Вариант 1.

Задание 1.

Дан треугольник ABC: A(2,0), B(8,3), C(5,4). Найти:

1) длину стороны AB;

2) внутренний угол A с точностью до градуса;

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4) точку пересечения высот;

5) уравнение медианы, проведенной через вершину C;

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Сделать чертеж.

Решение.

1) Длина стороны AB.

2) внутренний угол A с точностью до градуса;

Найдем длины сторон

Найдем угол A по теореме косинусов.

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

Найдем уравнение стороны AB.

3x–6=6y

3x–6y–6=0

x–2y–2=0

Общее уравнение перпендикуляра к этой прямой 2x+y+C1=0, где C1 – некоторая постоянная.

C1 найдем из условия, что прямая проходит через точку C.

10+4+C1=0

C1=–14

Искомое уравнение 2x+y–14=0

Точка пересечения стороны AB и высоты, опущенной из точки C.

x=2y+2

4y+4+y–14=0

5y=10

y=2

x=6

Точка пересечения K(6;2).

Длина высоты CK.

4) точку пересечения высот.

Для нахождения точки пересечения высот найдем высоту, проходящую через точку A.

Уравнение стороны BC.

–x+5=3y–12

x+3y–17=0

Уравнение перпендикуляра к стороне BC 3x–y+C1=0. C1 найдем из условия, что эта прямая проходит через точку A.

6–0+C1=0

C1=–6

Уравнение высоты, проходящей через точку A – 3x–y–6=0

Точка пересечения высот.

5x–20=0

x=4

8+y–14=0

y=6

H(4;6) – точка пересечения высот.

5) уравнение медианы, проведенной через вершину C;

Найдем середину стороны АВ

L(5;1.5)

Уравнение медианы найдем из условия, что она проходит через точки C и L.

x–5=0

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Уравнение стороны AB: x–2y–2=0

Уравнение стороны BC: x+3y–17=0

Уравнение стороны AC:

4x–8=3y

4x–3y–8=0

Задание 2.

Даны векторы a1(–1,–2,0,1), a2(2, 1,-1,2), a3(–1,–1,-1,3), a4(1,0,–2,0), b(–4,–4,4,–3). Доказать, что векторы a1, a2, a3, a4 образуют базис четырехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.

Найдем определитель матрицы со столбцами, состоящими из координат векторов.

~ = = ~ = = = 20?0, следовательно вектора линейно независимы и образуют базис четырехмерного пространства. Найдем координаты вектора b в этом базисе.

Обозначим искомые координаты x1,x2,x3,x4.