Контрольная работа № 4.

№ 1. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

1) = + C.

Проверка.

= =

2)

Преобразуем подынтегральное выражение.

= =

A=1–B

–4(1–B)+5B=23

–4+4B+5B=23

9B=27

B=3

A=1–3=–2

В итоге получаем:

=

= – = 3ln|x–4|–2ln|x+5|+C

Проверка.

(3ln|x–4|–2ln|x+5|)’ = = = =

3) = = =

Проверка.

= =

№ 2. Вычислить определенный интеграл.

= = = = = = – = – = = 2 – = 1.725

№ 3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

= = = = = = 1.

№ 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.

2x+3y2=0; 2x+2y+1=0.

Найдем точки пересечения графиков.

3y2=2y+1

3y2–2y–1=0

= = = = = = =

№ 5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой L.

x2+2y=0; x=1; y=0

Решение.

V= = = = 0.05р

Контрольная работа № 5.

1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж области интегрирования.

Решение.

= +

2. А. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертеж.

x2+y2=4; y–2z+4=0; z=0

Перейдем к цилиндрическим координатам. Получим следующие значения параметров:

0?r?2

0?ц?2р

Объем тела будет равен:

V = = = = = = 8р

3. А. Требуется: 1) найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность у = у1 + у2 (выбирается внешняя нормаль к у); 2) вычислить циркуляцию векторного поля a по контуру Г, образованному пересечением поверхностей у1 и у2 (направление обхода должно быть выбрано так, чтобы область, ограниченная контуром Г оставалась слева); 3) проверить правильность вычисленных значений потока и циркуляции с помощью формул Остроградского и Стокса; 4) дать заключение о наличии источников и стоков внутри области, ограниченной поверхностью у; 5) сделать схематический чертеж поверхности у.

a=(3x+2y)i+(5x–2y)j+(3z–y2–3)k; у1: x2+y2=(z–1)2; у2: z=3.

Решение.

1) Поток поля через замкнутую поверхность у1 + у2

П = П1+П2 = +