Задача 1.

Найти общее решение дифференциального уравнения xy’–y=x3sinx и его частное решение, определенное начальными данными y(р/2)=0.

Решение.

xy’–y=x3sinx

Найдем решение однородного уравнения.

xy’–y=0

lny=lnx+C

y=Cx

Решение исходного уравнения найдем методом вариации постоянной.

C=C(x)

y' = C+C’x

x(C+C’x)–Cx=x3sinx

Cx+C’x2–Cx=x3sinx

C’x2 =x3sinx

C’ =xsinx

C = = = –xcosx + = –xcosx + sinx +C1

y = Cx = –x2cosx + xsinx + xC1

Найдем частное решение, определяемое начальными условиями.

y(р/2)=0

y(р/2) = –(р/2)2cos(р/2) + (р/2)sin(р/2) + (р/2)C1 = р/2+(р/2)C1 = 0

C1 = –1

Получаем частное решение: y = –x2cosx + xsinx – x

Задача 2.

Найти общее решение дифференциального уравнения yy’’–y’2=yy’, и его частное решение, определенное начальными данными y(0)=1; y’(0)=1.

Решение.

Обозначим y' = p(y)

Тогда y”=pp’

Получим следующее:

ypp’ – p2 = yp

yp’ – p = y

Найдем решение однородного уравнения.

yp’ – p = 0

lnp=lny+C

p=Cy

Решение уравнения yp’ – p = y найдем методом вариации постоянной.

C=C(y)

p' = C+C’y

y(C+C’y)–Cy=y

Cy+C’y2–Cy=y

C’y2 =y

C = lny + C1

p = Cy = ylny + C1y

y’ = ylny + C1y

ln(lny + C1) = x+C2

lny + C1 = C2ex

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

y(0) = 1

y’(0) = 1

C2 = 1

C1 = e–1

Получили частное решение:

Задача 3.

Найти общее решение дифференциального уравнения y’’+2y’–3y=ex, и его частное решение, определенное начальными данными y(0)=0, y’(0)=2.

Решение

Найдем общее решение однородного уравнения.

Характеристическое уравнение.

k2+2k–3=0

k1,2=–1,3

y(общее однородное)=c1e–x+c2e3x

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

y = (Ax2+Bx+C)xex = (Ax3+Bx2+Cx)ex.

y’ = (Ax3+Bx2+Cx)ex + (3Ax2+2Bx+C)ex = (Ax3+(B+3A)x2+(2B+C)x+C)ex

y” = (Ax3+(B+3A)x2+(2B+C)x+C)ex + (3Ax2+(2B+6A)x+(2B+C))ex = (Ax3+(B+6A)x2+(6A+4B+C)x+2B+2C)ex

y’’+2y’–3y = Ax3+Bx2+Cx + 2(Ax3+(B+3A)x2+(2B+C)x+C) – 3(Ax3+(B+6A)x2+(6A+4B+C)x+2B+2C) ex = ((3B+9A)x2+(6A+6B+4C)x+2B+3C) ex = ex

Приравнивая множители при степенях х, получим систему уравнений

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

 

Качественные работы по доступным ценам.

Экспресс-работы за 24-48 часов без потери качества и наценки

Профессиональное выполнение курсовых, дипломных, контрольных работ, рефератов, эссе, диссертаций и других видов учебных и научных работ

• Контрольные, курсовые и дипломные работы, рефераты и отчеты по практике на заказ.
• Эксклюзивные авторские работы. Отличное соотношение цены и качества.
• Большой банк готовых работ. Скидка до 80% на готовые работы

• Безналичные, электронные, мобильные средства оплаты.
• Квалифицированную помощь студентам по проблемам разработки любых учебных работ.
• Оформление по стандартам или в соответствии с требованиями

<