Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 3 Электропроводность одномерного полупроводника с периодическим потенциалом й С.Д. Бенеславский, А.А. Елистратов, С.В. Шибков Институт криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России, 117602 Москва, Россия (Получена 18 сентября 2002 г. Принята к печати 2 сентября 2002 г.) В пределе бесконечно большой длины релаксации энергии носителей тока получено аналитическое решение кинетического уравнения для функции распределения электронов в одномерном полупроводнике с пространственно-периодическим потенциалом в присутствии слабого тянущего электрического поля.Явное выражение для проводимости системы найдено в случае синусоидального потенциального рельефа произвольной амплитуды. Показано, что сингулярности функции распределения электронов, возникающие в асимптотическом пределе, сглаживаются в области конечных значений длины релаксации энергии.
Сопоставление с результатами обратного, локального режима, показывает, что проводимость в сильно нелокальном случае меньше при любых амплитудах потенциала.
1. Введение извольных соотношениях между периодом структуры L и импульсной длиной пробега lp. Выбор одномерной Известно, что аналитический расчет кинетических модели оправдывается соображениями математического коэффициентов проводника возможен лишь в исклю- плана, вместе с тем реальные примеры квазиодномерных чительных случаях. В частности, электропроводность полупроводниковых систем достаточно хорошо известметалла или полупроводника явно удается вычислить ны [3,4]. Мы ограничиваемся диапазоном параметров в области применимости квазиклассического прибли- системы, в котором применимо квазиклассическое кижения, решая линеаризованное кинетическое уравнение нетическое уравнение, т. е. не рассматриваем эффекты Больцмана в случае изотропного закона дисперсии но- локализации, квантового туннелирования и образования сителей и доминировании упругого или квазиупругого минизонной структуры [5]. Понятно, что все эти сумеханизмов рассеяния. В этом случае проводимость и щественно квантовые эффекты разрушаются в области другие линейные кинетические коэффициенты выража- сравнительно высоких температур. Конкретные вычисются через определенным образом усредненное время ления проводятся для модели со стандартным законом релаксации импульса p(), степенным образом зави- дисперсии электронов, в качестве основного механизма сящее от энергии частиц [1]. Существенно при этом, рассеяния выступает взаимодействие носителей с одночто вопрос о неравновесности энергетического распре- мерными акустическими фононами. В пределе le задача решается точно, но функция распределения окаделения носителей тока в рамках проблемы линейного отклика не возникает, так как джоулево тепло про- зывается сингулярной в определенной области энергий.
В случае конечной величины le получено дифференпорционально квадрату напряженности электрического циальное уравнение эллиптического типа для функции поля. Сказанное справедливо лишь для пространственно распределения электронов, зависящей от координаты однородных систем, в присутствии же неоднородных и энергии; формулируется соответствующая краевая потенциальных полей ситуация радикально меняется.
Действительно, в этом случае при протекании электри- задача. Ее решение удается получить лишь численно, но в пределе le L показано, что учет конечности ческого тока встроенные поля локально производят работу, следствием чего является возникновение нерав- длины остывания регуляризует особенности решения, не сказываясь на интегральных величинах, в частности новесности в энергетическом распределении носителей.
не меняя существенно значения электропроводности.
Решить кинетические задачи при этом удается в квазиКроме того, проведено сравнение результатов с теми, гидродинамическом пределе, когда характерный масшчто получаются в локальном пределе. Проводимость таб неоднородности потенциального поля существенно в гидродинамической области оказывается больше знапревосходит как импульсную, так и энергетическую чения в нелокальном режиме при любых амплитудах релаксационную длины [2].
периодического потенциала.
В данной работе предлагается метод расчета электропроводности пространственно-периодической одномерной полупроводниковой структуры в пределе, обрат2. Модель и основные уравнения ном гидродинамическому. Явные вычисления удается провести в асимптотике бесконечной длины релаксации Рассмотрим невырожденную систему электронов в энергии le (так называемой длины ДостыванияУ) при проодномерном полупроводнике, в котором существует мак роскопический потенциальный рельеф U(x) =U(x + L) E-mail: elist@interset.ru E-mail: shibkovsv72@mail.ru с периодомL, существенно превосходящим как постоянЭлектропроводность одномерного полупроводника с периодическим потенциалом ную решетки, так и де-бройлевскую длину волны элек- В рассматриваемой нами модели, очевидно, (p) 1/p тронов. Закон дисперсии электронов считаем стандрати D(p) 1/2, что обусловлено энергетической завиp ным: p = p2/2m, в качестве основного механизма рассимостью плотности уровней в одномерной системе.
сеяния рассматриваем взаимодействие с одномерными Соответственно произведение (p)D(p) =const.
акустическими фононами, спектр которых дается форВ системе уравнений (2) и (3) удобно перейти к перемулой = sq, где s Ч скорость звука. При выполнении менным координатам и полной энергии = p + U(x):
условия на температуру T ms2, рассеяние электронов на фононах носит квазиупругий характер, как и в объем- f f f 1s 0 1a - U(x) + eE = -, (6) ном случае [6,7], следствием чего является соотношение x - U(x) между импульсной и энергетической длинами пробега: le lp. Плотность электронов считаем достаточно f 2 f 1 f 1a 1s 1s -U(x) = D -U(x) +, (7) низкой, что позволяет пренебречь их рассеянием друг x 2 T на друге. Линеаризованное по внешнему (ДтянущемуУ) где электрическому полю кинетическое уравнение имеет - U(x) = 2 - U(x) m1/2, вид p f U f f а при записи правых частей использованы отмеченные 1 1 - + eE = Ist( f ), (1) m x x p p выше свойства величины D.
где f = exp[( - )/T ] Ч равновесная функция с химическим потенциалом , полная энергия = p2/2m 3. Предельно нелокальный режим + U(x), f Ч линейная добавка к функции распределения в поле E, интеграл столкновений Ist( f ) ЧлинейРассмотрим нулевое приближение по неупругости ный функционал от f. Для описания электрон-фононноэлектрон-фононного рассеяния, т. е. случай бесконечно го взаимодействия используем приближение потенциала большой длины релаксации энергии, тогда в (7) D 0.
деформации. В области справедливости упомянутого При этом условии, очевидно, f является функцией 1a выше неравенства ms2 T интеграл столкновений в (1) полной энергии, что в сочетании с требованием обеспечивает равенство вероятностей рассеяния Двпенечетности по импульсу приводит к обращению f в 1a редУ и ДназадУ, аналогом чему в трехмерном случае нуль для всех состояний с траекторий. В области >Umax нечетная часть функции Представим искомую добавку к функции распределераспределения отличается от нуля, и в целом ее можно ния в виде суммы четной и нечетной по импульсу частей: представить в виде f (x, p) = f (x, p) + f (x, p), 1 1s 1a f (x, p) = f () sign (p)( - Umax). (8) 1a 1a где f (x, p) = f (x, -p) и f (x, p) =- f (x, -p). 1s 1s 1a 1a Для определения f () перепишем (6), вводя длину 1a Симметрия уравнения (1) позволяет записать систему пробега по импульсу l = в форме f U f f 1s 1s - + eE = Ist( f ), (2) 1a f f f () x x p p 1s 0 1a + eE = -. (9) x l - U(x) f U f 1a 1a - = Ist( f ). (3) 1s x x p Проинтегрировав (9) по периоду структуры с учетом Здесь введена скорость частиц = p/m. условия периодичности, получим Квазиупругость рассеяния позволяет записать правую L L часть (2) в приближении времени релаксации, а столк f dx -e E(x) dx = f (). (10) новительный член (3) представить в дифференциальной 1a l - U(x) форме [8]: 0 f 1a Ist( f ) =-, (4) 1a Вводя для удобства средние по периоду величины, (p) перепишем (10) в виде 1 f f 1s 1s Ist( f ) = (p)D(p) +, (5) 1s f (p) p p T -e E = f () l-1(). 1a где -(p) = (p) =( )-1(m/2p)1/В итоге получаем Ч плотность электронных состояний, D(p) Ч эффек -1 f тивный коэффициент диффузии по энергетической оси, f () =-e E l-1() 1a определяемый обычным соотношением -e E l-1() 1 ( p)D(p) =. = e-/T. (11) 2 t T Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 348 С.Д. Бенеславский, А.А. Елистратов, С.В. Шибков Электрический ток записывается стандартным образом: + dp e j1 = e f (x, p) = f () d. (12) 1a 1a - Umax Обратим внимание на то, что вид функции (8) автоматически обеспечил выполнение условий непрерывности тока j/x = 0. Подставив (11) в (9), получаем уравнение для нахождения f (x, ), которое элементарно решается: 1s f f (x, ) =- e E(x) dx 1s - f () l-1 - U(x) dx + (). (13) 1a Следует лишь остановиться на вопросе о выборе пределов интегрирования в (13) и значениях формальРис. 1. Зависимости f (x) четной составляющей неравновес1s но возникающей произвольной функции энергии (). ной добавки к функции распределения при различных значениОграничимся случаем четного потенциала U(x), тогях энергии электрона. (Предельно нелокальный случай). да из соображений симметрии легко видеть, что f (x, ) =- f (-x, ), следовательно, нижний предел 1s 1s интегралов (13) удобно положить равным нулю, а () В области финитного движения 1a из (15) следует простой результат x f f eEx f (x, ) =- e E(x ) dx 1s f (x, ) =-e Ex = e(-)/T. 1s T x Он отвечает слабому перераспределению частиц в потенциальных ямах, обусловленному влиянием электри- f () l-1 - U(x ) dx. (14) 1a ческого поля, иными словами, описывает возникающую поляризацию связанных электронов. Выделив из E(x) постоянную составляющую Дальнейшее продвижение возможно лишь при конкретизации вида потенциала. Рассмотрим случай гармониL ческого потенциального рельефа: E = E(x) dx, L x U(x) =U0 cos 2. (17) L переменное слагаемое E(x) - E можно устранить, пеОбласти финитного движения отвечают неравенству реопределив величину потенциала U(x). 1a T2 (15) Соответственно (15) запишется в форме где для краткости обозначений положено E E. Для рассматриваемого нами механизма рассеяния eEL x 1 + U0 x l p, поэтому удобно явное выражение для длины f (x, ) = - arctg tg f. 1s T L - U0 L пробега представить в виде (18) - U(x) l - U(x) = lT, (16) Полученные решения обладают рядом интересных T особенностей. График функций f (x) изображен на 1s где lT Ч длина пробега электронов, имеющих тепловую рис. 1 для U0/T = 1/2. Как видно из (18) и рис. 1, скорость. f (x) сингулярна при U0 и x 0. 1s Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. Электропроводность одномерного полупроводника с периодическим потенциалом выражения, имеем L e/T e-V (x) dx = Le/T e-V cos 2t dt 0 = Le/T I0(V0) =Le /T, где и 0 Ч химический потенциал электронного газа при V0 = 0 и V0 = 0 соответственно, I0(V0) Ч модифицированная функция Бесселя. Для тока получаем окончательное выражение: e2lT |V0| K1(|V0|) |V0| K1(|V0|) j1 = e /T E = j0, (20) I0(V0) I0(V0) где j0 Ч плотность тока в отсутствие периодического потенциала. Оценим это выражение в двух предельных случаях. 1. При U0 T, используя асимптотические разложения для функций Бесселя и Макдональда, получаем j1 = j0|V0|e-2|V |. Рис. 2. Общий вид зависимости f (x, ). 1s Мы видим, что при большой глубине потенциальной ямы плотность тока по сравнению с пространственно однородным случаем экспоненциально мала, что обусловлено малостью числа носителей, обладающих энергией, Поведение носителей вблизи максимумов потенциальдостаточной для преодоления высокого потенциального ной энергии U(x) (x = 0, L, 2L,...) обладает формальбарьера. ным сходством с ситуацией в гидродинамике, возникаю2. Для случая U0 T, воспользовавшись разложенищей при обтекании тела невязкой жидкостью и называеем функций Бесселя и Макдональда при малых значенимой тангенциальным разрывом. При U0 стремятся ях аргумента, находим с точностью до членов второго к бесконечности производные ( f /) и ( f /x), 1a 1s порядка малости: а сама функция f имеет разрыв в точке (0, 0) 1s |V0| |V0|(см. рис. 2). j1 = j0 1 + (C - 1) +ln, (21) 2 Учет неравновесных добавок в приближении квазиупругого рассеяния электронов должен устранить неанагде в последнем выражении C 0.577 Ч постоянная литичность функции распределения f в области сепа1s Эйлера. ратрисы (линия = U0, разделяющая области финитного и инфинитного движения) и точек максимума периоди4. Квазиупругое рассеяние носителей ческого потенциала. Вычислим плотность тока (12) в рамках данной моВведем параметр неупругости =(2ms2/T )(L/lT )2. дели: Кинетическое уравнение в случае квазиупругого рассеяния электронов на акустических фононах ( 1) можно преобразовать следующим образом: учитывая e2lT j1 = e/T y2 - V0 e-y dy E выражения (4) и (5) в системе (2) и (3), выразим из первого уравнения системы величину f, подставим во V1a второе, после чего получим e2lT = e/T |V0| K1(|V0|)E, (19) f f f 1s - + F0 + F0 1s + eE x p x p p где V0 = U0/T, а K1(|V0|) Ч функция Макдональда. Для 2ms2T f f 1s 1s выяснения поведения химического потенциала, фигури= +. (22) lT p p T рующего в выражении (19), воспользуемся условием постоянства числа частиц. Интегрируя выражение (19) Оценим ширину области энергий вблизи сепаратрисы по x на отрезке [0, L] в случае наличия и отсутствия пе- ( = U0), в которой решение уравнения (22) существенриодического потенциала и приравнивая получившиеся но отличается от значений выражения, полученного в Физика и техника полупроводников, 2003, том 37, вып. 350 С.Д. Бенеславский, А.А. Елистратов, С.В. Шибков В этом обратном предельно локальном случае, чтобы сохранить введенное выше условие квазиупругости рассеяния электронов на длинноволновых акустических фононах, мы должны ограничиться случаем, когда величина безразмерной фононной энергии ms2/T по-прежнему остается малой, что при данном механизме релаксации всегда верно, тогда как длина периода L l, где l Ч длина свободного пробега. Вводя безразмерную переменную y = /T и учитывая, что при вышеуказанных соотношениях между масштабами длин и энергий выполняется неравенство 1, получим уравнение (22) в нулевом приближении по 1/ в виде 2 f f 1s 1s Рис. 3. Зависимость f (/T ) в точке x = L/4 при различных + = 0. 1s y2 y значениях параметра неупругости. Книги по разным темам