Вариант 6
1. Рассчитать размер единовременной премии и, если страховщик будет выплачивать по 1 д.е. в течение всей жизни в конце каждого года, если застрахованному: а) 45 лет; б) 46 лет. Норма доходности - 5%.
Решение
При решении задач используются Таблицы смертности и Таблицы коммутационных функций.
; ;
; ;
- размер единовременной премии;
- число людей, доживших до возраста x;
N,D - коммутационные функции.
a) x = 45 ; ;
и для мужчин;
и для женщин;
д.е. (для мужчин);
д.е. (для женщин).
б) x = 46 ; ;
и для мужчин;
и для женщин;
д.е. (для мужчин);
д.е. (для женщин).
Ответ: стоимость пожизненного аннуитета постнумерандо составит
а) д.е. (для мужчин); д.е. (для женщин);
б) д.е. (для мужчин); д.е. (для женщин).
2. Страхователь платит премии в течение 3-х лет, а страховщик затем платит ему пожизненно по 1 д.е. в конце каждого года. Норма доходности - 5%. Рассчитать размер годового страхового взноса.
Решение
Так как, не указан возраст, выразим размер годового страхового взноса через формулы.
Итак, имеем немедленный ограниченный аннуитет пренумерандо и немедленный пожизненный постнумерандо:
;
P - размер страхового годового взноса;
R - размер накопленной суммы к x+t году;
N,D - коммутационные функции.
Так как, страхователь начинает вносить страховую премию в x лет, а пенсию страховщик выплачивает сразу через 3 года, то есть x+3, имеем:
Так как, возраст x неизвестен, а t=3, имеем:
д.е.
Ответ: размер страхового годового взноса равен д.е.
3. Определить размер единовременного взноса при страховании на случай смерти, если возраст застрахованного равен 43 годам, срок страхования - 3 года. Норма доходности - 5%.
Решение
;
- единовременная нетто-ставка на случай сиерти;
- число умерших в возрасте x;
- число людей, доживших до возраста x;
t - срок страхования, лет.
д.е. со 100 д.е. страховой суммы (для мужчин);
д.е. со 100 д.е. страховой суммы (для женщин).
Ответ: Для мужчин - 4,2175 д.е ; Для женщин - 1,2893 д.е. со 100 д.е. страховой суммы.
4. Рассчитать размер годовой нетто-премии с 1 д.е. страховой суммы, если годовые премии вносятся страхователем в начале года, возраст застрахованного - 42 года, срок договора по смешанному страхованию - 4 года. Норма доходности - 5%.
Решение
Смешанное страхование жизни - это срочное страхование жизни и страхование на дожитие на тот же срок.
; ; ;
А - размер ежегодной нетто-премии;
; ; ;
- число умерших в возрасте x;
N,D,M,C - коммутационные функции.
Для мужчин:
;
;
.
Для женщин:
;
;
.
Ответ: Для мужчин - 0,2183; для женщин - 0,00436.
5. Возраст застрахованного - 30 лет. Рассчитать, используя таблицу смертности при i=5%, размер ежеквартального взноса, уплата которого застрахованным до наступления пенсионного возраста (60 лет), обеспечит ему с наступлением пенсионного возраста получение ежемесячной пенсии в сумме 1 тыс. д.е. Выплата пенсии будет производиться пожизненно. Нагрузка брутто-ставки страхового тарифа составляет 5%.
Решение
Имеем два потока - немедленный ограниченный t годами и ежеквартальными взносами пренумерандо и немедленный пожизненный пренумерандо с выплатами каждый месяц.
; ; ;
Pтариф - тарифная ставка;
- нетто-ставка;
- нагрузка, закладываемая в тариф в процентах к тарифной ставке.
Аннуитет немедленный пожизненный пренумерандо с выплатами каждый месяц: ;