Вариант №6

Задача1

Вычислить , если а) -5, б) 0, в)

Решение:

Преобразуем данное выражение (в знаменателе записали сумму кубов, в числителе вынесли за скобки (x+5)):

Преобразованное выражение не имеет особенностей ни в точке x=-5, ни в x=0, поэтому для нахождения предела в этих точках просто подставим x=-5 и x=0, получим:

а)

б)

в) Для изучения поведения функции на бесконечности преобразуем её следующим образом:

При дроби и , а значит, выражение в числителе стремится к нулю (при ), в знаменателе – к 1, предел всей дроби равен 0.

Ответ: а) -0.2, б) -0.2, в) 0

Задача 2

Найти производные функций:

а) , вычислить

б)

Решение:

а) Считаем производную дроби:

б) Считаем производную сложной функции:

Ответ: а) , , б)

Задача 3

Составить уравнение касательной к кривой y(x)=tgx в точке x0=

Решение:

Уравнение касательной к кривой y(x) в точке x=x0 имеет вид: f(x)=(x-x0)+у(x0)

=, =2, y(x0)=1. Таким образом, получаем окончательный ответ:

f(x)=2(x-)+1

Задача 4

Точка движется по закону s(t)=. Определить момент времени, когда её скорость будет 18 м/с.

Решение:

Запишем выражение для скорости – продифференцируем закон движения:

Пусть искомый момент времени t=t0. Тогда v(t0)==18. Получаем квадратное уравнение:

, D1=1-(-3)=4, t0=1+2=3 (отрицательный корень отбрасываем, т.к. он не удовлетворяет условию задачи – время положительно).

Ответ: t0=3.

Задача 5

Число 4 представьте в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы произведение их было наибольшим.

Решение:

Обозначим искомые два числа за х и у. Тогда имеем:

х+у=4, а значит у=4-х. Нам требуется найти максимум функции f(x)=-x2+4x – парабола, ветви которой направлены вниз, значит, максимум существует и достигается при (координаты вершины параболы). Следовательно, у=4-х=4-2=2.

Ответ: х=2, у=2.

Задача 6

Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

Исследование функции начнём с нахождения характерных точек: нулей функции, экстремальных точек и точек перегиба.

Нули функции (приравниваем функцию к нулю):

у(х)=0, , х1,2=0,

, D1=64-54=10,

х3,4=

Экстремальные точки (приравниваем производную к нулю):

=, х1=0, y(х1)=0,

, D1=4-3=1,

х2=-2+1=-1, х3=-2-1=-3, y(х2)=5, y(х3)=-27

Для определения характера экстремальных точек необходимо изучить вторую производную:

, , .

Таким образом, в точках x=0 и x=-3 функция достигает локального минимума, в точке x=-1 – локального максимума.

Точки перегиба – нули второй производной:

,

, D1=16-9=7,

, y(х1)=2.32, y(х2)=-13.35

Поведение на бесконечности: при

Анализируя полученные данные, можем построить график функции:

Комментарии: экстремальные точки обозначены на графике