1. Составить математическую модель задачи.
Из двух сортов бензина составляют для различных целей 2 смеси – А и В. Смесь А содержит 60% бензина первого сорта и 40% бензина 2 сорта. Смесь B состоит из 80% бензина первого сорта и 20% бензина 2 сорта Продажная цена 1 кг смеси А – 10 коп., смеси В – 12 коп.
Составить план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется 50 т бензина 1 сорта и 30 т бензина второго сорта.
Решение.
Z=10x1+12x2>max
0.6x1+0.8x2?50
0.4x1+0.2x2?30
x1?0; x2?0
2. Графический метод решения задачи линейного программирования. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования с двумя переменными.
Z=3x1+5x2>min, max
при условиях:
x1+x2?5
3x1–x2?3
x1?0; x2?0
Решение.
Область допустимых значений образует заштрихованный четырехугольник.
Строим нормаль линий уровня
Построив опорные линии (на чертеже обозначены пунктиром), получаем, что минимум целевой функции достигается в точке (0;0) и равен 0. Максимум целевой функции достигается в точке (0;5) и равен 25.
4. Транспортная задача.
Мощности поставщиков.
A1=30; A2=10; A3=40; A4=70;
Спрос потребителей.
B1=60; B2=10; B3=20; B4=10;
Удельные затраты на перевозку.
Строки – поставщики; столбцы – потребители.
B1
B2
B3
B4
A1
1.2
1.6
1.7
1.5
A2
1.4
1.0
1.2
1.5
A3
1.6
1.4
1.2
1.4
A4
1.5
1.2
1.4
1.2
Решение.
Т.к. задача с неправильным балансом, введем фиктивного потребителя B5 с запросами, равными 50.
Используя метод минимальной стоимости, получим следующее решение:
B1
B2
B3
B4
B5
A1
30
0
0
0
0
A2
0
10
0
0
0
A3
0
0
20
0
20
A4
30
0
0
10
30
5. Универсальный метод транспортной задачи.
Для расчета мощности i-го вида транспорта необходимо воспользоваться значениями: S=2 смены; Z=8 часов; d=25 дней; P1=10т, P2=5т, P3=10т, P4=15т.
Численность транспорта (i)
n1=20; n2=30;n3=30;n4=20.
Спрос потребителей (j):
B1=120; B2=70; B3=50; B4=120.
В таблице первое значение – c – себестоимость перевозки j-го груза i-м видом транспорта (руб/маш·ч), второе – t время на транспортировку i-го продукта j-м видом транспорта (ч).
B1
B2
B3
B4
n1
3;3
4;4
5;2.5
6;4
n2
5;5
6;6
7;5
4;4
n3
2;2
3;3
4;4
3;4
n4
5;4
4;3
2;3
2;4
Решение.
Рассчитаем мощность транспортных средств по формуле.
Ai=d·Z·S·ni
Получим:
A1 = 25·8·2·20 = 8000
A2 = 25·8·2·30 = 12000
A3 = 25·8·2·30 = 12000
A4 = 25·8·2·20 = 8000
6. Игровые задачи.
Для обслуживания потребителей предприятие может выделить три вида транспорта А1, А2 и А3, получая прибыль, зависящую от спроса на них. В матрице элементы бij, характеризуют прибыль, которую предприятие получает при использовании транспорта Ai и состоянии спроса Bj.
B1
B2
B3
B4
A1
7
5
0
5
A2
3
4
5
7
A3
4
5
6
7
Определите оптимальную пропорцию транспортных средств (считая, что доля транспортных средств характеризуется вероятностью использования i-го вида транспорта), предполагая при этом, что состояние спроса является полностью неопределенным. Прибыль должна гарантироваться при любом состоянии спроса.
С этой целью необходимо представить задачу как матричную игру двух лиц (предприятие – спрос) с нулевой суммой, исключить заведомо невыгодные стратегии игроков (упростить задачу), найти оптимальные стратегии и цену игры сведением игры к паре симметричных двойственных задач линейного программирования, определить оптимальную структуру транспортных средств.