Контрольная работа № 1.
В задачах 1–20 даны координаты вершин треугольника ABC. Сделать чертеж и найти: 1) длины и уравнения сторон треугольника; 2) уравнение высоты AD; 3) уравнение медианы СМ; 4) уравнение вписанной окружности.
12. A(3;1), B(–13;–11), C(–6;13)
Решение.
1) Длина стороны AB.
|AB| = = = = = 20
Уравнение стороны AB.
–12x+36=–16y+16
12x–16y–20=0
3x–4y–5=0
Длина стороны BC.
|BC| = = = = = 25
Уравнение стороны BC.
24x+312=7y+77
24x–7y+235=0
Длина стороны AC.
|AC| = = = = = 15.
Уравнение стороны AC.
12x–36=–9y+9
12x–9y–45=0
4x–3y–15=0
2) Уравнение высоты AD.
Общее уравнение перпендикуляра к стороне BC.
7x+24y+C1=0
Искомая прямая проходит через точку A.
7•3+24•1+C1=0
21+24+C1=0
C1=–45.
Уравнение высоты AD.
7x+24y–45=0
3) Уравнение медианы CM.
Середина стороны AB – точка M.
M(–5;–5)
Уравнение медианы CM.
18x+90=–y–5
18x+y+95=0
4) уравнение вписанной окружности.
Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения биссектрис.
Найдем уравнение биссектрисы угла A.
Для нахождения уравнения биссектрисы AN достаточно найти направляющий вектор этой прямой в качестве которого можно взять s=AB0+AC0, где AB0 – орт вектора AB, равный , AC0 – орт вектора AC.
Найдем орты.
AB0 =
AС0 =
AN = = = =
Так как длина направляющего вектора значения не имеет, то этот вектор можно умножить на любую константу.
(–7;1)
Уравнение биссектрисы AM.
x–3=–7y+7
x+7y–10=0
Найдем уравнение биссектрисы BP.
Найдем орты.
BC0 =
BA0 =
BP = = = =
Так как длина направляющего вектора значения не имеет, то этот вектор можно умножить на любую константу.
(27;39)
(9;13);
Уравнение биссектрисы BP.
13x+169=9y+99
13x–9y+70=0
Точка пересечения биссектрис.
x=–7y+10
–91y+130–9y+70=0
–100y+200=0
y=2
x+14–10=0
x=–4
Точка пересечения биссектрис R(–4;2), будет центром вписанной окружности треугольника.
Найдем радиус вписанной окружности треугольника.
Согласно известной формуле
, где p – полупериметр треугольника.
p=(15+20+25)/2=30.
= = 5.
Получили уравнение вписанной окружности.