Контрольная работа № 1.

В задачах 1–20 даны координаты вершин треугольника ABC. Сделать чертеж и найти: 1) длины и уравнения сторон треугольника; 2) уравнение высоты AD; 3) уравнение медианы СМ; 4) уравнение вписанной окружности.

17. A(11;0), B(–5;–12), C(2;12)

Решение.

1) Длина стороны AB.

|AB| = = = = = 20

Уравнение стороны AB.

12x+60=16y+192

12x–16y–132=0

3x–4y–33=0

Длина стороны BC.

|BC| = = = = = 25

Уравнение стороны BC.

24x+120=7y+84

24x–7y+36=0

Длина стороны AC.

|AC| = = = = = 15.

Уравнение стороны AC.

–12x+24=9y–108

12x+9y–132=0

4x+3y–44=0

2) Уравнение высоты AD.

Общее уравнение перпендикуляра к стороне BC.

7x+24y+C1=0

Искомая прямая проходит через точку A.

7•11+24•0+C1=0

77+C1=0

C1=–77.

Уравнение высоты AD.

7x+24y–77=0

3) Уравнение медианы CM.

Середина стороны AB – точка M.

M(3;–6)

Уравнение медианы CM.

18x–54=–y–6

18x+y–48=0

4) уравнение вписанной окружности.

Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения биссектрис.

Найдем уравнение биссектрисы угла A.

Для нахождения уравнения биссектрисы AN достаточно найти направляющий вектор этой прямой в качестве которого можно взять s=AB0+AC0, где AB0 – орт вектора AB, равный , AC0 – орт вектора AC.

Найдем орты.

AB0 =

AС0 =

AN = = = =

Так как длина направляющего вектора значения не имеет, то этот вектор можно умножить на любую константу.

(–7;1)

Уравнение биссектрисы AM.

x–11=–7y

x+7y–11=0

Найдем уравнение биссектрисы BP.

Найдем орты.

BC0 =

BA0 =

BP = = = =

Так как длина направляющего вектора значения не имеет, то этот вектор можно умножить на любую константу.

(27;39)

(9;13);

Уравнение биссектрисы BP.

13x+65=9y+108

13x–9y–43=0

Точка пересечения биссектрис.

x=–7y+11

–91y+143–9y–43=0

–100y+100=0

y=1

x+7–11=0

x=4

Точка пересечения биссектрис R(4;1), будет центром вписанной окружности треугольника.

Найдем радиус вписанной окружности треугольника.

Согласно известной формуле

, где p – полупериметр треугольника.

p=(15+20+25)/2=30.

= = 5.

Получили уравнение вписанной окружности.