1. Доказать равенство, используя свойства операций над множествами (A\B)И(AЗC)=A\(B\C)

Решение

Для этого докажем два включения: (A\B)И(AЗC)МA\(B\C) и (A\B)И(AЗC)ЙA\(B\C)

Пусть xО(A\B)И(AЗC), значит

xО(A\B) или xО(AЗC )

xОA и xПB или xОA и xОC

xОA и xП(B\C) или xОA и xП(B\C)

xОA\(B\C)

второе включение аналогично, пусть xОA\(B\C), значит

xОA и xП(B\C)

xОA и (xОB и xОС или xПB)

xОA и xОB и xОС или xОA и xПB

xО(AЗC) или xО(A\B)

xО(A\B)И(AЗC)

2. Пусть имеется множество А={1,2,3,4}, на этом множестве определены отношения RМA2 и RМA2

а. Определить является ли отношение Р рефлексивным

б. Построить графические представления отношений P, R, P°R

в. Найти область определений и область значений для отношений P, R, P°R

Решение.

а. Отношение P не является рефлексивным.

б,в.

Соответственно область определения и значения для отношения R:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)

(2,2) (2,3) (2,4)

(3,4)


Соответственно область определения и значения для отношения P:

(1,2) (2,1) (1,4) (4,1)


Соответственно область определения и значения для отношения P°R:

(1,x) (2,x) (4,y) , где xОA, yОA\{1}

3. Сколько 4-хзначных чисел можно получить из числа 1122334456780

Решение.

Всего 13 цифр, из которых 12 ненулевых, следовательно, из 12 цифр получится:

за вычетом повторяющихся и симметричных, которых составит :

- повторяющихся

- симметричные

и плюс числа с 0 (3 типа), которых соответственно:

за вычетом повторяющихся и симметричных, которых составит :

- повторяющихся

- симметричные

Результат:

где

4. Управление А имеет а предприятий, из них а1 выпускают продукцию А, а2 – B, a3 – C, a4 – A и B, a5 – B и C, a6 – A и C, a7 – A и B и C. Сколько предприятий

а. выпускают ровно один вил продукции

б. не выпускает ни одного продукта

Решение.

120 50 30 - производители продукта *

A B C - продукт *

8 8 8 - a7

32 32 --- - a4-a7

--- 2 2 - a5-a7

12 --- 12 - a6-a7

52 42 22 - сумма предыдущих 4 пунктов = производящие не

только продукт *

а. Значит: A – 68

B – 8

C – 8

б. Не выпускают данные продукты : 20

5. Найти последовательность аn , удовлетворяющей рекуррентному соотношению bЧan+2+cЧan+1+ dЧan и начальным условиям.

Решение.

2*an-2-5*an-1+2*an=0

n=3: 12-15+2*a3=0 a3=1.5

n=4: 6-7.5+2*a4=0 a4=0.75

В силу линейности:

6. 1. СКНФ, СДНФ

2. Минимальную ДНФ

а. методом Квайна

б. с помощью карт Карно

Решение.

1.

где

2.а.

2.б.

x3,4

x1,2


0

0

1

1


0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1


7. Требуется

а. Нарисовать граф

б. Найти степенную последовательность графа

в. Найти матрицу смежности графа

г. Обозначить рёбра и найти матрицу инцидентности

д. Определить количество компонент связанности

е. Найти 4 простых цикла

ж. Найти минимальный остов и его вес

Решение.

а.