4. Имеется собрание сочинений из 10 томов некоего автора. На верхней полке умещается только 6 томов. Это тома берут из 10 томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, …, 6 или 6, 5, …, 1?
Решение.
Найдем вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, …, 6.
Первой поставленной книгой должен быть только первый том, т.е. общее число исходов – 10, а число благоприятных исходов – 1. Следовательно вероятность того, что первый том окажется на первом месте равна 1/10.
Аналогично получим, что вероятность того, что второй том будет стоять на втором месте равна 1/9, что третий том будет стоять на третьем месте – 1/8 и т.д.
Вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, …, 6 будет равна
Аналогично найдем вероятность того, что тома расположатся в порядке 6, 5, …, 1.
Проведя аналогичные рассуждения получим, что P2=P1.
Искомая вероятность равна
5. Имеется собрание сочинений из 10 томов некоего автора. На верхней полке умещается только 6 томов. Это тома берут из 10 томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Какова вероятность, что для размещения на полке будут выбраны тома 1, 2, …, 6?
Решение.
Вероятность того, что первый наугад выбраны том попадет в число нужных равна 6/10. Для второго тома эта вероятность равна 5/9, для третьего 4/8 и т.д. В итоге получим:
8. 6% всех мужчин и 35% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина. Число мужчин и женщин считается одинаковым.
Решение.
Введем следующие обозначения событий:
A1 – выбранный человек – мужчина.
A2 – выбранный человек – женщина.
B – выбранный человек – дальтоник.
Во введенных обозначениях получим.
P(A1)=0.5
P(A2)=0.5
P(B/A1)=0.06
P(B/A2)=0.35
По формуле полной вероятности получим:
P(B)=P(A1)•P(B/A1)+ P(A2)•P(B/A2)=0.5•0.06+0.5•0.35=0.03+0.175=0.205
Искомую вероятность найдем по формуле Байеса.
9. Случайная величина X задана рядом распределения.
X
–3
0
1
4
P
0.3
0.2
0.1
0.4
Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX, уx, вероятности P(X<0), P(X>0), P(–1<X<3).
Y=2X+b. Найти математическое ожидание MY, дисперсию DY.
Решение.
MX=(–3)•0.3+0•0.2+1•0.1+4•0.4=–0.9+0.1+1.6=0.8
DX=(–3-0.8)2•0.3+ (0-0.8)2•0.2+ (1-0.8)2•0.1+ (4-0.8)2•0.4 = 14.44•0.3+ 0.64•0.2+ 0.04•0.1+ 10.24•0.4 = 4.332+ 0.128+ 0.004+ 4.096 = 8.56
P(X<0)=P(X=–3)=0.3
P(X>0)=P(X=1)+P(X=4)=0.1+0.4=0.5
P(–1<X<3)=P(X=0)+P(X=1)=0.2+0.1=0.3
Y=2X+b. Составим для величины Y ряд распределения.
Y
–6+b
b
2+b
8+b
P
0.3
0.2
0.1
0.4
MY=M(2X+b)=2MX+b=2•0.8+b=1.6+b
DY=D(2X+b)=D(2X)+D(b)=D(2X)=4DX=4•8.56=34.24
10. Футболист бьет 6 раз пенальти. Вероятность забить при одном ударе – 0.2. Какова вероятность того, что будет забито 3 мяча? Более 2? Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX.
Решение.
Найдем вероятность того, что будет забито 3 мяча.
P(X=3) = C36•0.23•0.83 = 20•0.008•0.512 = 0.08192 = 8.192%
Найдем вероятность того, что будет забито более двух мячей.
Дополнительным событием к искомому будет событие, что забито 0,1 или 2 мяча. Найдем вероятность каждого из этих событий.
P(X=0) = C06•0.20•0.86 = 0.86 = 0.262144
P(X=1) = C16•0.21•0.85 = 6•0.2•0.32768 = 0.393216
P(X=2) = C26•0.22•0.84 = 15•0.04•0.4096 = 0.24576
Получаем, вероятность того что будет забито 2 мяча или меньше равна 0.262144+0.393216+0.24576 = 0.90112
Искомая вероятность (вероятность того, что будет забито более двух мячей) равна 1–0.90112 = 0.09888 = 9.888%.
MX=np=6•0.2 = 1.2
DX=np(1–p)= 6•0.2•0.8 = 0.96
11. Количество X принимаемых за час звонков по домашнему телефону имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков – 6. Какова вероятность того, что будет принято 3 звонка? Более 2? Найти математическое ожидание MX, дисперсию DX.
Решение.
Найдем вероятность того, что будет принято 3 звонка.
Найдем вероятность того, что будет принято более двух звонков.
Дополнительным событием к искомому будет событие, что принято 0,1 или 2