Geum.ru

 

На главную/Библиотека для студентов/Математика/Материалы по высшей математике/Учебники, справочники, пособия по высшей математике/Учебник – Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определенный интеграл. Теория и практика вычислений

Учебник – Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определенный интеграл. Теория и практика вычислений

Определенный интеграл. Теория и практика вычислений. Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 8
§ 1. Определённый интеграл Римана
1.1. Историческая справка 11
1.2. Определение интеграла Римана 14
1.2.1. Интегральные суммы и интеграл Римана 14
1.2.2. Вычисление определённых интегралов по определению, т.е. переходом к пределу интегральных сумм 16
1.2.3. Геометрический смысл определённого интеграла 17
1.2.4. Суммы и интегралы Дарбу 18
1.2.5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости 23
1.3. Основные классы интегрируемых функций 24
1.3.1. Функции, непрерывные на сегменте 24
1.3.2. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль поЖордану 25
1.3.3. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Лебегу 27
1.3.4. Функции, монотонные на сегменте 27
1.3.5. Интегрирование сложных функций 28
1.4. Свойства определённого интеграла, выражаемые равенствами 31
1.5. Интегралы с переменным верхним (нижним) пределом. Формула Ньютона-Лейбница 35
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 41
§ 2. Оценки определённых интегралов: теоремы о среднем, интегральные неравенства
2.1.Свойства определённого интеграла, связанные с неравенствами. ... 53
2.2. Интегральные теоремы о среднем.
2.2.1. Первая теорема о среднем. Среднее значение функции 57
2.2.2. Вторая теорема о среднем 62
2.3. Некоторые известные интегральные неравенства.
2.3.1. Неравенство Коши-Буняковского 65
2.3.2. Неравенство Коши 67
2.3.3. Неравенство Гёлъдера 68
23.4. Неравенство Минковского 68
2.3.5. Неравенства для выпуклых функций 70
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 73
§ 3. Основные методы вычисления определённых интегралов
3.1. Интегрирование путём сведения к табличным (или известным) интегралам с помощью различных преобразований 81
3.2. Интегрирование путём замены переменной 89
3.3. Интегрирование по частям 99
3.4. Другие способы вычисления определённых интегралов 105
3.5. Интегрирование специальных классов функций 107
3.5.1. Интегрирование периодических функций 108
3.5.2. Интегрирование функций, график которых имеет ось (центр) симметрии в середине промежутка интегрирования 110
3.5.3. Интегрирование взаимно обратных функций 111
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 112
§ 4. Несобственные интегралы
4.1. Понятия несобственных интегралов 1-го и 2-го рода и связь между ними. Сходимость (расходимость) интеграла.
4.1.1. Несобственный интеграл 1-города 123
4.1.2. Несобственный интеграл 2-города 126
4.2. Понятие среднего значения функции на неограниченном промежутке. Сходимость интеграла в смысле главного значения (по Коши).
4.2.1. Среднее значение функции, интегрируемой на неограниченном промежутке 129
4.2.2. Сходимость в смысле главного значения (по Коши) 130
4.2.3. Среднее значение несобственного интеграла 135
4.3. Критерий Коши сходимости (расходимости) несобственного интеграла 136
4.4. Свойства несобственного интеграла 138
4.5. Теоремы о среднем 146
4.6. Вычисление несобственных интегралов.
4.6.1. Формула Ньютона-Лейбница 147
4.6.2. Формула замены переменной 149
4.6.3. Формула интегрирование по частям 150
4.7. Исследование сходимости несобственных интегралов 153
4.7.1. Необходимые и достаточные условия сходимости интегралов от неотрицательных функций. Теорема сравнения 154
4.7.2. 1-й признак сравнения (признак абсолютной сходимости) 157
4.7.3. 2-й признак сравнения 157
4.7.4. 3-й признак сравнения (признак сравнения со степенью) 162
4.7.5. Признак Дирихле 165

и т.д.


Скачать

Похожие материалы

Самые популярные материалы