Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 5 Обменная энергия свободного электрона в полупроводнике й О.В. Константинов, О.И. Оболенский, Б.В. Царенков Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Получена 25 апреля 1996 г. Принята к печати 16 сентября 1996 г. ) Получено общее выражение для энергии обменного взаимодействия электрона в полупроводнике для произвольной степени вырождения электронного газа. Одночастичная обменная энергия выражена через интегральную функцию, зависящую только от отношения энергии уровня Ферми, отсчитываемой от дна зоны проводимости, к тепловой энергии электрона. Для сильно вырожденного Ферми-газа и нулевой температуры это выражение переходит в формулу Слэтера для обменной энергии электрона в металле. С увеличением температуры обменная энергия монотонно уменьшается. В пределе невырожденного электронного газа общее выражение приобретает простой аналитический вид. На диэлектрической стороне перехода Мотта обменная энергия с ростом температуры изменяется немонотонно: она имеет максимум при температуре порядка энергии ионизации доноров. Показано, что анизотропия изоэнергетической поверхности электронов практически не влияет на величину обменной энергии. Приведены зависимости сужения запретной зоны от концентрации при нескольких температурах для кремния и арсенида галлия.

1. Введение Формула Слэтера (1) получила широкое распространение не только в теории металлов [7], но ив теорииатоИзвестно, что в теории металлов при расчете формы ма [8]. С ее помощью сложный нелокальный фоковский поверхности Ферми важно учитывать обменную энерчлен был заменен простым локальным потенциалом.

гию газа свободных электронов. В некоторых задачах Эта идея легла в основу так называемого приближефизики полупроводников обменная энергия также окания локальной плотности [9]. В этом приближении зывается существенной. К числу таких задач относяткроме обменной энергии учитывается и корреляционная ся теория концентрационного сужения запретной зоны энергия, отвечающая взаимодействию Ферми-частиц с полупроводника [1], а также теория фазового перехода антипараллельными спинами [10]. Это корреляционное диэлектрикЦметалл в полупроводниках [2].

слагаемое для полупроводников составляет не более 1/Влияние обменного взимодействия может быть учтено от обменного слагаемого. В данной работе мы им препри нахождении либо полной энергии системы, либо небрегаем, поскольку для концентрационного смещения одночастичных уровней энергии электронов. Вклад обдна зоны проводимости оказывается гораздо более важменной энергии в полную энергию системы был впервые ным другое корреляционное слагаемое [11] Чэнергия получен Вигнером и Зейтцем [3Ц5] при расчете параДебая-Хюккеля метров решетки кристалла. Вигнер и Зейтц оперируют eс обменной энергией, приходящейся на один электрон, UDH =, (3) которая получается делением полной обменной энергии на число электронов в системе. Однако, в приложениях, где Ч обратная длина экранирования Дебая:

в том числе при расчете ширины запретной зоны полупроводника, требуется знать одночастичные собствен4neные уровни энергии. Одночастичная обменная энергия, 2 =, (4) Es как было показано Слэтером [6], оказывается в 2 раза больше, чем обменная энергия, приходящаяся на один где Es Ч энергия экранирования:

электрон. Выражение, предложенное Слэтером, имеет вид F- 1 () EF 3 eEs = kBT, =. (5) Uex = - kF, (1) F1 () kBT где e Ч элементарный заряд, Ч диэлектрическая проницаемость среды, принятая в [6] равной единице, Выражение (1) получено для изотропного закона дисkF Ч фермиевский квазиволновой вектор, который в персии и для предельно вырожденного Ферми-газа. В случае полупроводника определяется выражением полупроводниках состояние элктронного газа может изменяться от сильного вырожденного до невырожденного, 32n и, кроме того, изоэнергетические поверхности во многих kF =, (2) M полупроводниках анизотропны.

где n Ч концентрация свободных электронов, M Ччисло Цель настоящей работы Ч получить выражение, приэквивалентных долин энергетического спектра электро- годное для определения одночастичной обменной энернов в k-пространстве анизотропного полупроводника. гии в полупроводнике.

572 О.В. Константинов, О.И. Оболенский, Б.В. Царенков r1 + r2. Вычисление энергии обменного r =. (13) взаимодействия электрона Тогда интегрирование по r дает объем системы V и в полупроводнике обменный интеграл принимает вид 2.1. Общий метод получения обменной поправки к e2 ei(k - k )r полной энергии частицы. Рассмотрим поправку 1-го по- k k Vkk = d3r. (14) рядка к энергии электрона в состоянии с квазиволновым V r вектором k и каким-либо определенным направлением Заменяя в (7) суммирование по k интегрированием, спина, возникающую за счет обменного взаимодействия получаем одночастичную энергию данного электрона с другим электроном, находящимся в состоянии k и с тем же направлением спина. Извест2eно [12], что обменное взаимодействие уменьшает полную (k) =Ek - Qk, (15) энергию частицы на величину обменного интеграла где k k k (k) =Vkk. (6) 1 ei(k-k )r Qk = d3k fk d3r. (16) k 162 r Выражение для обменного интеграла Vkkk будет приведено далее.

Второе слагаемое в (15) дает одночастичную обменную Если просуммировать обменное взаимодействие по энергию [13,14], которая зависит от квазиволнового веквсем состояниям k при фиксированном k с учетом тора k. В литературе (см., например [15]), как правивероятности заполнения этих состояний, то тогда полло, производится усреднение одночастичной обменной ную энергию квазичастицы в состоянии с квазиволновым поправки к полной энергии квазичастицы по величине вектором k и с каким-то определенным направлением квазиволнового вектора:

спина, можно записать в виде k Q = g-1(0) d3kQk fk, (17) (k) =Ek - Vkkk fk, (7) k где нормировочная постоянная где 2 k 2 k Ek = + (8) g(0) = d3kfk. (18) 2 m m Ч кинетическая энергия, m и m Ч продольная и Таким образом, усредненная одночастичная обменная поперечная эффективные массы, k и k Ч аналогичные энергия составляющие квазиволнового вектора;

2eUex = - Q. (19) fk = (9) Ek-EF kBT Величине Q, определяемой согласно (17), можно приe + дать вид Ч функция заполнения Ферми, где EF Ч энергия уровня 1 d3r Q = g-1(0) |g(r)|2, (20) Ферми, kBT Ч тепловая энергия.

162 r k Обменный интеграл Vkkk в (6) определяется выражением где g(r) Ч фурье-образ функции распределения Ферми:

e2 (r1) (r2)k(r2)k (r1) k k Vkk = d3r1d3r2 k k.

g(r) = d3keikr fk. (21) |r1 - r2| (10) В приближении эффективной массы блоховские волно- 2.2. Общее выражение для одночастичной обменвые функции k(r) можно заменить плоскими волнами ной энергии в полупроводнике. Формулы (19)Ц(21) полностью определяют одночастичную обменную энергию. Проведем их дальнейшее преобразование с целью k(r) = eikr, (11) V уменьшения кратности интегрирования путем выделения угловой части и представления окончательного выражегде V Ч нормировочный объем. Кроме того, в этом ния для обменной энергии в удобном для практического приближении надо считать, что все волновые функции, применения виде.

входящие в интеграл (10), относятся к одной и той же В общем случае эллипсоидальных или сферических долине энергетического спектра электрона.

долин в полупроводнике нахождение одночастичной обСделаем замену переменных интегрирования в (10):

менной энергии может быть сведено к вычислению двойr = r1 - r2, (12) ного интеграла, зависящего только от одного параметра Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № Обменная энергия свободного электрона в полупроводнике 4 Ч отношения энергии уровня Ферми (отсчитываемой F1 () = 2 (30) от дна зоны проводимости) к тепловой энергии kBT :

и следовательно, e2 K() EF Uex = - AkT, =. (22) 3e kBT F1 () Uex = - AkF. (31) Здесь K() Ч некоторая функция, определяемая как Для изотропного закона дисперсии формула (31) пе реходит в формулу Слэтера (1). Выражение для Qk, K() = J2()d, которое получается в этом случае из формулы (16), совпадает с законом дисперсии квазичастицы, приведенным в [13] и [14]:

J() = cos(q) ln(e-q + 1)dq; (23) k Qk = kFF(x), x = ; (32) kF kT Ч характерный тепловой импульс носителей:

1 1 -x2 1 + x 2mckBT F(x) = 1 + ln. (33) kT = ; (24) 2 2x 1 - x Отметим, что анизотропия изоэнергетической поF1 () Ч фермиевский интеграл:

2 верхности электронов в полупроводнике (для случая m < m ) впервые была учтена в работе [16]; полу d F1 () = ; (25) ченное в [16] выражение для Uex было затем уточнено e- +в [17].

2.4. Невырожденный электронный газ. В случае A Ч фактор анизотропии закона дисперсии:

невырожденного электронного газа mc m A = arcsin 1 -, m m(m - m) K() = e2, (34) m < m ; (26) F1 () =e (35) mc m m и следовательно, A = ln - 1 +, m m m(m - m ) e2 EF BT Uex = - AkT ek. (36) m > m ; (27) где Обсуждение этой формулы будет проведено в следуюm3 = m2 m. (28) c щем разделе.

Естественно, что для изотропного закона дисперсии (m = m ) фактор A = 1. Но и для широко распро3. Связь обменного взаимодействия страненных анизотропных полупроводников значение A с параметрами системы электронов оказывается близким к единице. Например, для кремния, обладющего сравнительно большей анизотропией, 3.1 Преобразование итоговых асимптотических A = 0.94. Поэтому можно считать, что анизотропия выражений. Итак, одночастичная энергия обменного изоэнергетической поверхности электронов практически вазимодействия представлена в простом аналитическом не влияет на величину обменной энергии.

виде для двух предельных состояний электронного газа в Приведенное представление конечного результата полупроводнике: вырожденного (формула (31)) и невыудобно для практических расчетов, поскольку достаточрожденного (формула (36)). Эти формулы могут быть но один раз вычислить и затабулировать функцию K(), преобразованы к наглядному и симметризованному виду, чтобы легко получать величину одночастичной обменной если ввести в рассмотрение характерную для электронов энергии при различных соотношениях энергии уровня длину волны де-Бройля ( =, где k Ч характерный k Ферми (отсчитываемой от дна зоны проводимости) и квазиволновой вектор) и среднее расстояние между электепловой энергии kBT.

тронами (a = n- ). Величина a определяет энергию Интегралы, входящие в функцию K(), могут быть выкулоновского взаимодействия между двумя электронами числены аналитически в двух предельных случаях Ч для e, а отношение Ч степень перекрытия воновых сильно вырожденного и невырожденного электронного a a функций, т. е. интенсивность обменного взаимодействия.

газа.

Тогда формулы (31) и (36) можно записать в едином 2.3. Сильно вырожденный электронный газ. В виде:

предельном случае сильного вырождения A eUex -. (37) K() =2, (29) M a a Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 574 О.В. Константинов, О.И. Оболенский, Б.В. Царенков Числовой множитель для вырожденного электронного 9 газа равен, а для невырожденного Ч. В выражении 8 (37) Ч де-Бройлевская длина волны электронов, связанная с их характерной энергией:

52 kBT = F 1 -, F =, T 0 (38) 24 EF kF для вырожденного электронного газа;

= T = (39) kT для невырожденного электронного газа.

Формула (37) отражает то обстоятельство, что чем больше длина волны электронов и чем меньше расстояние между ними, тем сильнее обменное взаимодействие.

3.2 Температурная зависимость одночастичной энергии обменного взаимодействия. Рассмотрим темРис. 2. Температурная зависимость одночастичной обменной пературную зависимость одночастичной обменной энерэнергии в невырожденном GaAs при различных уровнях легигии в полупроводнике в случае вырожденного и нерования ND, 1015 см-3: 1 Ч0.1, 2 Ч1, 3 Ч 10. Параметры вырожденного арсенида галлия. Она была рассчитана полупроводника те же, что и на рис. 1.

по формуле (22) и предствлена на рис. 1 и 2. Для ясного понимание этих зависимостей достаточно проанализировать формулу (37) для обменной энергии в двух обменного взаимодействия растет за счет уменьшения a предельных состояниях электронного газа.

(концентрация электронов растет) и достигает максимуВ вырожденном полупроводнике величина одночастичма при температуре ионизации всех доноров, когда проной обменной энергии монотонно падает с ростом темисходит насыщение роста концентрации носителей. Запературы (рис. 1). Это падение обусловлено температуртем начинается спад обменной энергии, обусловленный ным уменьшением характерной де-Бройлевской длины уже температурным уменьшением, т. е. уменьшением волны электронов, поскольку a от температуры не перекрытия волновых функций. Такая температурная зазависит (концентрация электронов в зоне проводимости висимость обменной энергии в невырожденном полупропостоянна).

воднике приводит к тому, что обменная поправка к шиВ невырожденном полупроводнике величина обменрине запретной зоны в невырожденном полупроводнике ной энергии изменяется с ростом температуры немосущественно меньше обменной поправки в вырожденном нотонно (рис. 2). При малых температурах энергия полупроводнике.

4. Концентрационное сужение запретной зоны Межэлектронное взаимодействие приводит к сужению запретной зоны полупроводника. Существует несколько механизмов такого сужения, которые мы рассмотрим на примере полупроводника n-типа. Основной вклад вносят ДебайЦХюккелевское понижение дна зоны проводимости (3) и равное ему повышение потолка валентной зоны (если считать, что электроны и дырки экранируются электронным газом одинаково) (см., например, [11]), а также понижение дна зоны проводимости на величину энергии обменного взаимодействия (22). Тогда полное сужение запретной зоны Eg = 2UDH + Uex. (40) Рис. 1. Температурная зависимость одночастичной обменной С помощью этой формулы были рассчитаны конценэнергии в вырожденном GaAs при различных уровнях легиротрационные зависимости суженя запретной зоны для вания ND, 1016 см-3: 1 Ч1.5, 2 Ч5, 3 Ч 10. Параметры:

кремния и арсенида галлия n-типа, представленные на эффективная масса электрона mc = 0.067m0, диэлектрическая рис. 3 и 4. Результаты расчета хорошо согласуются проницаемость = 12.9.

Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № Обменная энергия свободного электрона в полупроводнике ния эмиттера [19]. Этот метод представляется нам более надежным, т. к. хвосты плотности состояний практически не могут оказывать влияния на коэффициент переноса носителей, но в то же время могут быть очень существенны в формировании спектра фотолюминесценции.

На рис. 3 и 4 жирными кривыми представлено полное сужение запретной зоны, а тонкими кривыми Ч вклад обменной энергии, изучавшийся нами в настоящей работе. Из рис. 3 видно, что в кремнии влияние обменного механизма является малым по сравнению с Дебай - Хюккелевским корреляционным механизмом. В арсениде галлия, напротив, влияние обменного взаимодействия оказывается очень существенным, как это видно из рис. 4.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам