Содержание
Введение 3
1. Функциональные зависимости для временных рядов (рядов динамики) 5
2. Статистические (корреляционные) зависимости в общем случае 8
3. Линейная корреляция в общем случае 9
3.1 Парный линейный коэффициент корреляции 9
3.2 Понятие о коэффициенте детерминации 10
4. Линейная регрессия в общем случае 10
4.1 Суть метода наименьших квадратов 10
4.2 Интерпретация коэффициента регрессии 12
4.3 Коэффициент детерминации 12
5. Нелинейная регрессия и нелинейная корреляция в общем случае 14
5.1 Построение уравнений нелинейной регрессии 14
5.2 Измерение тесноты связи при криволинейной зависимости 16
6. Аналитическое выравнивание ряда динамики 18
Заключение 19
Литература 23
Введение
Анализ взаимосвязей, присущих изучаемым процессам и явлениям, является важнейшей задачей статистических исследований. В тех случаях, когда речь идет о явлениях и процессах, обладающих сложной структурой и многообразием свойственных им связей, такой анализ представляет собой сложную задачу. Прежде всего необходимо установить наличие взаимосвязей и их характер. Вслед за этим возникает вопрос о тесноте взаимосвязей и степени воздействия различных факторов (причин) на интересующий исследователя результат. Если черты и свойства изучаемых объектов могут быть измерены и выражены количественно, то анализ взаимосвязей может вестись на основе применения математических методов. Использование этих методов позволяет проверить гипотезу о наличии или отсутствии взаимосвязей между теми или иными признаками, выдвигаемую на основе содержательного анализа. Далее, лишь посредством математических методов можно установить тесноту и характер взаимосвязей или выявить силу (степень) воздействия различных факторов на результат.
Наиболее разработанными в математической статистике методами анализа взаимосвязей являются корреляционный и регрессионный анализ.
Анализ статистической, или корреляционной, связи предполагает выявление формы связи, а также оценку тесноты связи. Первая задача решается методами регрессионного анализа, вторая — методами корреляционного анализа. Регрессионный анализ сводится к описанию статистической связи с помощью подходящей функциональной зависимости. Корреляционный анализ позволяет оценивать тесноту связи посредством специальных показателей, причем выбор их зависит от вида функциональной зависимости, пригодной для адекватного описания рассматриваемой статистической взаимосвязи.
Тенденцию ряда динамики представляют в виде гладкой кривой (траектории), которая аналитически выражается некоторой функцией времени, называемой трендом.
Тренд характеризует основную закономерность движения во времени, свободную в основном (но не полностью) от случайных воздействий.
Уровни временного ряда описывают следующим уравнением тренда:
где — систематическая составляющая, характеризующая основную тенденцию;
— случайная составляющая.
1. Функциональные зависимости для временных рядов (рядов динамики)
Функциональная зависимость двух количественных признаков или переменных состоит в том, что каждому значению одной переменной всегда соответствует одно определенное значение другой переменной. Если исследуемый признак зависит от времени, то имеем дело с рядом динамики как с частным случаем функциональной зависимости.
Отметим наиболее употребительные формы функциональной зависимости, применяемые при исследовании рядов динамики.
Линейная:
,
где — уровни, освобожденные от колебаний, выровненные по прямой;
b — начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени;
а — среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени t).
Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимном погашении особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, не-линейность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т.е. в прямолинейном тренде.
Графическим изображением линейной зависимости служит прямая линия.
Линейная зависимость является наиболее простой и в определенном смысле универсальной формой связи многих явлений. Ее универсальность состоит в том, что более сложные зависимости часто можно рассматривать «в первом приближении» как линейные.
Параболическая форма тренда:
где с — квадратический параметр, равный половине ускорения.
Параболическая форма тренда выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного (регрессивного) развития.
Экспоненциальная форма тренда:
,