Оглавление
Задача 1 2
Задача 2 4
Задача 1
Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений с одной переменной.
Уравнение f(x) = 0 имеет вид
Исследовать интервалы изоляции корней данного уравнения, найти тремя методами:
1. Метод деления отрезка пополам.
2. Метод простой итерации.
3. Метод Ньютона.
Приблизительное значение корня в интервале [б;b] и сравнить результаты. а0 = 1, а1 = -8, а2 = 0, а3 = 6, б = 0,2, b = 1,2
Решение
Учитывая приведенные в условии значения коэффициентов уравнение примет вид:
б n
b n
g n=(б n+b n)/2
f (б n)
f (g n)
D = Ѕб n-b nЅ
0,2
1,2
0,7
-0,112
-3,377
1
0,2
0,7
0,45
-0,112
-1,328875
0,5
0,2
0,45
0,325
-0,112
-0,61067188
0,25
0,325
0,45
0,3875
-0,610671875
-0,94306445
0,125
0,325
0,3875
0,35625
-0,610671875
-0,77009937
0,0625
0,325
0,35625
0,340625
-0,610671875
-0,68868198
0,03125
0,340625
0,35625
0,3484375
-0,688681976
-0,72896619
0,015625
0,340625
0,3484375
0,34453125
-0,688681976
-0,70871778
0,0078125
0,340625
0,34453125
0,342578125
-0,688681976
-0,69867328
0,00390625
0,34257813
0,34453125
0,343554688
-0,698673283
-0,70368889
0,001953125
0,34257813
0,34355469
0,343066407
-0,698673283
-0,70117942
0,000976563
0,34257813
0,34066407
0,341621098
-0,698673283
-0,69377091
0,001914055
0,3416211
0,34066407
0,341142584
-0,693770915
-0,69132452
0,000957028
0,3416211
0,34114258
0,341381841
-0,693770915
-0,69254732
0,000478514
0,3416211
0,34138184
0,34150147
-0,693770915
-0,69315902
0,000239257
0,34150147
0,34138184
0,341441656
-0,693159019
-0,69285314
0,000119629
0,34150147
0,34144166
0,341471563
-0,693159019
-0,69300608
5,9814E-05
Проверка: 0,3414715633 – 8* 0,3414715632 + 0,2 = -0,693159019.
Ответ искомое значение корня уравнения в интервале [0,2; 1,2], полученное методом деления отрезка пополам, после выполнения шестнадцати итераций хn = 0,3414715633.
Для применения метода простой итерации приведем уравнение к виду так, чтобы на всем отрезке [x0, x0+d] = [0,1] выполнилось равенство . Разрешим уравнение относительно х следующим образом: , положим .
Проверим условие сходимости:
,
так как х0=0,2 и d=1, то справедливость неравенств очевидна:
За начальное приближение возьмем х0=0,25. Все остальные приближения будем определять из итерационной формулы
Результаты вычисления представлены в таблице
n
xn
+0,2
0
0,25
0,015625
0,215625
0,164174069
0,085825931
1
0,164174
0,004425004
0,204425
0,15985345
0,004320619
2
0,159853
0,004084755
0,204085
0,159720363
0,000133087
3
0,15972
0,004074561
0,204075
0,159716374
3,989E-06
4
0,159716
0,004074256
0,204074
0,159716255
1,19461E-07
5
0,159716
0,004074247
0,204074
0,159716251
3,57748E-09
Ответ: искомое значение корня уравнения в интервале, полученного методом простой итерации, после исполнения четырех итераций хn = 0,159716.
Результаты нахождения корня уравнения в интервале [0,2; 1,2] методом Ньютона сведены в таблице:
k
Xk-1
f(xk-1)
f’(xk-1)
0
0,25
0,015625
0,215625
0,164174069
0,085825931
1
0,164174
0,004425004
0,204425
0,15985345
0,004320619
2
0,159853
0,004084755
0,204085
0,159720363
0,000133087
3
0,15972
0,004074561
0,204075
0,159716374
3,989E-06
Ответ: искомое значение корня уравнения в интервале[0,2; 1,2], полученного методом Ньютона после исполнения четырех итераций хn = 0,159853.
Задача 2
Методом Гаусса – Зейделя решить с точностью Е = 0,001 систему линейных уравнений:
Решение:
1. Приведем систему с диагональным преобладанием. Прибавив к первому уравнению системы удвоенное второе уравнение, получим систему эквивалентную исходной:
Проверим достаточное условие сходимости:
11,9 > 12,1 - 5,6= 6,5
4,5 > 4,1 - 4,8= -0,7
1,8 > 2,1 - 3,7= -1,6
Вывод итерационных формул. Для получения итерационных формул каждое уравнение системы разрешаем относительно диагонального неизвестного, получим эквивалентную систему:
Следовательно система рекуррентных соотношений для решения методом Гаусса-Зейделя рассматриваемой системы имеет вид:
Нахождение приближенного решения. За начальное (нулевое) приближение можно взять любой набор чисел, и, несмотря на это, диагональное