Математика/

Материалы по высшей математике/

Учебники, справочники, пособия по высшей математике/

Дифференциальные уравнения/Учебник – Агафонов С.А., Герман А.Д. Дифференциальные уравнения

Учебник – Агафонов С.А., Герман А.Д. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения.Агафонов С.А., Герман А.Д.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Основные обозначения 9
1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях 15
1.1. Основные понятия и определения 15
1.2. Геометрическая интерпретация решения ОДУ. Поле направлений 18
1.3. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 19
Вопросы и задачи 23
2. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка 24
2.1. Постановка задачи Коши. Интегральное неравенство 24
2.2. Теорема существования и единственности решения (теорема Коши) 27
2.3. Оценка разности решений двух уравнений. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и параметра 37
2.4. Изоклины и их использование для приближенного построения интегральных кривых 45
Вопросы и задачи 47
3. Дифференциальные уравнения первого порядка 49
3.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 49
3.2. Однородные и квазиоднородные уравнения 55
3.3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 59
3.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати 63
3.5. Особые точки и особые решения ОДУ первого порядка 71
3.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной 74
Д.3.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах 78
Д.3.2. Ортогональные и изогональные траектории 109
Вопросы и задачи 113
4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 115
4.1. Задача и теорема Коши 115
4.2. Частное и общее решения системы дифференциальных уравнений 118
4.3. Оценка разности двух решений 119
4.4. Теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения высшего порядка. Случаи понижения порядка 125
Вопросы и задачи 132
5. Системы линейных дифференциальных уравнений 134
5.1. Определения и основные свойства решений 134
5.2. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского — Лиувилля 138
5.3. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем 144
5.4. Метод вариации постоянных 147
5.5. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы 151
5.6. Нахождение фундаментальной системы решений в случае различных корней характеристического уравнения 153
5.7. Структура фундаментальной системы решений в случае кратных корней 161
Вопросы и задачи 168
6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 169
6.1. Сведение к линейной системе. Определитель Вронского и структура общего решения однородного уравнения 169
6.2. Общее решение неоднородного уравнения. Метод Лагранжа вариации постоянных 177
6.3. Понижение порядка линейного дифференциального уравнения 183
6.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай различных корней характеристического уравнения 185
6.5. Формула сдвига. Случай кратных корней характеристического уравнения. Уравнения Эйлера, Лагранжа, Чебышева 190
6.6. Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью . 200
Вопросы и задачи 208
7. Нули решений дифференциального уравнения второго порядка 211
7.1. Приведение уравнения к двучленному виду 211
7.2. Нули решений. Теорема о конечности числа нулей на отрезке 214
7.3. Теорема о чередовании нулей. Теоремы сравнения и Кнезера 216
Д.7.1. О нулях решений нелинейных дифференциальных уравнений 222
Вопросы и задачи 223
8. Первые интегралы 224
8.1. Основные понятия и определения 224
8.2. Теорема о локальном существовании системы первых интегралов 228
8.3. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов 230
8.4. Симметричная форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений 231
Вопросы и задачи 234
9. Элементы теории устойчивости 235
9.1. Основные определения и понятия 235
9.2. Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений 241
9.3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению 245
9.4. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости 251
9.5. Теоремы Четаева и Ляпунова о неустойчивости 254
Д.9.1. Библиографический комментарий 257
Вопросы и задачи 258
10. Особые точки на фазовой плоскости 259
10.1. Фазовый портрет системы 259
10.2. Система нелинейных дифференциальных уравнений 273
Д. 10.1. Математическая модель сосуществования двух популяций 278
Вопросы и задачи 281
11. Краевые задачи для дифференциального уравнения 283

и т.д.

Дифференциальные уравнения