102. Уравнения движения двух материальных точек по прямой: x1 = A1+B1t+C1t2, где A1=20 м, B1=12м/с, C1=–4м/с2, и x2 = A2+B2t+C2t2, где A2=2 м, B1=2м/с, C1=0.5м/с2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

Решение.

Найдем уравнение изменения скорости этих материальных точек с течением времени.

v1=(x1)’t = 12–8t

v2=(x2)’t = 2+t

Найдем момент времени, в который скорости точек равны друг другу.

12–8t=2+t

9t=10

t=10/9 с.

Скорость точек в этот момент времени будет равна 2+10/9 = 28/9 м/с.

Найдем уравнение изменения ускорения этих материальных точек с течением времени.

a1=(v1)’t =–8

a2=(v2)’t =1

Мы получили, что ускорения данных точек не зависят от времени. Ускорение первой точки будет равно (–8) м/с2, а ускорение второй – 1 м/с2.

112. На горизонтальной поверхности лежит тело массой m=5 кг. Какой путь пройдет это тело за t=1 с, если к нему приложить силу F1=50 Н, образующую угол б=60° с горизонтом? Коэффициент трения между телом и поверхностью принять равным n=0.2.

Решение.

Запишем уравнение движения тела согласно второму закону Ньютона.

, где F – равнодействующая всех действующих на тело сил

В проекции на оси координат.

0=N+F1sinб–mg

F=F1cosб–Fтр

Подставив известные значения, получим:

0=N+50•sin60°–5•10 (на ось y)

F=50•cos60°–Fтр (на ось x)

Учитывая, что Fтр = nN, получим:

= =

Мы получили величину равнодействующей сил, действующих на тело.

Найдем ускорение тела.

Путь, который пройдет тело, начавшее двигаться с нулевой начальной скоростью и ускорением a равен

Подставив значения и t=1с, получим:

122. Снаряд, летевший со скоростью 400 м/с, разорвался на 2 осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью 150 м/с. Определить скорость большого осколка (по величине и по направлению).

Решение.

Обозначим массу снаряда за единицу, v – скорость второго осколка после разрыва.

Согласно закона сохранения импульса получим:

400=–60+0.6v

0.6v=460

132. Найти работу, совершаемую при подъеме груза массой 10 кг по наклонной плоскости с углом наклона 450 на расстояние 2 м, если время подъема – 2 с, а коэффициент трения м=0.1.

Решение.

Согласно условиям задачи покоящееся тело, двигаясь равноускоренно, за две секунды проходит расстояние в 2 м. Уравнение равноускоренного движения тела без начальной скорости . Выразив ускорение, получим . Подставив значения, получим: a=1 м/с2. Сила, действующая на тело, равна F=ma=10 кг·м/с2=10 Н. Совершаемая работа равна А= Fs=10 Н·2 м=20 Дж.

142. На барабан радиусом 20 см, момент инерции которого равен 0.1 кг·м2, намотан шнур, к которому привязан груз массой 0.5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом равна 1 м. Найти: 1) через сколько времени груз опустится до пола; 2) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Трением пренебречь.

Решение.

Из формулы момента инерции выразим массу барабана. Получим формулу . Подставив значения, получим . Барабан начинает вращаться в результате действия силы, равной 0.5 кг·10 м/с2=5 Н. Эта сила сообщит ободу барабана линейное ускорение равное 5Н:5кг=1м/с2.

1) Так как первоначальная высота груза над полом равна 1м, то время, за которое груз опустится до пола, можно найти из соотношения . Выразив t, получим .

2) Скорость груза в момент удара о пол будет равна 1 м/с2·с=м/с. Кинетическая энергия груза в этот момент будет равна

152. Определить высоту наклонной плоскости, если линейная скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости равна 2.65 м/с. Начальная скорость шара равна нулю.

Решение.

При скатывании тела с наклонной плоскости высотой h его потенциальная энергия переходит в кинетическую поступательного и вращательного движения. По закону сохранения энергии:

,

где I – момент инерции тела, m – масса.

Момент инерции шара равен: . Учитывая это, получим: