Вариант 6.
Задача 1.
Из статистики деятельности биржи известно, что в среднем цены на 65% котирующихся на бирже акций в течение месяца повысятся или останутся неизменными, а цены на 35% акций упадут. Некто имеет 7 акций, котирующихся на данной бирже. Определить вероятность того, что: а) более половины имеющихся у него акций не упадут в цене; б) по крайней мере, одна акция упадет в цене.
Решение.
а) Воспользуемся интегральной формулой Лапласа.
= = = Ф(1.51)–Ф(–0.44) = Ф(1.51)+Ф(0.44) = 0.4345+0.17 = 0.6045 = 60.45%
б) Найдем вероятность дополнительного события. Оно будет заключатся в том, что все акции не упали в цене.
Воспользуемся локальной формулой Лапласа.
= = = = = 0.1011 = 10.11%
Вероятность искомого события равна 1–0.1011=0.8989 = 89.89%
Задача 2.
Вероятность выхода из строя изделия во время его испытания на надежность равна 0.02. Определить вероятность того, что при испытании 210 таких изделий выйдут из строя: а) не менее одного изделия; не более одного изделия.
Решение.
а) Найдем вероятность события дополнительного к искомому. Оно будет заключатся в том, что ни одно изделие при испытаниях не вышло из строя.
Воспользуемся локальной формулой Лапласа.
= = = = = 0.023 = 2.3%
Вероятность искомого события – 1–0.023 = 97.7%
б) Разобьем искомое событие на два: ни одно изделие не вышло из строя, одно изделие вышло из строя. Эти события независимы и поэтому вероятность искомого события будет равна сумме вероятностей каждого из этих событий. Вероятность первого события найдена в пункте а) и составляет 0.023. Найдем вероятность второго события.
= = = = = 0.0564 = 5.64%
Вероятность искомого события равна
0.023+0.0564 = 0.0794 = 7.94%
Задача 3.
Выборочным путем по схеме случайной бесповторной выборки получены следующие данные об урожайности корнеплодов на площади 285 га из общего массива в 2000 га:
Урожайность (ц/га)
14–16
16–18
18–20
20–22
22–24
24–26
26–28
Всего
Количество (га)
16
32
75
63
45
17
37
285
Определить выборочную долю площади, урожайность которой не менее 22 ц/га и границы, в которых с вероятностью 0.9 заключена доля площади с урожайностью не менее 22 ц/га на всем массиве.
Решение.
По выборке доля площади с урожайностью не менее 22 ц/га равна (45+17+37)/285 = 99/285 = 0.3439 = 34.39
Для вероятности p=0.9 коэффициент доверия t=1.645 (n=285; N=2000). Найдем предельную ошибку при данных условиях.
m=99;n=285;w=m/n=0.3439
= = = 0.0429
Искомые границы с вероятностью 0.9 равны
(0.3439–0.0429;0.3439+0.0429)
(0.301;0.3868)
Задача 4.
В таблице приведены результаты измерений диаметра валика (в микронах), обработанных на станке.
Диаметр валика (мк)
5–10
10–15
15–20
20–25
25–30
Всего
Количество деталей
55
95
120
70
60
400
Используя критерий «хи-квадрат» Пирсона, проверить гипотезу о согласии с законом нормального распределения диаметра валика, приняв уровень значимости равным 0.01.
Решение.
Найдем параметры распределения – среднее значение и дисперсию.
= = = 17.3125
Дисперсия.
+ = = 39.0273437275
Среднеквадратичное отклонение.
Таблица относительных частот середин интервалов:
7.5 – 55/400 = 0.1375
12.5 – 95/400 = 0.2375
17.5 – 120/400 = 0.3
22.5 – 70/400 = 0.175
27.5 – 60/400 = 0.15
Найдем вероятности:
P(X<10)=0.5+ = 0.5+Ф(–1.17) = 0.5– Ф(1.17) = 0.5–0.379 = 0.121
P(10<X<15) = – = Ф(–0.37) – Ф(–1.17) = Ф(1.17) – Ф(0.37) = 0.379–0.1443 = 0.2347
P(15<X<20) = – = Ф(0.43) – Ф(–0.37) = Ф(0.43) +