“Вестник ЦМО МГУ”, 1997 г., №1

Часть 3. “Математика, естественные и технические науки: методика и практика преподавания, теоретические и экспериментальные исследования”

 

МЕТОДИКА И ПРАКТИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫХ

ДИСЦИПЛИН ИНОСТРАННЫМ УЧАЩИМСЯ

 

 510.6.005

 

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИНТЕЗА ЛОГИЧЕСКИХ

ПРИЕМОВ МЫШЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ

РАЗРАБОТКЕ СПОСОБОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ТЕОРЕМ

 

Кузнецова Т.И.

(Центр международного образования МГУ им. М.В. Ломоносова)

 

1. Всякое знание об объекте всегда является результатом решения каких-то частных задач. Поэтому это знание представляет объект только с одной стороны, выделяет в нем одно или какую-то группу свойств, участвующих в решении определенной задачи. Решение новых задач, в которых участвует рассматриваемый объект, выделяет в нем новые свойства и соответственно образует новые знания.

Когда накоплено достаточно большое число таких, “односторонних” и частных, знаний, возникает особая теоретическая задача - объединить их в одном многостороннем знании об объекте. Решение этой задачи имеет не только теоретическое, но и практическое значение, так как оно позволяет рационализировать знания и тем самым ведет к экономии работы с ними.

Но как можно объединить в единой системе односторонние знания об объекте, полученные в связи с решением частных задач?

Нередко их объединяют чисто механически. При этом объект рассматривается как изоморфный той системе знания, которая может быть получена путем непосредственного объединения уже существующих, полученных независимо друг от друга частных знаний.

Конкретизируем нашу проблему на объекте, очень важном в математике - теореме. Теоремы занимают ведущее место как в школьном курсе математики, так и в целом ряде курсов высшей школы (высшая математика, физика, теоретическая механика и др.).

Процесс доказательства теорем анализировался в психолого-педагогических исследованиях (Ж. Адамар, И. Лакатос, Д. Пойа, Ю.М. Колягин, Л.М. Фридман, Г.А. Буткин, Н.Ф. Талызина и др.). Однако до последнего времени не был выявлен полный цикл знаний и умений, которые обеспечивают возможность самостоятельно разрабатывать способы доказательства теорем. Поэтому способы доказательства теорем до сих пор представляются обучаемым в готовом виде.

Усвоение способов доказательств теорем во всех областях, особенно в высшей математике, встречает серьезные трудности у обучаемых: они не запоминают их процедуры, часто не понимают смысла, не умеют применять на практике и поэтому, как правило, просто заучивают. В итоге не происходит усвоение материала, не развивается математическое мышление.

Таким образом, до последнего времени не было выработано положений для планомерной разработки способов доказательства теорем. Каждый способ когда-то был предметом специального открытия. При этом общие пути их создания оставались неизвестными. Набор способов доказательств теорем представлял собой чисто механическое объединение.

 

2. Подход к проблеме синтеза знаний, относимых к одному объекту, может быть совершенно иным, отличным от механического, так как абстракции не всегда выделяют части изучаемого объекта - они образуются иначе. Содержание знаний, получаемых при решении частных задач, можно сравнить с проекциями, которые “снимаются” с объекта при разных его “поворотах” [1].

Проиллюстрируем понимаемое таким образом отношение между несколькими знаниями и объектом, который мы изучаем. Изобразим объект и знания (А), (В), (С), фиксирующие разные “стороны” объекта, кругами. Тогда проекции кругов (А), (В), (С) на круг объекта будут символизировать “объективное содержание”, которое выделяется и фиксируется знаниями (А), (В), (С).

 

Рис.1

 

Если взять рассматриваемый нами объект - теорему как общенаучное понятие, то круги (А), (В), (С) могут символизировать какие-то знания о теореме, например, формулировки конкретных теорем (см. рис.1).

Ясно, что чисто механическое объединение таких проекций не может дать представления о действительном строении объекта. Попытки такого объединения с последующей формальной объективизацией полученной таким образом системы знаний так же бесперспективны, как и попытки получить представление о структуре детали путем простого присоединения друг к другу ее чертежных проекций. Но каким же образом осуществить синтез различных односторонних знаний об одном объекте? В этом и заключается наша проблема.

 

3. Обоснованный методологический подход к этой проблеме требует прежде всего четкого и резкого разграничения понятий объекта и предмета изучения. В контексте рефлексивного методологического исследования естественно рассматривать противопоставление объекта и знаний о нем как нечто реально существующее и весьма существенное для многих процедур и приемов научного и философского мышления. Понятие предмета изучения строится именно на этом отношении между объектом и знаниями о нем. Cчитается, что, если объект независим от исследования и противостоит ему, то предмет изучения, напротив, формируется самим исследователем. Это - конструкция, созданная мышлением или наукой, существующая лишь постольку, поскольку есть знания об объекте. Исследователь, приступая к изучению какого-либо объекта, берет его с одной или нескольких сторон; выделенные и зафиксированные в знании стороны объекта становятся “заместителем” всего объекта в целом. Таким образом, предмет исследования рассматривается как результат и продукт деятельности, как продукт человеческого мышления, не тождественный объекту и не сводимый к нему, существующий в особых средствах науки и, как особое создание человеческого общества, подчиняющийся особым закономерностям, не совпадающим с закономерностями самого объекта.

При этом характер предмета зависит не только от того, какой объект он отражает, но и от того, зачем этот предмет сформирован, для решения какой задачи. Итак, объект и задачи исследования являются теми двумя факторами, которые определяют, как и с помощью каких средств - приемов и способов исследования - будет сформирован необходимый для решения поставленной задачи предмет.