Задача 1
На территории города имеется три телефонные станции А, Б, и В. Незадействованные ёмкости станций составляют на станции А-QА, Б-QБ, В-QВ номеров (таблица 1.1). Потребности новых районов застройки города в телефонах составляют: 1-Q1, 2-Q2, 3-Q3, 4-Q4 номеров таблицы (таблицы 1.2).
Необходимо составить экономико-математическую модель задачи с помощью модифицированного метода линейного программирования найти вариант распределения ёмкостей телефонных станций между районами новой застройки, который обеспечивал бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети. Естественно, что таким вариантом при прочих равных условиях будет такое распределение ёмкости, при котором общая протяженность абонентских линий будет минимальной.
Таблица 1.1 Незадействованные ёмкости телефонных станций.
QА
QБ
QВ
3000
4000
2000
Таблица 1.2 Спрос на установку телефонов
Q1
Q2
Q3
Q4
1200
3700
4100
3000
Таблица 1.3 Среднее расстояние от станции до районов застройки, км.
Станции
Районы
1
2
3
4
А
4
5
6
4
Б
3
2
1
4
В
6
7
5
2
Решение:
Суммарный спрос потребителей станции больше, чем суммарная мощность станции (1200+3700+4100+3000=1200>3000+4000+2000=9000). Введем “фиктивную станцию” и в таблицу станций добавим дополнительную строку. Для этого мощность “фиктивной станции - Г” следует принять равной 12000-9000=3000.
Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 1.1.
Станции
Средние расстояния от станций до районов застройки
1
2
3
4
А
4
5
6
4
3000
Б
3
2
1
4
4000
В
6
7
5
2
2000
Г
0
0
0
0
3000
1200
1800
4100
3000
Первоначальное распределение телефонных номеров найдем по методу наименьших затрат.
1200
3700
4100
3000
3000
4
5 1900
6 100
4 1000
4000
3
2
1 4000
4
2000
6
7
5
2 2000
3000
0 1200
0 1800
0
0
Определим протяженность линии, для чего требуемую емкость умножим на среднее расстояние от станции до района застройки:
1900*5+1000*4+4000+2000*2+0+0+0=22100 км.
Установим оптимально ли это распределение, для этого исследуем все занятые клетки:
a1+b2=5, a1+b3=6, a1+b4=4, a2+b3=1, a3+b4=2, a4+b1=0, a4+b2=0
Положим a1=0, тогда a1= a4=-5, a3=-2, b1= b2=5, b3=6, b4=4.
Теперь исследуем свободные клетки:
a1+b1=5, a2+b1=0, a2+b2=0, a2+b4=-1, a3+b1=3, a3+b2=3, a3+b3=4, a4+b3=1, a4+b4=-1.
Условие оптимальности не выполняется для клеток:
(1,1), (2,4), (4,3) и (4,4)
Это показывает возможность дальнейшего улучшения распределения емкости между районами застройки. Улучшенный вариант решения приведен в таблице 1.2
Таблица 1.2
1200
3700
4100
3000
3000
4 100
5 1900
6
4 1000
4000
3
2
1 4000
4
2000
6
7
5
2 2000
3000
0 1100
0 1800
0 100
0
Определим протяженность линии, для чего требуемую емкость умножим на среднее расстояние от станции до района застройки:
100*4+1900*5+1000*4+4000+2000*2+0+0+0=21900 км.
Аналогично проверяя на оптимальность это решение приходим в выводу, что распределение телефонов между районами оптимально.
Задача 2
Необходимо оценить работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n линий связи. Моменты поступления вызовов на станцию являются случайными и независимы друг от друга. Средняя плотность потока равна l вызовов в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно tобс единиц времени.
Таблица 2.1 Исходные данные
Кол-во линий, n
Плотность потока, l
Среднее время разговора tобс
7
3
2
Решение:
АТС представляет 7-канальную систему массового обслуживания. При расчете на часовой интервал получаем tобс= 2, l=3, b=1,8. Число вызовов не будет постоянно возрастать, т.к. выполняется условие b<n. Определим P0: