Содержание

1. Теоретическая часть 3

Подбор формы кривой прогнозирующей функции методом исследования характеристик прироста 3

1.1. Основные модели прогнозирующей функции 3

1.2. Этапы построения моделей 5

1.3. Модель авторегрессии 7

1.4. Модель скользящего среднего 8

1.5. Модель Бокса-Дженкинса (АРИСС) 10

2. Практическая часть 13

Список литературы 16

1. Теоретическая часть

Подбор формы кривой прогнозирующей функции методом исследования характеристик прироста

1.1. Основные модели прогнозирующей функции

Идея использования математических моделей для описания поведения физических объектов является общепризнанной. В частности, иногда удается получить модель, основанную на физических законах, что дает возможность вычислить почти точное значение какой-либо зависящей от времени величины в любой момент времени. Например, мы можем вычислить траекторию ракеты, запущенной в известном направлении с известной скоростью. Такие модели называются детерминированными, хотя реальные объекты крайне редко бывают целиком детерминированными (например, неучтенная скорость ветра может слегка отклонить ракету от курса). Поэтому в случае экологических объектов, для которых доля влияния случайных (неучитываемых) факторов традиционно очень велика, можно предложить модели, позволяющие вычислить лишь вероятность того, что некоторое будущее значение будет лежать в определенном интервале. Такие модели называются вероятностными, либо стохастическими. Интервал времени, на который существует необходимость прогноза вперед при решении конкретной проблемы, называется периодом упреждения.

Пусть x(t + l) - измеренное значение экологического показателя в момент времени t с упреждением на будущее l. Функция j t(l), l = 1, 2, ..., дающая в момент t прогнозы для всех будущих времен упреждения, будет называться прогнозирующей функцией в момент t. Очевидна цель - получить такую прогнозирующую функцию, у которой среднее значение квадрата отклонения истинного значения от прогнозируемого [x(t + l) - j t(l)]2 является наименьшим для каждого упреждения l. В дополнение к вычислению наилучшего прогноза необходимо также указать его точность, чтобы можно было оценить риск, связанный с решениями, основанными на прогнозировании. Точность прогноза выражается, как правило, доверительными пределами по обе стороны от прогнозируемых значений для любого удобного значения уровня вероятности h (например, для 95%).

Как было отмечено выше, простые параметрические модели тренда не всегда обеспечивают эффективное вычисление будущего поведения объектов. Определенной альтернативой являются итеративные модели, основанные на концепции того, что временные ряды, в которых наблюдается отчетливая автокорреляция, целесообразно рассматривать как результат некоторого преобразования последовательности независимых импульсов at. Эти импульсы - реализация случайных величин с фиксированным распределением, которое обычно предполагается нормальным с нулевым средним и дисперсией s a2, что соответствует "белому шуму". Считается, что "белый шум" at можно трансформировать в традиционно рассматриваемый стационарный процесс, используя следующие преобразования:

* фильтр авторегрессии (АР), в котором текущее значение процесса yt выражается в виде конечной линейной совокупности предыдущих значений процесса yt-1, yt-2, ... плюс случайный импульс at;

* фильтр скользящего среднего (СС), в котором процесс yt образуется из белого шума at как взвешенная сумма предыдущей последовательности импульсов at, at -1, at -2 ...

Современная статистическая теория оценивания параметров таких моделей, заложенная еще советскими математиками. Модели АР и СС достаточно высокого порядка могут хорошо аппроксимировать почти любой стационарный процесс. В связи с этим модель АР часто применяется для моделирования остатков в той или иной параметрической модели, например регрессионной модели или модели тренда. Для достижения большей гибкости в подгонке модели к наблюдаемым временным рядам часто целесообразно объединить в одной модели оба преобразования, получив комбинированную модель авторегрессии - скользящего среднего (АРСС). Уравнения АР и СС могут быть вычислены и для нестационарных процессов (особенно, если нестационарность носит однородный характер). Однако более эффективна для описания как стационарных, так и нестационарных рядов со стационарными приращениями d-го порядка и рациональным спектром комбинированная модель авторегрессии - интегрированного скользящего среднего (АРИСС).

1.2. Этапы построения моделей

Дж.Бокс и Г.Дженкинс (1974) предлагают следующие этапы построения моделей динамики для целей прогнозирования или управления:

* постулирование общего класса моделей, когда из теоретических и практических соображений и поставленной цели моделирования выбирается полезное семейство гипотетической модели;

структурная идентификация конкретных подклассов выбран