Математика - наиболее яркий пример познания реальности посредством чисто логических умозаключений. Принципы построения этой науки легли и в основу неоэзотерического учения. А само математическое знание стало фундаментом NZ-теории эволюции. Вот почему решая философские проблемы математики, мы, по сути, ищем ответы и на вопросы неоэзотерики. В предлагаемой Вашему вниманию статье к.т.н. Морозов совершил обзор почти всех наиболее важных и интересных тем, высказывая при этом собственное отношение к ним. С чем-то можно соглашаться, с чем-то нет, но пищу для раздумий он дал.

ФИЛОСОФСКИЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ

  Если вопрос об отношении сознания к бытию является основным вопросом философии, то вопрос об отношении математических понятий, аксиом, теорий, правил и законов вывода к реальному миру есть основной философский вопрос математики. Решение этого вопроса определяет решение и других философских вопросов, возникающих в процессе ее развития, и, в основном, определяет философскую позицию ученого, принадлежность его к лагерю материализма или идеализма.

  Материалистический и идеалистический подходы к оценке математики и тех абстракций, которыми она оперирует, возникли еще в античном мире.

  Древнегреческий математик и философ-идеалист Пифагор (580—500 гг. до н. э.), отрывая количественные соотношения действительного мира от качественных, пришел к выводу, что Вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и их отношений. Понятие числа, являющееся отражением реального количества, пифагорейцы мистифицировали и превратили в самостоятельную, идеальную сущность, от которой зависят предметы реального мира.

  Древнегреческий философ-идеалист Платон (427—347 гг. до н. э.), рассматривая мир природных вещей лишь как проявление потустороннего, вечного и неизменного мира духовных сущностей — идей, полагал, что познание геометрических отношений достигается благодаря воспоминанию переживаний, которые наша “душа” получила в мире идей.

  Таким образом, объективный идеализм отрывает идеи, понятия, возникшие в сознании людей в результате его абстрагирующей деятельности, от единичных материальных предметов, объявляет эти понятия первичными, наделяет их самостоятельным существованием в том же смысле, в каком существуют единичные предметы,

  Наряду с идеалистическими взглядами на природу математических абстракций в древнегреческой философии имели место и материалистические.

  Аристотель (384—322 гг. до н. э.), критикуя Платона, подчеркивал, что никакого “царства идей”, оторванного от единичных вещей, нет. Общее (“идеи”, “сущности”) находится в самих вещах и извлекается людьми из них в процессе познания путем абстракции. Правда, Аристотелю не удалось решить вопрос о том, что собой представляет “общее”, как возникают в нашей голове общие понятия. Но в своей основе взгляд Аристотеля на образование общих понятий был правильным, причем он распространил его и на простейшие математические понятия.

  Ум, по Аристотелю, “мысля математические предметы, берет их в отвлечении, [хотя они и] неотделимы от тел”1. При этом математик “производит это рассмотрение, сплошь устранивши все чувственные свойства, например, тяжесть и легкость, жесткость и противоположное [ей], далее—тепло и холод и все остальные чувственные противоположности, а сохраняет только количественную определенность и непрерывность...”2.

  Если количественная определённость и непрерывность сохраняется в одном направлении, мы получаем прямую, если в двух — плоскость, если в трех — геометрическое тело. Геометрия изучает также те положения, в которых тела “стоят друг к другу, и то, что связано с этими положениями”, “соизмеримость и несоизмеримость” тел, “их [взаимное] соотношение”3.

  Из приведенных высказываний видно, что уже во времена Аристотеля в основном сложилось классическое определение математики как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

  Борьба вокруг природы математических абстракций проходит через все средневековье, где она связана с более широкой проблемой природы универсалий (общих понятий).

  По мнению реалистов, которые шли за Платоном; универсалии (в том числе и понятия математики) существуют реально, независимо от человека и его мышления. Они существуют до единичных материальных вещей, наряду с ними и после них.

  Номиналисты, ведя ожесточенную борьбу против реалистов, справедливо утверждали, что универсалии не существуют реально. Однако они ошибочно рассматривали их лишь как общие термины, знаки, вводимые человеком для обозначения классов сходных предметов.

  О недопустимости такого отождествления свидетельствует хотя бы следующий пример. Возьмем число 2. Что оно собой представляет — знак или понятие? Ясно, что отождествить число 2 со знаком, его обозначающим, нельзя: это же число можно обозначить и знаком И (или словом “два”). Значит, число 2 есть нечто, не зависящее от формы его выражения.

  Развитие естествознания и математики, начиная с XVII века, вызвало усиленный интерес к методам научного познания, к природе математических понятий и аксиом, к логике доказательства. Выражением этого интереса к методологическим вопросам математики явились и дискуссии о дискурсивном и интуитивном знании.

  Под дискурсивным знанием обычно понимали знание рассудочное, опосредствованное, выводное, логическое. Под интуитивным — знание чувственное, непосредственное, созерцательное.

  Рационалисты XVII столетия (Декарт, Лейбниц, Спиноза) считали, что всеобщность и необходимость человеческого знания (в том числе и положений математики) не может быть обоснована ни чувственным созерцанием (интуицией) и связанной с ним индукцией, ни дискурсивным мышлением. Всеобщность и необходимость положений математики обеспечивает лишь некая интеллектуальная интуиция, которая лежит в основе доказательства и при помощи которой разум одновременно и мыслит, и созерцает.

  Учение об интеллектуальной интуиции сочеталось у Спинозы с материалистическим тезисом о том, что “порядок и связь идей те же, что и порядок и связь вещей”. Это же учение в работах Декарта и Лейбница вело к идеализму. Лейбниц, например, писал: “Так как чувства и индуктивные умозаключения не могут дать нам вполне всеобщих и абсолютно необходимых истин, а говорят лишь о том, что есть и что обычно бывает в частных случаях, и так как мы, тем не менее, знаем всеобщие и необходимые истины наук, — в чем и состоит преимущество, возвышающее нас над животными, — то отсюда следует, что мы почерпнули эти истины в известной части из того, что находится в нас...”

  Английский философ XVII века Т. Гоббс, признавая всеобщий и необходимый характер исходных положений математики, вместе с тем считал, что не опыт и интуиция являются средством для их обоснования, а способность слов языка быть знаками общих понятий. Математика, по Гоббсу, носит априорный характер, но не потому, что в основе ее лежат априорные интуиции, а потому, что она дедуктивно выводит все свои положения из априорных построений или конструкций.