Задание 1. Предприятия района (номер предприятия Х) упорядочены по объему выпускаемой продукции. Показатель У характеризует численность управленческого персонала. Данные сведены в таблицу. По данным таблицы рассчитать коэффициенты линейной регрессии.
Х
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
У
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
Х
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
У
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
Решение:
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
, где ,
Для проведения необходимых вычислений составим вспомогательную таблицу:
Х
У
Х•Х
Х•У
У•У
1
2
1
2
4
2
2
4
4
4
3
2
9
6
4
4
2
16
8
4
5
2
25
10
4
6
2
36
12
4
7
2
49
14
4
8
2
64
16
4
9
2
81
18
4
10
2
100
20
4
11
3
121
33
9
12
3
144
36
9
13
3
169
39
9
14
3
196
42
9
15
3
225
45
9
16
4
256
64
16
17
4
289
68
16
18
4
324
72
16
19
4
361
76
16
20
4
400
80
16
21
4
441
84
16
22
4
484
88
16
23
4
529
92
16
24
4
576
96
16
25
5
625
125
25
26
5
676
130
25
27
5
729
135
25
28
5
784
140
25
29
5
841
145
25
30
5
900
150
25
сумма
465
101
9455
1850
379
среднее
15,50
3,37
315,17
61,67
12,63
Тогда искомые коэффициенты линейной регрессии:
.
.
Задание 2. Рассчитайте, чему равна сумма квадратов, объясненная моделью ESS, если полная сумма квадратов TSS = 0,20470, а остаточная сумма квадратов RSS = 0,161231?
Решение:
Поскольку имеет место формула TSS - RSS = ESS, то имеем
ESS = 0,2047 – 0,161231 = 0,043469.
Задание 3. Для задания 1 рассчитайте коэффициент корреляции.
Решение:
Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле .
Используя вспомогательную таблицу из решения задачи 1, выполним подстановку в формулу:
.
Задание 4. Мы получили оценку изменения зависимой переменной (предположим расходов) от независимых (дохода DPI и цен Р) в виде:
lgT = 1.374 + 1.143 • lgDPI – 0.829 • lgP,
ESS = 0.097577, RSS = 0.02567, R2 = 0.9744.
Как могут быть проинтерпретированы коэффициенты при независимых переменных?
Решение:
Коэффициент при переменной DPI показывает, на сколько увеличится зависимая переменная при увеличении логарифма DPI на единицу.
Коэффициент при переменной Р показывает, на сколько уменьшится зависимая переменная при увеличении логарифма Р на единицу.
Задание 5. Гауссовское распределение симметрично относительно нуля, и это предполагает, что положительные ошибки столь же вероятны, как и отрицательные; при этом малые ошибки встречаются чаще, чем большие. Если случайная ошибка имеет гауссовское распределение с параметром у, то с вероятностью 0,95 ее значение будет заключено в пределах от –1,96у до +1,9у. В каких интервалах будет располагаться случайная ошибка при том же значении вероятности, если у = 0,5, у = 1, у = 2?
Решение:
Если у = 0,5, то 1,96 • 0,5 = 0,98, и интервал от –0,98 до +0,98.
Если у = 1, то интервал от –1,96 до +1,96.
Если у = 2, то 1,96 • 2 = 3,92, и интервал от –3,92 до +3,92.
Задание 6. Когда и на основании чего можно говорить (утверждать) о предпочтительности одностороннего критерия по сравнению с двухсторонним при использовании в качестве альтернативной гипотезы?
Решение:
Односторонний критерий следует предпочитать в случае простой нулевой гипотезы, т.е. гипотезы вида , или в отличие от сложной гипотезы вида . Односторонний критерий предпочтительней из-за того, что при проверке сложной гипотезы вида необходимо проверять две гипотезы: и . Кроме того, при применении одностороннего критерия уровень значимости в два раза выше, чем при применении двустороннего критерия.
Задание 7. Для данных о размерах совокупного располагаемого дохода и совокупных расходах на личное потребление в США в период с 1970 до 1979 год (в млрд. долл. в ценах