1. Вычислить определитель.

Решение:

Определитель будем вычислять с помощью свойств определителя.

Ответ: 1056

2. Найти произведение матриц.

а) б)

Решение:

а)

б)

3. Решить систему методом Крамера.

Решение:

Будем искать по формулам Крамера:

Найдем определители по методу треугольника.

Тогда

Ответ:

4. Решить систему с помощью обратной матрицы.

Решение:

Запишем систему в матричном виде:

где

Тогда решение X будем искать по формуле:

Найдем обратную матрицу :

Вычислим определитель и алгебраические дополнения:

Составим присоединенную матрицу :

Обратную матрицу вычислим по формуле:

Теперь найдем решение системы:

5. Решить систему методом Гаусса.

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и приведем к ступенчатому виду:

Ответ:

6. Решить две системы с одинаковыми главными матрицами.

Решение:

Найдем решение системы с помощью метода Гаусса:

Решение первой системы:

За базисные неизвестные примем x и y, за свободную z. Выразим через свободные неизвестные базисные:

Тогда общее решение системы:

Аналогично решим вторую систему:

За базисные неизвестные примем x и y, за свободную z. Выразим через свободные неизвестные базисные:

Тогда общее решение системы:

7. Ниже даны координаты трех точек на плоскости А, В, С.

Выполнить следующие действия:

а) Написать уравнение прямой АВ;

б) Вычислить угол между прямой АВ и прямой ;

в) Через точку С провести прямую, параллельную прямой АВ;

г) Через точку С провести прямую, перпендикулярную прямой АВ;

д) Найти проекцию точки С на прямую АВ;

е) Найти координату точки D, симметричной точке С относительно прямой АВ;

ж) Вычислить площадь треугольника АВС.

Решение:

а) Напишем уравнение прямой АВ:

б) Угол между прямыми найдем по формуле

в) Воспользуемся условием параллельности двух прямых:

Угловой коэффициент прямой АВ равен: