1. Достаточные признаки сходимости числового ряда

Числовой ряд а 1 + а2 + … = называется сходящимся, если существует конечный предел Sn = S, где Sn = а1 + а2 + … + аn. В противном случае ряд называется расходящимся.

Для определения сходимости числовых рядов используется ряд признаков, позволяющих определить, расходится данный ряд или сходится.

1.1. Признак сравнения рядов.

Пусть имеем два ряда с положительными членами:

а1 + а2 + а3 + …

в1 + в2 + в3 + …

Если для всех n Є [1, ?) аn ? вn и ряд сходится, то сходится ряд .

Этот признак сравнения применяется только для рядов с положительными членами, этот признак перестаёт быть верным, если среди членов ряда имеются отрицательные числа.

1.2. Признак Даламбера.

Если в ряде с положительными членами а1 + а2 + а3 + … отношение (n+1) – го члена к положительному при n > ? имеет конечный предел l, т.е. , то:

а) ряд сходится, если l ? 1;

б) ряд расходится, если l ? 1; если l = 1, то ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда, признак не даёт.

Пример: Рассмотрим ряд

1 +

аn = аn+1 =

0 ? 1 ряд сходится.

1.3. Признак Коши.

Если для ряда с положительными членами а1 + а2 + а3 … величина имеет конечный предел, т.е. , то:

а) ряд сходится, если l ? 1;

б) ряд расходится, если l ? 1.

Случай l = 1 требует дополнительного исследования, т.к. могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды.

Пример: Рассмотрим ряд

Ряд сходится.

1.4. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда а1 + а2 + … + аn + … положительны и не возрастают, т.е. а1 ? а2 ? а3 ? … ? аn ? … и пусть f(х) такая непрерывная и невозрастающая функция, что f(1) = a1; f(2) = a2; … f(n) = an; … то:

а) если несобственный интеграл сходится, то ряд сходится;

б) если расходится, то ряд расходится.

Пример: Рассмотрим ряд

Тогда

х при р ? 1; при р = 1.

Устремляя N > ? получим:

При р ? 1 - ряд сходится;

При р? 1 = ? - ряд расходится;

При р = 1 - ряд расходится.

Кроме того, в ряде случаев применяют признаки Рабе и Гаусса.

1.5. Признак Рабе: если для ряда с положительными членами а1 + а2 + а3 + … существует конечный предел: , то:

а) ряд сходится, если р ? 1;

б) ряд расходится, если р ? 1.

1.6. Признак Гаусса: если все члены ряда а1 + а2 + а3 + … аn + …положительны и , где ? С; Е ? 0, то при ряд сходится; при ряд сходится, если и расходится, если .

2. Нормальное распределение и его характеристики.

Нормальный закон распределения играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся закон распределения, главной особенностью которого то, что он является предельным законом, к которому, при определённых условиях, приближаются другие законы распределения.

Дифференциальная функция нормального закона имеет вид:

f (x) =

Числовые характеристики нормального закона.

2.1. Математическое ожидание характеризует центр распределения:

М (х) =

2.2. Дисперсия характеризует форму распределения:

D (х) = .

Свойства дифференциальной функции нормального распределения.

а) область определения – вся числовая ось;

б) ось ОХ – горизонтальная асимптота;

в) х = а ± у – точки перегиба;

г) max функции в точке с координатами ;

д) график симметричен относительно прямой х = а;

е) вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал определяется по свойству интегральной функции: Р ( ? х ? в) = Ф* , где Ф* (х) = - интегральная функция нормального закона.

Свойства интегральной функции нормального закона:

а) Ф* (- ?) = 0;

б) Ф* (+ ?) = 1;

в) Ф* (х) = Ф (х);

г) Ф* (- х) = 1 – Ф* (х).

Ф (х) – функция Лапласа.

Значения Ф* (х) и Ф (х) приводятся в специальных таблицах.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения при данном начальном условии.

xy/ - 2y = x +1 y (0) =1

Решение:

Решаем данное уравнение методом вариации переменной.

а) определяем общее решение однородного уравнения: