Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 |

yF = (EF - Ea - kT ln a)/kT к нормированной на kT Понятно, что при увеличении числа координационных ширине акцепторной зоны Z = W /kT. Величина сфер, учитываемых в кулоновском взаимодействии с вынаходится из уравнения электронейтральности (9) при деленным ионом, значение W также возрастает. Однако при расстояниях между ионами больших или порядка Rh Z 1 в виде необходимо учитывать экранирование кулоновского поля (см. далее). 1 -2 K = exp d = 1 + erf (). (15) По [14] обратное значение величины h в модифици- 2 рованном сотношении Эйнштейна есть Апробацию формул (12)Ц(15) можно провести сле1 MhkT = дующим образом. Оценим критическую концентрацию h Dhq основной примеси Nc, при которой акцепторная зо+ на сливается с валентной. Из (12) следует, что при T 0 K, когда уровень Ферми касается потолка v-зоны = g(, Z) f0(, yF) f-1(, yF)d. (11) K(1 - K) (EF = Ea +(yF + a)kT = 0), выполняется соотноln шение yF/Z= 2 = -Ea/W. Численное решение уравнение 2 = -Ea/W с учетом (10) для нейтронноИз (10) и (11) следует, что при низких температурах легированного Ge : Ga с K = 0.35 дает концентрацию (W kT ) отношение Dh/Mh определяется шириной атомов галлия Nc 5.2 1017 cm-3. Она оказывается акцепторной зоны W и степенью заполнения ее дырками, в несколько раз выше экспериментального значения но не зависит от T (см. далее). Это коррелирует с резулькритической для перехода изоляторЦметалл концентрататами моделирования методом Монте-Карло темперации Nc = 1.85 1017 cm-3 для этой системы [20] в турной зависимости отношения Dn/n для электронов соответствии с cуществующими взглядами на то, что проводимости в хвосте плотности состояний c-зоны [17].

переход происходит внутри самой акцепторной зоны до Средняя энергия ионизации Ea определяет величину ее слияния с v-зоной.

боровского радиуса aH нейтрального водородоподобного акцептора [15] (без учета сдвига и флуктуаций энергии потолка v-зоны) 3. Средняя частота прыжков дырки между ближайшими соседями q2 3qEa = = Ia -, (12) 8aH 16( + Rh) Вследствие тепловых флуктуаций (поглощение или испускание фононов) и переходов дырок между локалигде Ia Ч энергия ионизации одиночного (изолирован- зованными состояниями акцепторов их энергетические -1/уровни изменяются во времени. Будем полагать, что ного) акцептора, Rh = N(1 + K) Ч минимально прыжок дырки между двумя акцепторами в зарядовых возможное расстояние между ионами в примесной ресостояниях (0) и (-1) может произойти лишь при обесшетке (радиус 1-й координационной сферы), Чдлина печиваемом поглощением или испусканием фонона Фслуэкранирования электростатического поля [14] чайном совпадении уровнейФ [21] этих акцепторов. Считаем это условие не только необходимым, но и достаточ-2 = q2NK(1 - K)/(kT h). (13) ным. Оно выполняется тогда, когда энергия ионизации нейтрального акцептора равна энергии сродства к дырке Отметим, что описываемый формулой (12) сдвиг цен-1/тра акцепторной зоны Ea к потолку v-зоны объясняется v-зоны находящегося на расстоянии Rh = N(1 + K) уменьшением энергии сродства ионизованного акцепто- ионизованного акцептора.

ра к дырке v-зоны из-за экранирования ионов дырками, Число переходов дырки между акцепторами за один прыгающими по акцепторам [15].

случай совпадения уровней Ea1 = Ea + 1kT и Для высоких температур (W kT ) из (11) с учетом Ea2 = Ea + 2kT равно целой части отношения про(8)Ц(10) следует, что соотношение Эйнштейна выпол- должительности ti() одного акта совпадения уровней няется в его классическом варианте (h 1); длина (1 = 2 = ) ко времени одного акта туннелирования экранирования -2 = q 2NK(1 - K)/(kT ); уровень Фер- (). Положим, что за промежуток времени t суммарная ми yF = ln K/(1 - K). Это соответствует результату продолжительность всех случаев совпадения энергетичеработ [18,19]. ских уровней есть tc() = ti(). Пусть вероятность i 4 Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 436 Н.А. Поклонский, С.Ю. Лопатин, А.Г. Забродский того, что при совпадении уровней двух ближайших где акцепторов произойдет ровно j переходов дырки между (1+) exp(-)- 1-(1+) exp(-2) S ними, дается распределением Пуассона [22,23] E0,-1 =4Et (1-S2) (20) j tc()/ () tc() Ч величина ФрасщепленияФ уровня туннелирования P{ j} = exp -, (16) j! () Et = Ea + kT = q2/(8at); = Rh/at;

S =(1 + + 2/3) exp(-); Ч постоянная Планка.

где tc()/ () = jP{ j} Ч среднее число пере- Усредненная по энергетическому распределению уровj=ходов дырки между ближайшими акцепторами; () Ч ней частота прыжков дырки между акцепторами в обоих время одного туннельного перехода дырки с нейтрально- направлениях оси OX с учетом(17)Ц(19) представляется го на отрицательно заряженный акцептор; j = 0, 1, 2,... в виде Тогда частота прыжков дырки между двумя акцепто+ + 1 1 g(, Z)P(, yF) рами при случайном выравнивании их энергетических h = (, yF)d = d, (21) уровней Et = Ea + kT за время t есть 3 3 () - где множитель 1/3 обусловлен тем обстоятельством, 1 tc() (, yF) = jP{ j} =. (17) что формулы (17) и (18) определяют частоту прыжков t t () j=и вероятность выравнивания уровней двух ближайших акцепторов независимо от направления в примесной Из теории марковских цепей [22,23] следует, что решетке, в то время как h определяется равновесной при наблюдении процесса перехода дырки между двумя частотой h прыжков дырки в одном из трех равновероакцепторами в течение длительного интервала времени ятных направлений (ось OX).

(t ()) доля времени, проведенного ими в одном Время туннелирования () по (19), (20) монотонно из двух возможных состояний (совпадение или несовозрастает с величиной (при смещении уровня тунвпадение энергетических уровней), приближенно равна нелирования Et в глубь запрещенной зоны кристалла).

стационарной вероятности пребывания в этом состоянии.

Функция g(, Z)P(, yF) при W kT имеет максимум Корреляцией между местоположением в примесной репри = yF. Это позволяет вынести () из-под знака шетке и энергетическим уровнем акцептора пренебреинтеграла в (21) при значении = yF. Таким образом, гаем. Поэтому отношение tc()/t определяется вероят- с учетом (11) средняя по примесной решетке частота ностью того, что энергетические уровни двух соседних прыжков дырки акцепторов в зарядовых состояниях (0) и (-1) имеют + значение (выравнены) h g(, Z) f0(, yF) f-1(, yF)d 3FK(1 - K) tc() f0(, yF) f-1(, yF) = P(, yF) =, (18) t K(1 - K) 1 = 3 exp -, (22) 3Fh kT -где f0(, yF) = 1 + exp(yF - ) Ч вероятгде 3 1/ 3 (yF) 1/(3F ) Ч частота тунность того, что один из акцепторов пары с энернелирования дырки между акцепторами, расположенгетическим уровнем Ea + kT заполнен дыркой, -1 ными вдоль оси OX на расстоянии Rh, в зарядоf-1(, yF) = 1 + exp( - yF) Ч вероятность того, вых состояниях (0) и (-1) с энергетическими уров что второй акцептор с таким же энергетическим уровнем нями Et = Ea + yFkT = Ea + W 2. Число находится в зарядовом состоянии (-1).

2 = yF/Z =(EF - Ea - kT ln a)/W зависит только В пренебрежении эффектами перекрытия волновых от степени компенсации K и находится в этом случае функций уровень туннелирования Et = Ea + kT, отсчииз (15).

танный от потолка -зоны нелегированного кристалла, определяет радиус at = q2/(8Et) локализации дырки 4. Прыжковая проводимость на акцепторе с энергией ионизации Et. Для центра акцепторной зоны ( = 0) это Ч боровский радиус с постоянной длиной прыжка at = aH = q2/(8Ea).

Исходя из представления прыжковой электропроВ рамках теории молекулярного иона водорода водности h = qNhMh с постоянной длиной прыж(H+) [24] время туннелирования дырки между двумя ка в определенном интервале температур в виде акцепторами на расстоянии Rh при совпадении их энерh = 3 exp(-3/kT ), из (7) с учетом (22) получаем гетических уровней (1 = 2 = ) можно оценить для ее предэкспоненциального множителя как [25,26] 1 q2K(1 - K)NRh () =, (19) 3 = = 3. (23) E0,-1 3 2(1 + K)hkT Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Решеточная модель прыжковой проводимости по ближайшим соседям: применение... Для низких температур (Z = W/kT 1) из (23) и дырки между квазистационарными уровнями нейтраль(14) следует ного и отрицательно заряженного акцепторов с учетом (18) принимает вид 24 3K 3 = (1 + K)3/2F exp(2), (24) + h() = g(, Z) f0( + ) f-1( - )d где = r0 Ч диэлектрическая проницаемость кри3FK(1 - K) сталлической матрицы, в которую погружена примесная решетка с периодом трансляции Rh; F Ч время 3() туннелирования дырки между двумя акцепторами при =3 exp -.

kT совпадении их энергий на уровне Et = Ea + W 2.

Перейдем теперь к энергии активации прыжковой Далее, используя (22), получаем, что энергия активапроводимости. Согласно формулам (22) и (7), она опреции прыжкового переноса дырок при большой конценделяетcя следующим соотношением:

трации акцепторов есть 3 = -kT ln(h/3) =kT ln h. (25) 3() =-kT ln K(1 - K) При W kT из (11) следует h 1, так что по (25) имеем 3 kT.

+ При Z = W/kT 1 из (25) с учетом (14) получаем g(, Z) f0( + ) f-1( - )d. (27) 3 kT 2 + ln Z 2K(1 - K), (26) По (27) уменьшение 3() с ростом N наступает при где 2K = 1 + erf().

прочих равных условиях раньше для основных примесей Как видно, энергия активации прыжков дырок рас большим боровским радиусом aH. Заметим, что для стет при увеличении ширины акцепторной зоны W и слабо легированного кристалла (2 = CE0,-1/kT 1) уменьшается при понижении температуры. Приведенформула (27) переходит в (25).

ная же энергия активации прыжковой проводимости Подчеркнем, что расчет 3 по формулам (25)Ц(27) 3 = ln(h/3)/ ln T 3/kT = ln h уменьшается применим в отсутствие корреляции между местополос ростом температуры, что соответствует эксперименту жением акцепторов в примесной решетке и разностью на системе Ge : Ga [5,6].

между энергиями их ионизации и сродства к дырке.

Согласно (18) и (21), усредненная по примесной Это условие лучше выполняется для промежуточных решетке стационарная вероятность совпадения (Фрезои больших степеней компенсации и / или при высоких нансаФ) двух бесконечно узких энергетических уровней температурах.

нейтрального и отрицательного заряженного акцепторов + есть g(, Z)P(, yF)d. Однако с ростом концентра5. Сравнение ции N = N0 + N-1 энергетические уровни акцепторов с экспериментальными данными и 2 становятся квазистационарными (уширяются), попо нейтронно-легированному Ge : Ga скольку туннелируемый дыркой барьер становится более с умеренной компенсацией проницаемым. Тогда условие резонанса выполняется для уровней в интервале от + до -, где Ч величина Нейтронно-легированный Ge : Ga характеризуется одполууширения уровня акцептора в единицах kT.

нородным распределением трансмутационных примесей Кажется естественным предположить, что величина и обладает умеренной компенсацией, которая, согласкоррелирует с расщеплением2 уровней двух акцепторов но [29], несколько зависит от спектра облучающих нейE0,-1 при ФрезонансеФ, т. е. 2 = CE0,-1/kT, где тронов. Используя разные флюенсы нейтронов, можно C 0 Ч подгоночный параметр. Параметр C формально получить уникальную серию образцов с фиксированной учитывает возможность одновременного выравнивания компенсацией и различными уровнями легирования, пеуровней у данного нейтрального акцептора и более чем рекрывающими обе стороны перехода изоляторЦметалл.

у одного из находящихся на расстоянии Rh от него Поэтому нейтронно-легированный Ge : Ga традиционно отрицательно заряженных акцепторов [27,28]. Условие считается удобным модельным объектом, в частности ФрезонансаФ выполняется тем легче, чем меньше энердля исследования механизмов прыжкового транспорта.

гия флуктуации (фонона) необходима для выравнивания На рис. 1 представлен расчет 3 по (24) и дануширенных уровней акцепторов. Тогда частота прыжков ные [4,5,30,31], полученные с помощью аппроксимаРассматривается диапазон далеких от перехода изоляторЦметалл ции экспериментальных зависимостей прыжкового элекконцентраций N, для которых флуктуационный разброс энергетических тросопротивления h(T ) в аррениусовском масштабе уровней акцепторов W значительно больше интеграла перекрытия при температурах Tl T Ts (здесь Tl Ч низволновых функций дырки между состояниями соседних по примесной решетке акцепторов. котемпературная граница наибольших значений 3, а Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 438 Н.А. Поклонский, С.Ю. Лопатин, А.Г. Забродский пература для анализируемого диапазона концентраций атомов Ga приблизительно соответствует середине интервала Tl T < Ts, где наблюдаются наибольшие значения энергии активации перескоков дырок [5]. Величина 2 = CE0,-1/kT находилась по (20) для Et = Ea. Там же приведены расчеты для значений C = 0 (кривая 1) и C = 1 (кривая 2), а также результаты более ранних расчетов [8,9] (кривая 3). Видно, что учет конечной ширины уровней акцепторов позволяет удовлетворительно описать область промежуточных степеней легирования.

Заметим, что в работах [5,6] уменьшение энергии активации в указанной области связывается с переходом к режиму прыжков с переменной длиной при достаточно низких температурах. Этот режим осуществляется по состояниям кулоновской щели на уровне Ферми, которая ФсхлопываетсяФ в точке перехода изоляторЦметалл [27].

Обратим внимание на то, что расчет по формуле Рис. 1. Зависимость предельного прыжкового электросо(27) позволяет также, начиная с области промежуточпротивления 3 = 1/3 от концентрации атомов Ga в Ge;

ных значений компенсации, описать зависимость энергии a,b,c,d Ч экспериментальные данные из работ [4,5,30,31] соотактивации от компенсации 3(K), качественно соответветственно; сплошная линия Ч расчет по (24) при r = 15.4, ствующую экспериментальной [35,36]. Речь идет об K = 0.35, Ia = 11.32 meV.

области компенсаций, где с ростом K энергия активации прыжковой электропроводности возрастает.

Отметим также что, вычисления 3 по формуле (24) Ts Ч низкотемпературная граница проявления насыщеи 3 по (26) при температуре T 2 K близки ния прыжковой проводимости [5,6,32]) с последующей к данным [37,38] для эпитаксиальных слоев n-GaAs экстраполяцией к пределу 1/T 0. Диэлектрическая (r = 12.4) толщиной 10-75 m с концентрацией допроницаемость кристаллического Ge принималась равноров N 9 1014-8 1015 cm-3, Id 7 meV и степенью ной r = 15.4 [33]; энергия ионизации уединенного компенсации K 0.2-0.8.

атома галлия Ia = 11.32 meV [34,32]. Расчет времени Таким образом, для нахождения прыжковой электроF туннелирования дырки между двумя акцепторами в проводимости по ближайшим по расстоянию водорозарядовых состояниях (0) и (-1) проводился по формуле доподобным примесям в ковалентных кристаллических (19) при = yF. Как видим, имеется хорошее согласие на всей изоляторной стороне перехода изоляторЦметалл.

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам