37. А1(2;

-1;

9), А2(1;

5), А3(7;

1), А4(2;

-2).

38. А1(1;

-2;

2), А2(-1;

-3;

4), А3(5;

-1), А4(2;

-4;

5).

39. А1(1;

3), А2(7;

1), А3(2;

2), А4(4;

-1).

40. А1(3;

2), А2(5;

-1), А3(0;

6), А4(3;

10).

41-50. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

x -1 y + 2 z 41. Прямую = = и точку А(4;

-3).

2 1 42. Две параллельные прямые x +1 y -1 z + 5 x +1 y -1 z = = и = =.

3 -2 2 3 -2 43. Три точки А(1;

3), В(2;

11;

4), С(3;

-2;

1).

44. Две пересекающиеся прямые x - 3 y + 2 z + 3 x - 3 y + 2 z + = = и = =.

3 2 -2 4 -1 - 45. Прямую и точку:

x - 2 y + 2 z + = = и А(1;

0).

3 -2 46. Прямую и точку:

x + 4 y z - = = и А(2;

-1).

3 -2 47. Две параллельные прямые:

x + 3 y - 2 z + 4 x y + 3 z - = = и = =.

2 3 -3 2 3 - 48. Три точки : А(3;

-1), В(4;

0), С(2;

-5;

3).

49. Две пересекающиеся прямые:

x +1 y + 3 z -1 x +1 y + 3 z - = = и = =.

-2 3 4 1 6 50. А(2;

-3), В(2;

-5;

3), С(3;

-1;

2).

51-60. Найти указанные пределы (не используя правило Лопиталя):

5x5 - x + 2 x2 - 51. а)lim б) lim x x 2x5 + 3x2 +1 6x2 -16x - x + 2 - 2 1- cos2x в) lim г) lim x0 x 3x sin x x + 3 - ( ) ( ) д) lim x ln 2x -1 - ln 2x - 3.

[] x+ 3x6 - x -1 6x2 - 2x - 52. а) lim б) lim x x 4x6 + 4x5 - x 3x2 + 4x - 4 - x - 4 + x sin 3x + sin x в) lim г) lim x0 x 3x 2x 3x д) lim.

x ln 1+ 2x ( ) 3x3 + 2x2 - x +1 x2 + x - 53. а) lim б) lim x x x3 + 3x2 + 4x - 6 2x2 - x - x в) lim г) lim - xtgx x 3 + x - 3 - x x 3+x x д) lim 1+ 2x.

( ) x 7x5 - 3x2 + 2x 2x2 -14x + 54. а) lim б) lim x x x5 + x - 5 x2 - 6x + 2x +1 - 7 tgx - sin x в) lim г) lim x3 x x x - 2 - -2x x + д) lim.

x x + x2 - x 8x3 - 3x2 + 5x 55. а) lim б) lim x x x2 - 3x + x3 + x +1 - в) lim г) lim sin 6x ctg4x x2 x 3x - 2 - cos x д) lim 1+ 2cosx.

() x -2x4 + 5x2 - 2 3x2 - x - 56. а) lim б) lim x x- 3x4 - 4x2 + x 2x2 +16x + x + 5 - cosx - cos3 x в) lim г) lim x4 x x - 2 x sin x 3x- x д) lim.

x x + 2x3 + 9 2x2 - 57. а) lim б) lim x x x2 + x +1 x2 - 6x + 2x -1 -1 1- cos2x в) lim г) lim x1 x x x +1 - ( ) ( ) д) lim 2x ln x + 3 - ln x - 3.

[] x+ x2 - x + 2 2x2 -12x + 58. а) lim б) lim x x 2x2 + 3x + 4 2x2 -11x + 2x - 3 - x tgx в) lim г) lim x2 x 2x + 3 - 7 1- cos2x 6/x+ д) lim 1 + 4x.

( ) x -4x4 + x3 + 6x2 x2 - 5x + 59. а) lim б) lim x x -x4 + x - 3 3x2 + 4x - x2 + 9 - 3 sin x - ( ) в) lim г) lim x0 x x2 - 4x + x2 + 3 - 2/sin x д) lim 1+ 3sin x.

() x x7 + x6 + 2 2x2 + x - 60. а) lim б) lim x x- -x7 - x2 + 3 x2 - cos2x - cos2 2x 3 - x2 + в) lim г) lim x0 x xsin 3x x -5x 3x д)lim.

x 1+ 2x 61-70. Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражения ми для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функ ции:

-2, x < x + 2, x - 61. y = 62. y = - x, - 2 < x < -2cosx, 0 x x + 2, x + x, x > - x, x - 4, x < - x 0.5, 3x, 63. y = -1 < x 64. y = -1 x 5, x > sin x, x x, x <- 2, x <- 65. y = - 2x, -1 x 1 66. y = - 2 x < 2 x, ln x, x > 1 1- x, x - x, x < 05.

cosx, x 67. y = cos2x, 0 x 68. y = - < x -1, x +1, x > - x, x > - 4, x < - x +, x < - x 3x 69. y = sin x, - x < 0 70. y = + 2, - 2 x 3 - 2x, x 12 - x2, x > 71-80. Найти производные:

1 71. а)y = + б) y = ctg23x 9x + 44 x3 + 12 1 в) y = ln г) y = arccos e6x - e-6x 9 x д) x2 sin 2y - y2 cos2x = x 72. а)y = б) y = 5sin 2x 4 - x x в) y = ln tg3 г) y = 6arctg 1+ 3x д) ey - 3x = x2 + a ( ) x2 + 73. а)y = б) y = sin610x + 2cos610x x2 - 1 x + 4 e2x - e-2x в) y = ln г) y = arctg 3 x2 - 3x д) x tgy - 2x2 + 3y2 = x - 74. а)y = x2 - 6 б) y = tg8x + x + 5x в) y = ln 1+ e6x + e4x г) y = 4 - x2 + arcsin x д) y3 - x2 = arctg y x2 - x 75. a) y = б) y = esin x-2cos x sin x cos3x ( ) x + x x2 x + в) y = ln tg + 4 г) y = 4arcsin 2 д)у2 =х2+х cos 2у.

x sin 76. а)y = 2x - 3 3 - x2 б) y = ( ) ( ) x 4 + cos в) y = ln 2x2 +1 + 2x г) y2 = x2 + x sin y () д) y = x2arctgx - ln x2 + 2x2 - 77. а)y = б) y = e3x 3sin 2x - 3cos2x ( ) x2 + в) y = (2 + ln sin 3x) г) y = 9x2 + 4 arctg3x ( ) y д) e2y - e-3x + = x x 78. а)y = б) y = 1+ sin 4x - 1- sin 4x - 4x в) y = ln e3x + e-3x г) y = x arccos x x д) ln x2 + y2 + arctg = ( ) y 1 1+ tg7x 79. а)y = x +1 -1 б) y = ( ) 14 1- tg7x x x a - x 1+ в) y = ln e г) y = a - b arctg ( ) x2 - b д) ey + ax2e-y = 2bx 9 80. а)y = б) y = sin 10x x2 - 4x - x в) y = ln ctg - г) y = 1- 4x2 arcsin 2x 4 д) 3x+y - x y3 ln 3 = dy d2y 81-90. Найти и для функции, заданной параметрически:

dx dx x = 1- e5t x = lncos2 2t 81. 82.

e5t - e-5t y = sin2 2t y = 1- t x = x = sin4 3t t 83. y = 1+ t y = cos4 3t t 4 x = tgt x = t + t 85. 86.

y = ln t3 +1 y = ( ) sin2 t sin t x = y = ln 1+ t ( ) 1+ sin t 87. 88.

- arctgt y = cost x = t 1+ sin t - e-3t x = x = a 2t + sin t ( ) 89. 90.

() y = y = a 1- 2cost e3t + 91-100. Исследовать методами дифференциального исчисления и по строить графики функций:

x4 4x + 91. a) y = 3 - x2 б) y = 1+ x 5 x 92. a) y = x5 - x3 б) y = ln x ex - e-x 93. a) y = x3 - 9x2 + 24x -15 б) y = ex + e-x x2 + 94. а) y = 2x3 + 3x2 -12x - 5 б) y = 4x 95. а) y = (x - 3)2(x - 2) б) y = (x +1)e-2x 3x 96. а) y = x4 - 8x3 +16x2 б) y = 1 + x 1 x4 97. а) y = x2 + x3 - б) y = ln x - x 3 4 2x3 - 6x2 -18x +15 3 - x 98. а) y = б) y = 10 x + 99. а) y = x5 - x3 - 2x б) y = ln(x2 + 9) x4 5x 100. а) y = 1- x2 + б) y = 8 x2 - 101-110. Найти частные производные функции:

x2 y 1 3y 102. z = arctg 101. z = ln tg3 - 3 4x 103. z = 63 1+ 4xy + x2 + 3y x y2 5x2 - 2y 104. z = 12cos2 - 105. z = 3 4 x + 3y x 106. z = (2x + y2)e-x y 107. z = 3x sin y x2 y 108. z = 4a b2 1- - a b x 109. z = sin (x + y2) - sin2 + cos2 2y 110. z = 2arcsin(x у2 + 2) 111-120. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить диф ференцированием:

2x - xdx 111. а) б) dx x2 - x + 4 - x в) x ln xdx 6x - 112. а) (2 - x2)3 xdx б) dx 3x2 - 7x + в) arctg xdx 12x + arcsin x 113. а) dx б) dx 6x2 + x - 1- x x в) x ln x +1dx dx -x 114. а) б) e xdx 5 - 7x + 3x arcsin x в) dx x ln3 x (x + 3)dx 115. а) dx б) x 4x2 + 4x + в) arctg xdx (6x +1)dx sin xdx 116. а) б) 3x2 + x - 2 + 3cosx в) x ln(1+ x2)dx dx dx 117. а) б) 3x2 - 2x + cos2 x tgx - ln cosx в) dx sin x (x - 3)dx 118. а) б) 2x(x +1)5dx 3 + 66x -11x x cosx в) dx sin x x2dx dx 119. а) б) 5 - x x(3x + 5) в) -1dx x arctg x dx dx 120. а) б) (1 + x2)arctg2x 5x2 - x - x в) x cos 2 dx 121-130. Найти неопределенные интегралы:

3x2 + 6 x3 - x 121. а) dx б) dx x3 + x2 - 2x 64 x dx в) 1+ tgx xdx x2 + 122. а) dx б) 1+ x (x +1)3(x - 2) sin3 x в) 1+ cos2 x dx 4x2 + x +1 x 123. а) dx б) dx x3 - x3 + dx в) 1- cosx x + x + 124. а) dx б) dx 6 x3 + 4x2 + 5x x7 + x sin x в) 1+ sin x dx x x 125. а) dx б) dx x3 + x2 - x2 - x в) sin x3 cosxdx xdx xdx 126. а) б) (x -1)2(x + 2) x - x dx в) sin xcosx x2dx dx 127. а) б) (x2 -1)(x +1) (1+ x) x dx в) sin x x3 + x2 x 128. а) dx б) dx 6 x2 - 3x + x5 - x в) cos xdx 2x2 + x +1 1+ x 129. а) dx б) dx x3 + x x x в) sin xcos2 xdx dx x + 130. а) dx б) 2x3 - 3x2 + x x + x в) tg xdx 131. Вычислить объем тела вращения, образованного вращением во круг оси ординат фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной линиями:

y = 2 - x2;

y = x;

x = 0.

132. Вычислить площадь фигуры, расположенной в верхней полуплос кости и ограниченной линиями:

y = x2 - 3x;

3x + y - 4 = 0;

y = 0.

133. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

y = 3 - x2;

y = x2 + 1.

134. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 2/x;

y = x+1;

x = 3.

135. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, расположенной в первой четверти и ограничен ной линиями:

x + y = 4;

y = 3x;

y = 0.

136. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x + y = 0;

y = 2x - x2.

137. Криволинейная трапеция, ограниченная линиями: y = e-x, y = 0, x=0, x = 1, вращается вокруг оси абсцисс.

Вычислить объем тела, которое при этом образуется.

138. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y =sinx и y=cosx и лежащей между любыми двумя точками пересечения этих кривых.

139. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y2 = 4x, x = 4.

140. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = x3, y = 2x.

141-150. Вычислить несобственный интеграл или установить его расхо димость:

dx -x 141. 142.

xe dx x ln x 0 e dx dx 143. 144.

(2x -1)3 x2 - 1 dx (x +1)dx 145. 146.

2 + 2x + x x x - 2 dx dx 147. 148.

x3 ln x x x 2 - е dx xdx 149. 150.

x2 + 4x + x4 + 151-160. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:

151. x2y - y2 = x 152. y + 2xy = 2xe-x 153. (x2 + 2x +1)y - (x +1)y = x - 154. y = x2 + 2x - 2y 155. 4x2 - xy + y2 + y(x2 - xy + 4y2) = 2xy 156. y = 157. xy = y2 - x2 + y 3x2 - y 158. 2xy - y = 3x 159. y - 2xy = 2xex 160. y - ycosx = sin 2x 161-170. Найти частное решение дифференциального уравнения y = py + qy = f(x), удовлетворяющего начальным условиям y(0) = y0 ;

y(0) = y0 :

161. y - 4y + 3y = e5x, y(0) = 3, y(0) = 9.

4 162. y - 6y + 9y = x2 - x + 3, y(0) =, y(0) =.

3 163. y - 4y + 4y = e2x, y(0) = 2, y(0) = 8.

164. y + y = cos3x, y( ) = 4, y( ) = 1.

2 165. y - 8y +16y = e4x, y(0) = 0, y(0) = 1.

166. y + 9y = 6e3x, y(0) = 0, y(0) = 0.

167. y + y = 2cosx, y(0) = 1, y(0) = 0.

168. y - 4y + 5y = 2x2ex, y(0) = 2, y(0) = 0.

169. y + 6y + 9y = 10sin x, y(0) = 0, y(0) = 2.

170. y + y - 2y = cosx - 3sin x, y(0) = 1, y(0) = 2.

171-180. Найти область сходимости ряда степенного:

xn 4n xn 171. 172.

2 n + 2n +1 n - n =1 n = xn 2n x2n 173. 174.

n +1 n + n =1 n = xn 2n xn - 175. 176.

Pages: | 1 | ... | 2 | 3 | 4 | 5 |

Книги, научные публикации

Blog