Вариант 2.

Задание 1.

Дан треугольник ABC: A(6;3), B(3;–1), C(9;2). Найти:

1) длину стороны AB;

2) внутренний угол A с точностью до градуса;

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4) точку пересечения высот;

5) уравнение медианы, проведенной через вершину C;

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Сделать чертеж.

Решение.

1) Длина стороны AB.

2) внутренний угол A с точностью до градуса;

Найдем длины сторон

Найдем угол A по теореме косинусов.

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

Найдем уравнение стороны AB.

–4x+24=–3y+9

4x–3y–15=0

Общее уравнение перпендикуляра к этой прямой 3x+4y+C1=0, где C1 – некоторая постоянная.

C1 найдем из условия, что прямая проходит через точку C.

27+8+C1=0

C1=–35

Искомое уравнение 3x+4y–35=0

Точка пересечения стороны AB и высоты, опущенной из точки C.

25x–165=0

25x=165

x=6.6

19.8+4y–35=0

4y=15.2

y=3.8

Точка пересечения K(6.6;3.8).

Длина высоты CK.

4) точку пересечения высот.

Для нахождения точки пересечения высот найдем высоту, проходящую через точку A.

Уравнение стороны BC.

3x–9=6y+6

3x–6y–15=0

x–2y–5=0

Уравнение перпендикуляра к стороне BC 2x+y+C1=0. C1 найдем из условия, что эта прямая проходит через точку A.

12+3+C1=0

C1=–15

Уравнение высоты, проходящей через точку A – 2x+y–15=0

Точка пересечения высот.

5x–25=0

x=5

10+y–15=0

y=5

H(5;5) – точка пересечения высот.

5) уравнение медианы, проведенной через вершину C;

Найдем середину стороны АВ

L(4.5;1)

Уравнение медианы найдем из условия, что она проходит через точки C и L.

–x+9=–4.5y+9

x–4.5y=0

2x–9y=0

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Уравнение стороны AB: 4x–3y–15=0

Уравнение стороны BC: x–2y–5=0

Уравнение стороны AC:

–x+6=3y–9

x+3y–15=0

Задание 2.

Даны векторы a1, a2, a3, a4,b. Доказать, что векторы a1, a2, a3, a4 образуют базис четырехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.

a1(2,0,3,–1), a2(–1,2,–1,2), a3(1,2,0,1), a4(0,–1,–1,3), b(–1,8,0,–1).