Контрольная работа № 1.

11–20. Дан треугольник с вершинами K(kx;ky), L(lx;ly), M(mx;my), Найти:

а) уравнение прямой, содержащей опущенную из вершины L высоту;

б) длину высоты, опущенной из вершины L;

в) точку N, симметричную точке L относительно прямой, проходящей через точки K, M;

г) уравнение прямой, содержащей биссектрису угла L.

20. kx = –2; ky = 5; lx = –3; ly = 4; mx = 6; my = 9.

Решение.

K(–2;5), L(–3;4), M(6;9).

а) Найдем уравнение стороны KM.

4x+8=8y–40

4x–8y+48=0

x–2y+12=0

Уравнение прямой, перпендикулярной к прямой KM будет иметь вид:

2x+y+C=0

Постоянную С найдем из условия, что искомая прямая проходит через точку L.

2•(–3)+4+C=0

–6+4+C=0

–2+C=0

C=2

Получаем уравнение прямой, содержащей опущенную из вершины L высоту:

2x+y+2=0

б) Найдем точку N пересечения стороны KM и высоту, проведенной из вершины L.

x=2y–12

4y–24+y+2=0

5y–22=0

y=4.4

x=2·4.4–12 = –3.2

Длина высоты.

в) Обозначим x0, y0 – координаты искомой точки P

Т.к. точка N – середина отрезка LP, получаем:

Получили точку P(–3.4;4.8)

г) Для нахождения уравнения биссектрисы LQ достаточно найти направляющий вектор этой прямой, в качестве которого можно взять вектор . Найдем этот вектор.

K(–2;5), L(–3;4), M(6;9).

Так как нас интересует только направление, то направляющий вектор можно умножить на любое число. Умножив координаты вектора на , получим

Искомое уравнение биссектрисы.

25. Написать общее уравнение плоскости, приходящей через точку K(1;1;–2) параллельно прямым и .

Решение.

Найдем вектор нормали плоскости, параллельной указанным прямым.

= –i+2j+k

Общее уравнение плоскости, имеющей такую нормаль

–x+2y+z+C=0

Значение C найдем из условия, что плоскость проходит через точку K.

–1+2–2+C=0

C=1

Следовательно, искомое уравнение плоскости –x+2y+z+1=0

37. Найти расстояние между параллельными прямыми и

Решение.

Найдем точки пересечения данных прямых с какой-нибудь из плоскостей, нормальных к обоим прямым. Расстояние между точками пересечения и будет расстоянием между прямыми.

Общий вид уравнения плоскости, перпендикулярной данным прямым будет x+y–z+C=0.

Возьмем плоскость x+y–z=0.

Запишем уравнения прямых в параметрической форме.

Найдем точки пересечения данных прямых с плоскостью x+y–z=0

Первая прямая.

t+5+t–4+t–1=0

3t=0

t=0

Точка пересечения M(5;–4;1)

Вторая прямая.

t–7+t–1+t–8=0

3t–16=0

Точка пересечения

Расстояние между найденными точками